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必修四 第三章 三角恒等变换



必修四 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用,使学生初步理解公式的结构及 其功能,为建立其它和(差)公式打好基础. 二、教学重、难点 1. 教学重点:通过探索得到两角差的余弦公式; 2. 教学难点:探索过程的组织和适当引导,这里不仅有学习积极性的问题,还有探索过 程必用的基础知识是否已经具备的问题,运用已学知识和方法的能力问题,等等. 三、教学设想: (一)导入:问题 1: 我们在初中时就知道 cos 45 ?
?

2 3 ? , cos 30 ? ,由此我们能否得到 2 2

cos15? ? cos ? 45? ? 30? ? ? ? 大家可以猜想,是不是等于 cos 45? ? cos30? 呢?
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的! 下面我们就一起探讨两角差的 余弦公式 cos ?? ? ? ? ? ? (二)探讨过程: 在第一章三角函数的学习当中我们知道, 在设角 ? 的终边与单位圆的交点为 P ,cos? 1 等于角 ? 与单位圆交点的横坐标,也可以用角 ? 的余弦线来表示。 思考 1:怎样构造角 ? 和角 ? ? ? ?(注意:要与它们的正弦线、余弦线联系起来.) 思考 2:我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题,两角差余弦公式我们能 否用向量的知识来证明? (1)结合图形,明确应该选择哪几个向量,它们是怎样表示的? (2)怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果? 两角差的余弦公式: cos( ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? (三)例题讲解 例 1、利用和、差角余弦公式求 cos 75 、 cos15 的值. 解:分析:把 75 、 15 构造成两个特殊角的和、差.
? ? ? ?

1

cos 75? ? cos ? 45? ? 30? ? ? cos 45? cos 30? ? sin 45? sin 30? ?

2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2

6? 2 4

? cos15 ?

c o s? ? 5 ? 4

?
?

30 ?

? c? o s 4 5??c o s 3 0

3 2 ? 2 sin 45 ?in 30 ? s ? 2 2 2

1 ? 2

? 6 ?

2 4

点评:把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如:

cos15? ? cos ? 60? ? 45? ? ,要学会灵活运用.
例 2、已知 sin ? ?

5 4 ?? ? ,? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? 是第三象限角,求 cos ?? ? ? ? 的值. 13 5 ?2 ?
2

3 4 ? 4? ?? ? 2 解:因为 ? ? ? , ? ? , sin ? ? 由此得 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 5 ?5? ?2 ? 12 5 ? 5? 2 又因为 cos ? ? ? , ? 是第三象限角,所以 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 13 13 ? 13 ?
所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? 点评:注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题.
2

33 ? 3 ? ? 5 ? 4 ? 12 ? ? ? ??? ? ? ? 65 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 13 ?

思考:本题中没有 ? ? ?

?? , ? ) ,呢? ?2

(四)练习:1.不查表计算下列各式的值:

() 80? cos 20? ? sin 80? sin 20? 1 cos 1 3 (2) cos15? ? sin15? 2 2
解:( cos80? cos 20? ? sin 80? sin 20? ? cos( ? ? 20?) ? cos60? ? 1) 80

1 2

2.教材 P127 面 1、2、3、4 题 (五)小结:两角差的余弦公式,首先要认识公式结构的特征,了解公式的推导过程,熟知 由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题,学会 灵活运用. (1)牢记公式 C (? ? ? ) ? C ? C ? S ? S. (2)在“给值求值”题型中,要能灵活处理已、未知关系.

2

(六)作业: 《习案》作业二十九

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
一、教学目标 理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒 等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点 1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、教学设想: (一)复习式导入: (1)大家首先回顾一下两角差的余弦公式: cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? . (2) sin ? ? cos ? (二)新课讲授 问题:由两角差的余弦公式,怎样得到两角差的正弦公式呢? 探究 1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

? sin ? cos ? ? cos? sin ? .
sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ?
探究 2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学生动 手)

tan ?? ? ? ? ?

cos ?? ? ? ?

sin ?? ? ? ?

?

sin ? cos ? ? cos ? sin ? . cos ? cos ? ? sin ? sin ?

探究 3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

tan ?? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 ? tan ? tan ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? ? ?

?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

探究 4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan ? 、 tan ? 的形式呢?

3

(分式分子、分母同时除以 cos ? cos ? ,得到 tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

注意: ? ? ? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z )

5、将 S (? ? ? ) 、C (? ? ? ) 、T(? ? ? ) 称为和角公式, S (? ? ? ) 、C (? ? ? ) 、T(? ? ? ) 称为差角公式。 (三)例题讲解 例 1、已知 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,求 sin ?

