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2016高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷(文科)(导数)



2016 高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷(文科)
导数
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。
(1)函数 y ? sin x 在点 ( ,

π 3 ) 处的切线的斜率为( 3 2
(B)



(A)

3 2

2 2

(C)

1 2

(D)1

(2) 已知函数 f ( x) ? x2 的图象在点 A( x1 , f ( x1 )) 与点 B( x2 , f ( x2 )) 处的切线互相垂直且交于点 P , 则点 P 的坐标可能是( (A) (? ,3) (3)已知函数 y ? ) (B) (0, ?4) (C) (2,3) (D) (1, ? )

3 2

f ?( x) 的图象如图所示,其中 f ?( x ) 是定义域为 R 的函数 f ( x ) 的导函数,则以 x


1 4

下说法错误的是(

(A) f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 (B)当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 取得极小值 (C)当 x ? ?1 时,函数 f ( x ) 取得极大值 (D)方程 xf ?( x) ? 0 与 f ( x) ? 0 均有三个不同的实数根 (4)若函数 f ( x ) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f (x) ? 2 x ?4 的解 集为( ) (B) (?1, ??) (C) (??, ?1) (D) (??, ??)

(A) (?1,1)

(5)已知函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ,当 x ? [1,3] 时, f ( x) ? ln x ,若在区间 x ? [ , 3] 内,函 数 g ( x) ? f ( x) ? ax 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( (A) [ ) (D) (0, )

1 x

1 3

ln 3 1 , ) 3 e

(B) [

ln 3 2 , ) 3 e

(C) (0,

1 ) 2e

1 e

(6)设动直线 x=m 与函数 f(x)=x3,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N,则|MN|的最小值为( ) 1 (A) (1+ln3) 3 1 (B) ln3 3 (C)1+ln3 (D)ln3-1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分。

1

(7)已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x3 ? ax ? b 切于点 (1,3) ,则 b 的值为 (8)已知函数 f ( x) ?

. .

x2 ? 4 在 [2, ??) 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ax


(9)从边长为 10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角上截去四个相同的小正方形,做成一个无盖的盒子, 则盒子容积的最大值为 (10) 若函数 f ( x) ? m cos x ?

1 π sin 2 x 在 x ? 处取得极值,则 m ? 2 4



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (11) (本小题满分 10 分)
设函数 f ( x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c2 成立,求实数 c 的取值范围. (12) (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)e x ,其定义域为 ? ?2, t ? ( t ? ?2 ),设 f (?2) ? m, f (t ) ? n . (Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x) 在 ? ?2, t ? 上为单调函数; (Ⅱ)试判断 m, n 的大小并说明理由. (13) (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极小值; (Ⅱ)设定义在 D 上的函数 g ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程为 l : y ? h( x) ,当 x ? x0 时, 若

g ( x ) ? h( x ) .当 a ? 8 时,试问函 ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? g ( x) 的“转点” x ? x0

数 f ( x ) 是否存在“转点”?若存在,求出转点的横坐标;若不存在,请说明理由.

2

2016 高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷(文科)
导数 参考答案
一、选择题。 1.[答案]C [解析] f ?( x) ? cos x , f ?( ) ? cos

π 3

π 1 1 ? ,所以斜率 k ? . 3 2 2 1 4

2.[答案]D [解析] f ?( x) ? 2 x ,所以斜率之积 k1k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? ?1,所以 x1 ? x2 ? ?
2 2 又切线方程为 y ? x0 ,将答案逐个代入检验, ? 2x0 ( x ? x0 ) ,即 y ? 2x0 x ? x0

2 例如,若点 P (? ,3) ,代入,得 x0 ? 3x0 ? 3 ? 0 ,据韦达定理知 x1 ? x2 ? 3 ,不合题意;
2 若点 P (1, ? ) ,代入, 得 x0 ? 2 x0 ?

3 2

1 4

1 1 ? 0 ,据韦达定理知 x1 ? x2 ? ? ,符合题意.因此点 P 坐 4 4

标可以是 (1, ? ) . 3. [答案]D [解析]对于选项 A, 由图象直观可知 f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 成立; 对于选项 B, 当0 ? x ?1 时,

1 4

f ?( x) f ?( x) ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 ,从而函数 f ( x) 递减,当 x ? 1 时, ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 , x x

从而函数 f ( x ) 递增,所以当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 取得极小值,同理 C 也正确;对于选项 D,由 于函数 f ( x ) 的极大值与极小的正负情况及其他条件不确定,不足以断定 f ( x) ? 0 根的情况,因 此 D 是错误 4.[答案]B [解析] 构造函数 f ( x) ? 3x ? 5 ,直接解得(B)或由导数的几何意义

1 ? ??2 ln x, ( ? x ? 1) 5.[答案]A [解析]依题意可求得 f ( x) ? ? , 3 ? ?ln x, (1 ? x ? 3)
问题化为:方程 f ( x) ? ax 在区间 x ? [ , 3] 内有三个不同的 实根,即 y ? ax 与 y ? f ( x) 的图象在区间 x ? [ , 3] 内有三 个不同的公共点,如图所示, y ? ax 与

