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纵观立体几何考题 感悟向量方法解题



?

3 8?  

中学数 学研 究  另解 :  

2 0 1 5第 7期 



的   ÷  +   ,  =   + 丢  , 3  ̄ A A P Q  
解: 取 D, E, F分别 为 A A B C  

面 积与 A A B C的

面 积之 比是 多少?  


另 解 : 由 已 知 砀= 丢  +   , A — P =  

的边 B C , A C, A B 的 中 点 ,则 由  

+ 丢 ÷  , 一 A B  P , 则  = 一= Q    一 A 一 Q   一  = A 一= P   (   1   A 一 C  1 十 +   ≥    ) A B ) 一 (   1  
+ -  ̄   — A B ) =  ̄ -   ( A — B — — A C ) = }  , 即 而=  
上 J   C 

A — Q = 寺  +   = } (  +  
/ 4  
— —   — —  





 

— — — l 

A B+A B)=A  ( 2 A D+ 2 A F)=  

图4  

寺C l — — B   , 所以 尸 — — Q/ , / C — — B , , 且i   P — Q     f =—   1 0   f   C 一 B 十   i , 而  点  
的   到P Q的距 离 d   是 A点到 B C的距 离 d  的—  倍 , 所 

(   +   ) , 所以 Q   J T D — F的 中点 同理 P为 



中点 所以有P _ +   1 。—}   F   ‘— — } — — 十 — —   Q :—  E =   1   C B . 即P Q   / /C B , 且 


以  

:  
l  

:  
l  d   一

:  

×三 :  

s伽 c 一  

I   P Q   l=  1   l   C B   l , 而 A点到 P Q的距 离 d   是 A点到 
1 6

l 历 l ( z :一 4   4一  

为瓣

 



的 丢   以   =  

=  

启示 : 由于 此类 问题预 先 并 不 知道 向量 ( 平行)   的位 置 关 系, 可 以先作 一个 图形 的示 意 图 , 通过 对 已   知 条件 的转 化( 化 简 )在得 到 明确 的位 置 关 系 后将  图形加 以修 正 , 这 一过 程 中 , 既要用 到 向量 的相关 知  识, 也要 用到 平面 几何 相关 知识 , 从 而进 一步 综合 考 

l  l   d  { 4  4 × ÷一  1 6   , ’   即   S J s   A A P Q c   = 1 三 6 为 觫  ‘  


评注: 本题得 ̄ I P Q∥C B后 , 问题就变得 简单易  
解, 这里 向量平行 更是 功 不可 没. 正 因为P 9/ /C B是 

查 学 生的数 学素 养 , 这 也 正是 命 题 者 青 昧 不 已的原 
因之 一 , 教 学 中要不 断 总 结 , 使 学 生 真 正 掌握 , 所 谓 

破解本题的关键 所在 , 因此 , 也就必然有如下的简单 

纵 观 立体 几 何 考题  感悟 向量 方 法解 题 
北京 市第八 十 中学  ( 1 0 0 1 0 2 )   孙世 林 
每个 学 期 的 学 期末 全 国各 地 的 中小 学 都进 行 
式 向量解 题  向量具 有“ 数”与“ 形 ”双 重 身 份 , 兼 具 代 数 的 

了期末 考试 , 纵观 北 京 各 区高 三数 学期 末 考 试 立体 
几何 考 题 , 学生 的得分 情况 不理 想 , 在解 题 中为避 免 
难度 较 大 的几何 推理 , 同学们 常建 立 空 间坐 标 系利 

严 谨 与几何 的直 观 , 要正 确理 解 向量加 法 、 减 法 与数 
乘运算 的几何 意义 , 如, 首 尾相 接 的若 干 向量 之 和 ,  

用 坐标形 式 的 向量解 决 问题 , 但 试 题 中往 往 没 有 明   确 的垂 直 关 系 , 建 立 坐标 系 要 通 过 一定 的 转 化 、 证  明, 难度 较 大 , 一味 强调 坐标 法 会 造 成 得 分 的 困难 ,  

等于 由起 始 向量 的始 点 指 向末 尾 向量 的终 点 的 向  
量, 我们 可把 这个 法则称 为 向量加 法 的 多边 形 法则.  