3 5

?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的值. 4? ?4 ? ?4 ? ?
2

解:因为 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,得 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ?

3 5

? 3? ? 5?

2

4 , 5

3 sin ? 3 tan ? ? ? 5 ?? , 4 cos ? 4 5 ?
于是有: sin ?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? ? ? ? ? sin cos ? ? cos sin ? ? ? ? ??? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? cos ? ? ? ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? ? ? ??? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?
3 ? ?1 ?? ? 4 ? 4 tan ? ? ? ? ? ? ?7 4 ? 1 ? tan ? tan ? ? 3? ? 1? ? ? ? 4 ? 4? tan ? ? tan
思考:在本题中, sin( 能否证明? 练习:教材 P131 面 1、2、3、4 题 例 2、已知 tan ?? ? ? ? ?

?

?

? ? ) ? cos( ? ? ) ,那么对任意角 ? ,此等式成立吗?若成立你 4 4

?

?? 2 ?? 1 3 ? ? , tan ? ? ? ? ? , 求 tan ? ? ? ? 的值. ( ) 4? 5 4? 4 22 ? ?

例 3、利用和(差)角公式计算下列各式的值:

i s s i ( 1) n2c4 c7 n2 ? 、 s7 o2 o2s4
? ?

?

?

s s i i ; ) c2 o0 n0s7 (2 、 o0c7 s2 n0

?

?

?

?

?

; 3) ( 、

4

1 ? tan15? . 1 ? tan15?
解: 、n o o?i n7? 4 (1) i c cn i 2 2 7s s 4 s ? s 4 7s 2 2 22

n? i 3 s 0
o? 0 c s 9 0
?

?

?
?
? ?

?

?
?

??
??

??
??

?

?
?

1 ; 2


s s 27 s 0 27 ss 00 0 (2) o o n n o2 7 、 c c i0i c 0 ?
? ?

?

?

?

(3) 、

1 ? n ?n n a5 a a t 1 1 4 5 5 t t ? ? 1? 1 n n ? n a 1 5 t a5a t1 45 t

?
?

? n 4 ?1 a5 5 t

?

? n a t 6 0

?

?3?

?

?



练习:教材 P131 面 5 题 (四)小结:本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,学会灵 活运用. (五)作业: 《习案》作业三十。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
一、教学目标 1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式,体会三角恒等变换特点的过程; 2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及 a sin? ? b cos? 类型的变换。 二、教学重、难点 1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的运用; 2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、教学设想: (一)复习式导入: (1)基本公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? c o s (? ? ) ? c o ? c o ? ? s i n s i n ? s s ? ?

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

(2)练习:教材 P132 面第 6 题。 思考:怎样求 a sin? ? b cos? 类型? (二)新课讲授 例 1、化简 2 cos x ? 6 sin x

5

解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们能否发现规律呢?

?1 ? 3 2 cos x ? 6 sin x ? 2 2 ? cos x ? sin x ? ? 2 2 ? sin 30? cos x ? cos 30 ? sin x ? ? 2 2 sin ?30? ? x ? ?2 ? 2 ? ?
思考: 2 2 是怎么得到的?

2 2?

? 2? ?? 6?
2

2

,我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于

3 1 和 的. 2 2

归纳: a sin ? ? b cos? ?

a 2 ? b 2 sin(? ? ? )

tan? ?
x?R

a b

例 2、已知:函数 f ( x) ? 2 sin x ? 2 3 cos x,

(1) 求 f (x) 的最值。 (2)求 f (x) 的周期、单调性。 例 3. 已知 A、 C 为△ ABC 的三內角, B、 向量 m ? (?1, 3 ) , ? (cos A, sin A) , m ? n ? 1 , 且 n (1) 求角 A。 (2)若

?

?

? ?

1 ? 2 sin B ? cos B ? ?3 ,求 tanC 的值。 cos 2 B ? sin 2 B
) D.等腰三角形

练习: (1)教材 P132 面 7 题 (2)在△ ABC 中, sin A sin B ? cos A cos B ,则△ ABC 为( A.直角三角形 (2) B.钝角三角形 C.锐角三角形 ) D. ? 2

3 cos

?
12

? sin

?
12

的值为 (

A. 0 思考:已知

B.2

C. 2

?
2

?? ?

