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第4节 数列求和及综合应用



数学 第4节 数列求和及综合应用 数学 最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数 列的前 n 项和公式. 2.掌握非等差、等比数列 求和的几种常见方法. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 或等比关系,并能用相关知识解决相应的问题. 数学 知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实 数学 知识链条完善 【教材导读】 把散落的知识连起来 数列求和有哪些方法?

提示:公式法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法. 数学 知识梳理 1.数列求和的基本方法 (1)公式法 直接用等差、等比数列的求和公式求解. (2)倒序相加法 如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等 熟记公式,最基本的要求 于同一常数),那么求这个数列的前n项和,可用倒序相加法. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得其和. (4)分组求和法 一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公 式组成,求和时可用分组求和法,分别求和而后相加. 数学 (5)并项求和法 一个数列的前n项和中,若项与项之间能两两结合求解,则称之为并项求 和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用并项法求解. (6)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构 成的,那么这个数列的前n项和可用此法来求,如等比数列的前n项和公式 就是用此法推导的. 2.数列应用题的常见模型 (1)等差模型:当增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型, 增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是 等比模型,这个固定的数就是公比. (3)递推模型:找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式,可由递 推关系入手解决实际问题,该模型是递推模型.等差模型、等比模型是该 模型的两个特例. 数学 【重要结论】 1 1.1 +2 +3 +?+n = n(n+1)(2n+1). 6 2 2 2 2 2.13+23+33+?+n3=[ 1 n(n+1)]2. 2 数学 夯基自测 1.(2015高考浙江卷)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若 a3,a4,a8成等比数列,则( B ) (A)a1d>0,dS4>0 (B)a1d<0,dS4<0 (C)a1d>0,dS4<0 (D)a1d<0,dS4>0 2 解析:由 a 4 =a3a8,得(a1+2d)(a1+7d)=(a1+3d)2,整理得 d(5d+3a1)=0, 5 5 2 又 d≠0,所以 a1=- d,则 a1d=- d <0, 3 3 又因为 S4=4a1+6d=故选 B. 2 2 2 d,所以 dS4=- d <0, 3 3 数学 1 1 1 1 1 2.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n ,?的前 n 项和 Sn 的值等于 2 4 8 16 2 ( A 2 ) 1 2n 1 2 n ?1 (A)n +1(C)n +12 (B)2n -n+12 2 1 2n 1 (D)n -n+1- n 2 1 1 1 1 1 + + + +…+ n ) 2 4 8 16 2 解析:Sn=[1+3+5+7+…+(2n-1)]+( n 1 ?1? [1 ? ? ? ] n ?1 ? 2n ? 1? 2 ? 2 ? =n2+1- 1 . = + n 1 2 2 1? 2 数学 3.(2015


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