解 题 时可 以将有 关 线 、 面用 向量表 示 出来 , 再 利 用共  线 向量 定理 、 共 面 向量 定 理及 向量 垂直 的条 件 得 到  证 明, 这 样 可 以很 好 的避 开 学 生 感 觉 困难 的几 何 关 
系 的论 证 .  

出现 这种 现 象一 是 空 间想 象 能 力 、 几 何 推 理 有 待提  高, 再有 就是 对 向量 知识本 质认 识不 够 , 恰 当利用 非  坐标 形 式 的 向量 解题 , 既 可避 开技巧 要 求过高 、 转化 
复杂 的几何 法 , 又 可 以很好 的 回避有 时建 系 的 困难 ,  
下 面就从 近 期 的高 三期末 立体 几何 考题 谈起 :   1   纵观 空 间位 置 关 系 问题 , 感 悟 用 非 坐 标 形 

例1   ( 2 0 1 5年 北京 市海 淀 区高 三期末 考试 题 )  

如 图1 所示, 在 三棱柱 A BC— A l B   C , 中, A A。 B   B  

2 0 1 5年 第 7期 

中学数 学研 究 

? 3 9-  

为 正方 形, B B   C   C为 菱形 , /B B。 C   =6 0 。 ,平 面 
A A   B, B上 平面 B B 1 C   C . 设 点 E, F分别 是 B   C, A A  

2   纵 观“ 立几 ”中 的探 究 性 问题 , 感悟 如 何 选 
择 向量 的基 底 

的 中点 , 试 判 断直 线 E F 与平 面 A B C的位 置 关系 , 并 
说 明理 由.  

非坐标 形 式 的 向量解 决 立 体 几 何 问题 , 关键 是  结 合 图形选 择 恰 当的基 底 , 构 建 基 向量 , 利用 向量 加  法、 减 法 的几何 意义 , 把 有 关 向量表 示 出来 , 再 把 有 

解析: ‘ .   A  
— —

为正方形 , E, F分 别 是 BC 。和 
+ — — + — — 十 — — +  1 — —  

A A l 的 中点, . ? . E F=E B 1 + B l A l + A 1 F=÷  1 +  
一 —  

关 问题 转化 为 向量 之 间 的运 算 来解 决.  
例3 ( 2 0 1 5年北 京 市东城 区期末 考试 理科 题 )  
如图3 ,   上 平面 A B C, A B 上B C, A B =P A =2 BC  



— }  



— — ÷

— }

— }  



— ——  

+ ÷A 1 A=÷( B B l —  c )+   一 寺  1 =  


=2 , M 为P B 的 中点.  

÷B c+鲋 , . ? . E  、 B c 、 鲋 是共面向量, 又E F  

( 1 )求 证 : A M 上 平面 P BC ;  

平面 A B C,   . E F  /平面 A B C .   点评 : 本题 不存 在 两两垂 直 的三条 棱 , 若建 立 空  间 坐标 系 , 需要 找 出一 条 和 底 面 垂 直 的 直 线 作 为 。  
轴, 这 样会 使部 分 点 的 坐标 不好 确 定 ; 采取几何法 ,   通过 充 分观 察几何 体 的特 征 , 可 直 观 的 猜 测 出直 线 

( 2 )求 二面 角 A —P c —B  
的余 弦值 ;  

C 

( 3 ) 证 明: 在线段 P C上存 
在 点 D, 使 得 肋 上A C, 并求 
的值.   图3  

F与平 面 A B C平行 , 此 处难 度较 大 , 需要 学生 有很 
好 空 间想 象能 力 , 接 下 来要 在 平 面 A B C 内找 一 条 线 
段与 E ,平行 , 再通 过严 格 的 几何 推 理 与论 证 , 也 需 

解 析 :( 1 ) ’ . ’ P A 上 平 面 
A BC , B C   C 平面 A BC, .   . P A上 B C . ‘ . ’ B C上A B, P A  

要 很 好 的思 维 能力 ; 采取 非 坐标 形式 的 向量 , 利 用向 
— —

n   A B =A  . B C   j _平 面 P A B . 又A M  c 平面 P A B,  
? .