3? 12 3 , cos( ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? ,求 sin 2? ? 4 13 5

三、小结:掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及 a sin? ? b cos? 类型的变换 四、作业: 《习案》作业三十一的 1、2、3 题。

3.1.3
一、教学目标

二倍角的正弦、余弦和正切公式

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导 过程,掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式;

6

教学难点:二倍角的理解及其灵活运用. 三、教学设想: (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式,

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? c o s (? ? ) ? c o ? c o ? ? s i n s i n ? s s ? ?

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?
) D.等腰三角形

练习: (1)在△ABC 中, sin A sin B ? cos A cos B ,则△ABC 为( A.直角三角形 (2) B.钝角三角形 C.锐角三角形 ) D. ? 2

3 cos

?
12

? sin

?
12

的值为 (

A. 0

B.2

C. 2

思考:已知

?
2

?? ?

3? 12 3 , cos( ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? ,求 sin 2? ? 4 13 5

我们由此能否得到 sin 2? ,cos 2? , tan 2? 的公式呢?(学生自己动手,把上述公式中 ? 看 成 ? 即可) , (二)公式推导:

sin 2? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2sin ? cos ? ;

cos 2? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ;
思考:把上述关于 cos 2? 的式子能否变成只含有 sin ? 或 cos? 形式的式子呢?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2sin 2 ? ;
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? (1 ? cos 2 ? ) ? 2cos 2 ? ? 1 .

tan 2? ? tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? 2 tan ? . ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan 2 ?

7

注意: 2? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k?

?k ? z?

(三)例题讲解 例 1、已知 sin 2? ? 解:由

5 ? ? , ? ? ? , 求 sin 4? ,cos 4? , tan 4? 的值. 13 4 2

?
4

?? ?

?
2

,得

?
2

? 2? ? ? .
2

12 5 ?5? 又因为 sin 2? ? , cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? 1 ? ? ? ? ? . 13 13 ? 13 ?
于是 sin 4? ? 2sin 2? cos 2? ? 2 ?

5 ? 12 ? 120 ; ??? ? ? ? 13 ? 13 ? 169
2

120 sin 4? 120 ? 5 ? 119 cos 4? ? 1 ? 2sin 2 2? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ; tan 4? ? . ? 169 ? ? 119 cos 4? 119 ? 13 ? 169 169 ?
例 2.在△ABC 中, cos A ? 例 3.已知 tan 2? ? 解: tan 2? ?

4 , tan B ? 2, 求 tan(2 A ? 2B)的值。 5

1 , 求 tan ? 的值. 3

2 tan ? 1 ? ,由此得 tan 2 ? ? 6 tan ? ? 1 ? 0 2 1 ? tan ? 3

解得 tan ? ? ?2 ? 5 或 tan ? ? ?2 ? 5 . 例 4.已知 tan? ?

1 1 , tan ? ? , 求 tan(? ? 2? )的值 7 3

(四)练习:教材 P135 面 1、2、3、4、5 题 (五)小结:本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过 程中要善于发现规律,学会灵活运用. (六)作业: 《习案》作业三十二。

3.2 简单的三角恒等变换(一)
一.教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式,体会化归、换元、方程、逆 向使用公式等数学思想,提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简单的恒等变形,体会 三角恒等变形在数学中的应用。

8

3、通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程 中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆 向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. 二、教学重点与难点 教学重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以推导积化和差、和差化积、半角公式 的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三 角变换的特点,提高推理、运算能力. 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高 从整体上把握变换过程的能力. 三、教学设想: (一)复习:三角函数的和(差)公式,倍角公式 (二)新课讲授: 1、由二倍角公式引导学生思考: ?与

?
2

有什么样的关系?

学习和(差)公式,倍角公式以后,我们就有了进行变换的性工具,从而使三角变换的 内容、思路和方法更加丰富,这为我们的推理、运算能力提供了新的平台. 例 1、试以 cos? 表示 sin
2

?
2

, cos 2

?
2

, tan 2
2

?
2



解:我们可以通过二倍角 cos ? ? 2 cos 因为 cos ? ? 1 ? 2sin 因为 cos ? ? 2 cos
2
2

?
2
2

? 1 和 cos ? ? 1 ? 2sin 2 ? 1 ? cos ? ; 2

?
2

来做此题.

?
2

,可以得到 sin

?
2

?
2

? 1 ,可以得到 cos 2

?
2

?

1 ? cos ? . 2

又因为 tan

2

?
2

?

2 ? 1 ? cos ? . ? 1 ? cos ? cos 2 2

sin 2

?