1 3

1 3

1 y ? ?2 ln x, ( ? x ? 1) 有一个交点,且 y ? ax 与 y ? ln x,(1 ? x ? 3) 有两个交点即可, 3
6.[答案]A = 1 [解析]由题意知|MN|=|x3-lnx|,设 h(x)=x3-lnx,h′(x)=3x2- ,令 h′(x)=0,得 x x

3 1 3 1 1 1 1 1 1 ,易知当 x= 时,h(x)取得最小值,h(x)min= - ln = (1-ln )>0, 3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 故|MN|min= (1-ln )= (1+ln3). 3 3 3
3

二、填空题。 7. [答案]3 [解析]将 (1,3) 代入切线, 得k ? 2, 又 y? ? 3 所以 y? |x?1 ? 3 ? a ? 2 , 得 a ? ?1 , x2? a ,

曲线解析式为 y ? x3 ? x ? b ,再将 (1,3) 代入可得 b ? 3 8.[答案] (??, 0) 9.[答案]144 cm3 [解析]因为 f ?( x) ?

( x ? 2)( x ? 2) ? 0 ,在 x ?[2, ??) 上恒成立,所以 a ? 0 . ax 2

[解析]设盒子容积为 y cm3,盒子的高为 x cm,则 y=(10-2x)(16-2x)x=4x3

20 -52x2+160x(0<x<5), ∴y′=12x2-104x+160. 令 y′=0, 得 x=2 或 (舍去), ∴ymax=6×12×2 3 =144(cm3). 10.[答案] m ? 0 [解析]因为函数 f ( x ) 可导,且 f ' ( x) ? ?m sin x ? cos 2 x ,所以

1 π π π π f ?( ) ? ? m sin ? cos ? 0 , 解得 m ? 0 . 经验证当 m ? 0 时, 函数 f ( x) ? sin 2 x 在 x ? 2 4 4 2 4
处取得极大值. 三、解答题。 11.[解析] (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x2 ? 6ax ? 3b , 因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 . 即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, 解得 a ? ?3 , b ? 4 . ?24 ? 12a ? 3b ? 0.
3 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c ,

f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .
当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ? 0, 3 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 因为对于任意的 x ? 0, 3 ,有 f ( x) ? c 恒成立,
2

? ?

? ?

所以

9 ? 8c ? c 2 ,解得

c ? ?1 或 c ? 9 ,

因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) . 12.[解析](Ⅰ)? f ?( x) ? ( x ? x)e
2 x

,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 0 ,

? f ( x) 在 (??, 0],[1, ??) 上单调递增,在 [0,1] 上单调递减,
4

??2 ? t ? 0
(Ⅱ)①若 ?2 ? t ? 0 ,则 f ( x ) 在 [ ?2, t ] 上单调递增,? f (t ) ? f (?2) ,即 n ? m . ②若 0 ? t ? 1 ,则 f ( x ) 在 [?2, 0] 上单调递增,在 [0, t ] 上单调递减 又 f (?2) ?

13 , f (1) ? e ,? f (t ) ? f (1) ? f (?2) ,即 n ? m . e2

③若 t ? 1 ,则 f ( x ) 在 (??, 0],[1, t ] 上单调递增,在 [0,1] 上单调递减

? f (t ) ? f (1) ? f (?2) ,即 n ? m ,综上, n ? m .
13.[解析](Ⅰ)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 2 x ? 3 ? 令 f ?( x) ? 0 得 x1 ?

1 ( x ? 1)(2 x ? 1) ? , x x

x
f ?( x )

1 , x2 ? 1 ,列表如下 2 1 1 (0, ) 2 2
+ 递增 0 极大值

1 ( ,1) 2
- 递减

1
0 极小值

(1, ??)
+ 递增

f ( x)

所以,函数 f ( x ) 的极小值为 f (1) ? ?2 (Ⅱ)当 a ? 8 时,函数 f ( x ) 在其图象上一点 P( x0 , y0 ) 切线方程为

h( x) ? (2 x0 ?

8 2 ? 10)( x ? x0 ) ? x0 ? 10 x0 ? 8ln x0 , x0 2 4 ( x ? x0 )( x ? ) , x x0

设 F ( x) ? f ( x) ? h( x) ,则 F ( x0 ) ? 0 ,且 F ?( x) ? f ?( x) ? h?( x) ?

①若 0 ? x0 ? 2 , F ( x) 在 ( x0 ,

4 ) 上单调递减, x0

所以当 x ? ( x0 ,

4 F ( x) ) 时, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,此时 ? 0, x0 x ? x0

所以函数 f ( x ) 在 (0, 2) 内不存在“转点” . ②若 x0 ? 2 , F ( x) 在 (

4 , x0 ) 上单调递减, x0

5

所以当 x ? (

4 F ( x) , x0 ) 时, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,此时 ? 0, x0 x ? x0

所以函数 f ( x ) 在 (2, ??) 内也不存在“转点” . ③若 x0 ? 2 ,由于 F ?( x ) ?

2 ( x ? 2) 2 ? 0 ,所以 F ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, x

所以当 x ? (0, x0 ) 时, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,此时

F ( x) ?0, x ? x0

当 x ? ( x0 , ??) 时, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,此时

F ( x) ?0, x ? x0

所以函数 f ( x ) 存在“转点” ,且 2 为转点的横坐标.

6



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