思考:代数式变换与三角变换有什么不同? 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换. 对于三角变换, 由于不同的三角函数式不 仅会有结构形式方面的差异, 而且还会有所包含的角, 以及这些角的三角函数种类方面的差 异, 因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系, 这是三角式恒等变换 的重要特点. 例 2.已知 sin ? ? 例 3、求证: (1) sin ? cos ? ? 、

? 5 ,且 ? 在第三象限,求 tan 的值。 2 13
1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ; ? 2?

9

(2) sin ? ? sin ? ? 2sin 、

? ??
2

cos

? ??
2



证明: (1)因为 sin ?? ? ? ? 和 sin ?? ? ? ? 是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边 着手.

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? .
两式相加得 2sin ? cos ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ; 即 sin ? cos ? ?



1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ; ? 2?

(2)由(1)得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? ①;设 ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? , 那么 ? ?

? ??
2

,? ?

? ??
2



把 ? , ? 的值代入①式中得 sin ? ? sin ? ? 2sin 思考:在例 3 证明中用到哪些数学思想?

? ??
2

cos

? ??
2



例 3 证明中用到换元思想, (1)式是积化和差的形式, (2)式是和差化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积 的公式. 三.练习:P142 面 1、2、3 题。 四.小结:要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活 运用. 五.作业: 《习案》三十三。

3.2 简单的三角恒等变换(二)
一、教学目标 1、通过三角恒等变形,形如 a sin x ? b cos x 的函数转化为 y ? A sin(x ? ? ) 的函数; 2、灵活利用公式,通过三角恒等变形,解决函数的最值、周期、单调性等问题。 二、教学重点与难点 重点:三角恒等变形的应用。 难点:三角恒等变形。 三、教学过程 (一)复习:二倍角公式。

10

(二)典型例题分析 例 1:已知0 ? ? ? 解: (1)由 0 ? ? ?

?

5? sin 2 ? ? sin 2? 4 的值 ; (2)求 tan(? ? )的值 . , sin? ? . (1)求 2 cos ? ? cos 2? 2 5 4

?

4 3 , sin ? ? , 得 cos? ? , 2 5 5

?

sin 2 ? ? sin 2? sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? ? 20. cos2 ? ? cos 2? 3 cos2 ? ? 1

(2)? tan? ?

sin ? 4 5? tan? ? 1 1 ? , tan(? ? ) ? ? . cos? 3 4 1 ? tan? 7

sin ( 例 2. 利用三角公式化简 50? 1 ?

3 tan10?) .

1 3 2( cos10? ? sin10?) 3 sin 10? 2 ( ) sin 50? ? 2 解: 原式 ? sin 50 ? 1 ? ? cos10? cos10?

? 2 sin 50? ?

sin 30? cos10? ? cos 30? sin10? sin 40? ? 2 cos 40? ? cos10? cos10? sin 80? cos10? ? ? ? 1. cos10? cos10?
4 4

例3.已知函数 f ( x) ? cos x ? 2 sin x cos x ? sin x (1) 求 f (x) 的最小正周期, (2) x ? [0, 当

?
2

] 时,求 f (x) 的最小值及取得最小值时 x 的

集合. 点评:例3是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数

y ? A sin ?? x ? ? ? 的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式中的作
用. 例 4.若函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? m在区间[0, ] 上的最大值为 6,求常数 m 的 2 值及此函数当 x ? R 时的最小值及取得最小值时 x 的集合。

?

(三)练习:教材 P142 面第 4 题。 (四)小结:(1) 二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos? , cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? sin 2 ? , tan 2? ? 2 tan? . 1 ? tan2 ?

(2)二倍角变式:

2 cos2 ? ? 1 ? 2 cos 2? ,2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2?

11

(3)三角变形技巧和代数变形技巧 常见的三角变形技巧有 ①切割化弦; ②“1”的变用; ③统一角度,统一函数,统一形式等等. (五)作业: 《习案》作业三十四

3.2 简单的三角恒等变换(三)
教学目标 (一) 知识与技能目标 熟练掌握三角公式及其变形公式. (二) 过程与能力目标 抓住角、函数式得特点,灵活运用三角公式解决一些实际问题. (三) 情感与态度目标 培养学生观察、分析、解决问题的能力. 教学重点 和、差、倍角公式的灵活应用. 教学难点 如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明. 教学过程 例 1:教材 P141 面例 4 例 1. 如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为

?
3

的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇

形的内接矩形.记∠COP=?,求当角 ? 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大 面积.

Q

D O

C

?
A

θ

BP

例 2:把一段半径为 R 的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法能使横截面的面积最大? (分别设边与角为自变量) 解: (1)如图,设矩形长为 l,则面积 S ? l 4 R ? l ,
2 2

12

所以 S ? l (4 R ? l ) ? ?(l ) ? 4 R l , 当且仅当 l ?
2 2 2 2 2 2 2 2

2

4R2 ? 2R2 , 2

即l ?

2 R 时, S 2 取得最大值 4R 4 ,此时 S 取得最大值 2R 2 ,矩形的宽为
2R2 ? 2 R 即长、宽相等,矩形为圆内接正方形. 2R

(2)设角为自变量,设对角线与一条边的夹角为 ? ,矩形长与宽分别为

2R sin? 、 2R cos? ,所以面积 S ? 2R cos? ? 2R sin? ? 2R2 sin 2? .
而 sin 2? ? 1 ,所以 S ? 2R ,当且仅当 sin 2? ? 1 时,S 取最大值 2R ,所以当且仅当
2

2

2? ? 90? 即 ? ? 45? 时, S 取最大值,此时矩形为内接正方形.
变式:已知半径为 1 的半圆,PQRS 是半圆的内接矩形如图,问 P 点在什么位置时,矩形的 面积最大,并求最大面积时的值. 解:设 ?SOP ? ? , 则 SP ? sin ? , OS ? cos? , 故 S 四边形 PQRS ? sin? ? 2 cos? ? sin 2? 故 ? 为 45? 时, S max ? 1

Q

P

R
课堂小结 建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题. 课后作业 1. 阅读教材 P.139 到 P.142; 2. 《习案》作业三十五.

O

S

第一章三角函数复习(一)
教学目的 【过程与方法】 一、知识结构:
任意角与 弧度制: 单位圆 任意角 的三角 函数 三角函数 线;三角 函数的图 象和性质 三角函 数线模 型的简 单应用

二、知识要点: 1. 角的概念的推广: (2) 终边相同的角:

同角三角 函数的基 本关系式

诱导 公式

(1) 正角、负角、零角的概念: 所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可构成一个集合:

13

S ? {? | ? ? k ? 360? ? ? , k ? Z}
① 象限角的集合: 第一象限角集合为: 第二象限角集合为: 第三象限角集合为: 第四象限角集合为: ② 轴线角的集合: 终边在 x 轴非负半轴角的集合为: 终边在 x 轴非正半轴角的集合为: 故终边在 x 轴上角的集合为: 终边在 y 轴非负半轴角的集合为: 终边在 y 轴非正半轴角的集合为: 故终边在 y 轴上角的集合为: 终边在坐标轴上的角的集合为: 2. 弧度制: 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角;用弧度来度量角的单位 制叫做弧度制. 在弧度制下,1 弧度记做 1rad. (1) 角度与弧度之间的转换: ① 将角度化为弧度: . ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

360? ? 2?

180? ? ?

1? ?

? 0.0 1 7 4 5 d ra 180

?

n? ?

n? rad 180

② 将弧度化为角度:

2? ? 360?

? ?1 8? 0

1rad ? (

180 )? ? 57.30? ? 57?18?

?

n?(

180n

?

)?

(2) 把上述象限角和轴线角用弧度表示. (3) 上述象限角和轴线角用弧度表示:

弧长公式: ? r ? ? ; l

扇形面积公式: ? S

1 lR . 2

3. 任意角的三角函数:

(1) 设?是一个任意大小的角, 其终边上任意一点 P的坐标是( x , y ), 它与原点的距离 是r ? x2 ? y2 ? 0 .

14

①比值

y y 叫做?的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? ; r r x x 叫做?的余弦,记作 cos ?,即 cos ? ? ; r r

②比值

③比值 叫做?的正切,记作 ?,即tan ? ? tan (2) 判断各三角函数在各象限的符号: (3) 三角函数线: 4. 同角三角函数基本关系式: (1) 平方关系: sin2 ? ? cos 2 ? ? 1 (2) 商数关系: tan ? ? 5. 诱导公式 诱导公式(一)

y x

y . x

sin? cos ?

sin(2k? ? ? ) ? sin? ( k ? Z ) cos(2k? ? ? ) ? cos ? ( k ? Z ) tan( 2k? ? ? ) ? tan ? ( k ? Z )
诱导公式(二)

sin(? ? ? ) ? ? sin? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? tan ?
诱导公式(三)

sin(?? ) ? ? sin? cos(?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?
诱导公式(四) sin(?-?)=sin? cos(? -?)=-cos? tan (?-?)=-tan? 诱导公式(五)

15

sin(2? ? ? ) ? ? sin? cos(2? ? ? ) ? cos ? tan( 2? ? ? ) ? ? tan ?
对于五组诱导公式的理解 :

1. 公式中的 可以是任意角; ?

2. 这五组诱导公式可以概 括为: k ? 360? ? ? ( k ? Z) , ? ? , 180? ? ? ,180? ? ? ,360? ? ?的三角函数值, 于 等 它的同名三角函数值, 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的 . ? 符号
函数名不变,符号看象限 3.利用诱导公式将任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤:
任意负角的三角函数 诱导公式一
o

诱导公式三或一

任意正角的三角函数
o

0 到360 角的三角函数 诱导公式二或四或五 锐角的三角函数

三、基础训练:

1. 已知cos(? ? ? ) ?
1 2 1 2

3 , 且? ? [? ,2? ], 则 sin?的值为 ( 2
1 2 D. ? 3 2

)

A.

B. -

C. ?

2. cos(A. 1 2

47 ? )的值为 6 1 3 B. C. 2 2
1 10

(

) 3 2

D. ?

3. 若sin(3? ? ? ) ? -

, 且 tan( 3? ? ? ) ? ? tan ? , 则cos(? ? 3? ) ? __________ .

sin(? ? ? ) ? cos(-? ) 4. 化简: ? _______. tan( ?? ? ? )

16

5. 已知sin? ? cos? ?

2 , 则 tan ? ? cot ?的值是( ) 3

A.

5 18

B.

9 4

C.

5 4

D. -

18 5

6. 已知sin? ? cos? ?
四、典型例题:

3 , 且?是第三象限角,则 ? ? cos ? ? _____. sin 8

例1. (1)若?是第二象限角,当其终 边在按顺时针方向旋转 ?后成为角 ,则 630 ? 角?是第 _____象限角; ( 2)若角?的终边经过点 ( ? 2 , 2 ), 并且? ? ( ?360?,360? ), 试写出角 的集合 P ? A,并求出 中绝对值最小的角 A .

例2.(1) 计算: sin

?
3

? ___,cos

4? 3? ? ___,tan ? ___, 3 4

5 (2) 已知扇形的圆心角为 ? 弧度,面积为 ?cm 2 , 求扇形的弧长和半径长 30 . 12

例 3. 设k ? Z, 化简: 五、课堂小结

sin(k? ? ? ) cos(k? ? ? ) . sin[(k ? 1)? ? ? ] cos[(k ? 1)? ? ? ]

1. 任意角的三角函数;2. 同角三角函数的关系;3. 诱导公式. 六、课后作业 1. 阅读教材 P.67-P.68; 2. 《习案》作业十六中 1 至 6 题.

第二章

平面向量复习课(一)

一、教学目标 1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。 2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接) 。 4. 了解向量形式的三角形不等式: a |-| b |≤| a ± b |≤| a |+| b |(试问: || 取等号的条件 是什么?)和向量形式的平行四边形定理:2(| a | +| b | )=| a - b | +| a + b | .
2 2 2 2

17

5. 了解实数与向量的乘法(即数乘的意义) : 6. 向量的坐标概念和坐标表示法 7. 向量的坐标运算(加.减.实数和向量的乘法.数量积) 8. 数量积(点乘或内积)的概念, a · b =| a || b |cos ? =x 1 x 2 +y 1 y 2 注意区别“实数与 向量的乘法;向量与向量的乘法” 二、知识与方法 向量知识,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用,而它具有代数形 式和几何形式的 “双重身份” 能融数形于一体, 能与中学数学教学内容的许多主干知识综合, 形成知识交汇点, 所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用: ①求模长; ②求夹角; ③判垂直 三、教学过程 (一)重点知识: 1. 实数与向量的积的运算律:

? ? (1) ? ( ?a ) ? (?? )a
2. 平面向量数量积的运算律:

? ? ? (2) (? ? ? )a ? ?a ? ?a
? ? ? ? ? ? ( 2) ( ? a ) ? b ? ? ( a ? b ) ? a ? ( ? b )

? ? ? ? (3) ? (a ? b ) ? ?a ? ?b
? ? ? ? ? ? ? ( 3) ( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

? ? ? ? (1) a ? b ? b ? a

3. 向量运算及平行与垂直的判定:

设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), (b ? 0).
则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0.
4. 两点间的距离:

| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2
5. 夹角公式:

cos ? ?

a?b a?b

?

x1 x2 ? y1 y2 x1 ? y1 ? x2 ? y2
2 2 2 2

6. 求模:

a ? a?a

a ? x2 ? y2

a ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

(二)习题讲解: 《习案》P167 面 2 题,P168 面 6 题,P169 面 1 题,P170 面 5、6 题, P171 面 1、2、3 题,P172 面 5 题,P173 面 6 题。 (三)典型例题

OB OC = c , 例 1. 已知 O 为△ABC 内部一点, ∠AOB=150°, ∠BOC=90°, OA = a , = b , 设
且| a |=2,| b |=1,| c |=3,用 a 与 b 表示 c 解:如图建立平面直角坐标系 xoy,其中 i , j 是单位正交基底向量, 则 B(0,1) ,C(-3,

18

0) , 设 A(x,y) ,则条件知 x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°),即 A(1,- 3 ) ,也就是

a =i

- 3 j , b = j , c =-3 i 所以-3 a =3 3 b + c |即 c =3 a -3 3 b

(四)基础练习: 《习案》P178 面 6 题、P180 面 3 题。 (五) 、小结:掌握向量的相关知识。 (六)作业: 《习案》作业二十七。

第二章

平面向量复习课(二)

一、教学过程 (一)习题讲解: 《习案》P173 面 6 题。 (二)典型例题 例 1.已知圆 C: ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 4 及点 A(1,1) ,M 是圆上任意一点,点 N 在线段
2 2

MA 的延长线上,且 MA ? 2 AN ,求点 N 的轨迹方程。

?

?

OA ( 1) OB ( 7) OC = 5, , =x OA ,y= DB · DC 练习: 已知 O 为坐标原点, = 2, , = 1, , 1. ( 1) OD
(x,y∈R) 求点 P(x,y)的轨迹方程;

2. 已知常数 a>0,向量 m ? (0, a), n ? (1,0) ,经过定点 A(0,-a)以 m ? ? n 为方向 向量的直线与经过定点 B(0,a)以 n ? 2? m 为方向向量的直线相交于点 P,其中 ? ? R . 求点 P 的轨迹 C 的方程; 例 2.设平面内的向量 OA ? (1,7) , OB ? (5,1) , OM ? (2,1) ,点 P 是直线 OM 上的一个动 点,求当 PA ? PB 取最小值时, OP 的坐标及?APB 的余弦值. 解 ∴ 设 OP ? ( x, y ) .∵ 点 P 在直线 OM 上,

OP 与 OM 共线,而 OM ? (2,1) ,∴ x-2y=0 即 x=2y,

有 OP ? (2 y, y ) .∵

PA ? OA ? OP ? (1 ? 2 y,7 ? y ) ,

PB ? OB ? OP ? (5 ? 2 y,1 ? y ) ,


PA ? PB ? (1 ? 2 y )(5 ? 2 y ) ? (7 ? y )(1 ? y )
= 5y2-20y+12 = 5(y-2)2-8.

从而,当且仅当 y=2,x=4 时, PA ? PB 取得最小值-8, 此时 OP ? ( 4,2) , PA ? (?3,5) , PB ? (1,?1) .

19

于是 | PA |? ∴

34 , | PB |? 2 , PA ? PB ? (?3) ? 1 ? 5 ? (?1) ? ?8 ,

cos ?APB ?

PA ? PB | PA | ? | PB |

?

?8 34 ? 2

??

4 17 17

小结:利用平面向量求点的轨迹及最值。

作业: 〈习案〉作业二十八。

第三章

三角恒等变换复习(一)

教学目标: 1. 通过对本章的知识的复习、总结,使学生对本章形成一个知识框架网络. 2. 能灵活运用公式进行求值、证明恒等式. 教学重点:运用公式求值、证明恒等式. 教学难点:证明恒等式 教学过程 一、基础知识复习(略) 二、作业讲评 《习案》作业三十五中的第 5、6 题. 三、已知三角函数值求三角函数值

1 1 1. 已知cos ? ? cos ? ? ,sin? ? sin ? ? , cos(? ? ? )的值. 求 2 3

3 3 ? ?? ? 2. (1) 已知cos ? ? ? , ? ? ? ?, ? sin ? cos ? 的值. ? 求 5 2 2 2? ?
2

( 2) 已知sin

?
2

? cos

?

1 ? , sin?的值. 求 2 5

5 ( 3) 已知sin4 ? ? cos 4 ? ? , sin2?的值. 求 9 3 (4) 已知cos 2? ? , sin4 ? ? cos 4 ?的值. 求 9

1 3 3. 已知cos(? ? ? ) ? , ? ? ? ) ? ,求tan ? ? tan ? 的值. cos( 5 5

20

7? sin 2 x ? 2 sin2 x ?? ? 3 17? 4. 已 知cos? ? x ? ? , ? x? ,求 的 值. 4 1 ? tan x ?4 ? 5 12

5. 求

tan 20o ? tan 40o ? tan 120o 的值. tan 20o ? tan 40o

四、证明恒等式

1. 证明: 4? ? 4 cos 2? ? 3 ? 8 cos 4 ? . cos

1 ? sin2? 1 1 2. 证明: ? tan ? ? . 2 2 cos ? ? sin2? 2 2
3. 已知sin? ? cos ? ? 2 sin?,sin? ? cos ? ? sin2 ? ,求证: 2 2? ? cos 2 2 ? . 4 cos

五、课堂小结 1. 给值求角时,先要求所求角的某一三角函数值,需结合角的范围确定角的符号; 2. 证明三角恒等式时,要灵活地运用公式.

六、课后作业 教材 P.146 第 8 题第(3)、 (4)问; P.146 第 1、 3 题; P.146 第 4 题第(1)、 2、 (2)、 (3)问; P.147 第 3 题;

第三章

三角恒等变换复习(二)

教学目标: 1. 综合运用知识解决相关问题. 2. 培养学生分析问题,运用知识解决问题的能力. 教学重点:运用知识解决实际问题 教学难点:建立函数关系解决实际问题. 教学过程 一、作业讲评 《习案》作业 P.196 的第 5、6 题. 二、例题分析

21

1 1 1. 已知sin(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? ,求证: 2 3
(1) sin? cos ? ? 5 cos ? sin ?;
( 2) tan ? ? 5 tan ? .

1 2. 已知sin ? ? cos ? ? , ? (0, ? ).求 tan ? 的值. ? 5

2? ? , tan tan ? ? 2 ? 3 同时成立?若存在, 3 2 求出?、? 的度数;若不存在,请 说明理由 . 3. 是否存在锐角 、? , ? ? 2? ? ? 使

4. 已知直线 l1∥l2,A 是 l1,l2 之间的一定点,并且 A 点到 l1,l2 的距离分别为 h1,h2 . B 是 直线 l2 上一动点,作 AC⊥AB,且使 AC 与直线 l1 交于点 C,求△ ABC 面积的最小值.

5. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,P,Q 分别为边 AB,DA 上的点.当△ ABC 的周长为 2 时, 求∠PCQ 的大小.

D
三、课堂小结 本节主要讲运用公式解决有关问题:最值问题、存在性问题. 四、课后作业 《习案》作业三十六.

C

Q A B

22

第三章

三角恒等变换复习(三)

教学目标: 1. 综合运用知识解决相关问题. 2. 培养学生分析问题,运用知识解决问题的能力. 教学重点:运用知识解决实际问题 教学难点:建立函数关系解决实际问题. 教学过程 一、作业讲评 《习案》P.192 的第 3 题

1. sin(? ?

?
3

) ? sin? ? ?

4 3 ? , 且 ? ? ? ? 0, 则cos ? ? 5 2

.

《习案》P.194 的第 6 题

2. 已知函数 f ( x ) ? sin(x ?
(1)求常数a的值;

?
6

) ? sin(x ?

?
6

) ? cos x ? a的最大值为 . 1

( 2)求使f ( x ) ? 0成立的x的取值集合.

《习案》P.196 的第 5 题

3. 设f (? ) ? sinx ? ? cos x ? , x ? {n | n ? 2k , k ? N ? }, 利用三角变换估计f (? )在x ? 2, 4, 6 时的取值情况, 进而对x取一般值时f (? )的取值范围作出一个猜想.

二、例题分析 1. 已知直线 l1∥l2,A 是 l1,l2 之间的一定点,并且 A 点到 l1,l2 的距离分别为 h1,h2 . B 是 直线 l2 上一动点,作 AC⊥AB,且使 AC 与直线 l1 交于点 C,求△ ABC 面积的最小值.

2. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,P,Q 分别为边 AB,DA 上的点.当△ ABC 的周长为 2 时, 求∠PCQ 的大小.

D Q A

C

B

23

3. 证明: sin(2? ? ? ) sin ? (1) ? 2 cos(2? ? ? ) ? ; sin? sin? ( 2) 3 ? 4 cos 2 A ? cos 4 A ? tan 4 A. 3 ? 4 cos 2 A ? cos 4 A

三、课后作业 《学案》第三章单元检测卷.

24



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