+ 

1 — —  

— —  

量的加 、 减法的几何意义表示为E F=一 ÷B c+ B A ,  
根据 向量共 面的条件 得 证.  

A M 上B C . ? . ’ P A =A B, M为P B 的 中点 ’ . . . A M上  
( 2)如 图 , 作A E   j _PC于 点 

P B . 又 P B   n   B C = B, . ’ . A M 上 平面 P   C .  

例2  ( 2 0 1 5年 北 京 市朝 阳  区高 三 期 末 考 试 理 科 题 )如 图   2 , 在 四棱 锥 P —A B C D 中, 底 面 
A B C D是 正 方形 , 侧面 P A B 上 底 

E, 作B ,上 P C 于 点 F, 由 已知 

P B:2   , A C=   , P C=3 . 在 
△   P c 中, A P =2 , A C :  
L PAC : 90。, . . . AE :  

,  
图4  

面A B C D, P A =A B, 点 E是 P B的  

, PE 

中点 , 点 F在 边 B C 上 移 动.求 
证: A E   L   P F .   图2  
=   , . . . P  = 9 PC, c 。 s / APC 

解析 : ’ . 。底 面 A B C D是 正 方 形 , . 。 . B C   j _4 B, 叉 
。 。



BC 上 平 面  B, A E   c 平 面 
} — — — +  

, . ’ . B C上   E, 即 

=了 2 在△ 船 c 中, P c =3 , B C =1 , LP BC =9 0 。 ,  

? . .  









A E? B F=0 , ‘ .   P A=A B, 点E是尸  的中点 , . ‘ . A  上  
— —



— —÷

——  

— —÷

—— 十

——  

—— +

 

P B, 即A  ? 尸 B =0 , . 。 . A E? P F =A E? ( P B +B F)  
— —

F =  
—C + B  

=  

= 吉 c P , c 。 s L B C P =  

÷

——

 

—— ÷



 

  ‘



AE ?PB + AE ?BF = 0.  

÷ , 由  =   E =   A — P +   P — E =   A — P +  P 告 庑; c   B — F =   B — C +   — C F  
= ,  

点评 : 本 题很 多学生 误认 为 

上 平面 A B C D,  

从 而建 立空 间 坐标 系, 利 用 向 量 的 坐 标 形 式进 行 垂 
直 的证 明 , 以至 于不 能 得 分 , 利 用传 统 的几 何 法 , 难 

度 在 于 点 ,是棱 B C上 动 点 , 确 定题 目中的垂 直关 系   有一 定 的难 度 , 把 相 关 线段 A E、 P F用具 有 垂直 关 系  
— — —

. .
. 

。   < 

.  

> : 一  

二 _ _:  

l  AE  l 1  B  l   AP  BC 
?







{  

— — — +

— — — ÷

 

的 向量A B, A P, B C来表 示 , 再 利 用数 量积 的 运算 , 便  迎 刃 而解 , 这 种 办 法 突 出向量 的相 互表 示和 运算 , 避 
免 了繁 琐 的几何 推理 , 收到 了很好 的效 果.  

。   + 寺   P‘   + 亏   ‘   +  
+  ?
?

CP +  

P —C

—C + B  1  P —C

。  
?

—P  C

2√ 5   2√ 2  

丁 × 亍  

?

4 0?  

中学数 学研 究 
A C所成 角 的余 弦值 ;  

2 0 1 5第 7期 

=  



又 二面 角A—P C—B为锐 角 , 所 以二面 角 A   .  

( 3 )当平 面 P B C与平 面 P DC垂直 时 , 求P A的  
长.  



P c —B 的余 弦值 为  

解析 : ( 1 )因为 四边 形 A BC D 是菱形, 所以A C  
上B D . 因为 P A上平面A B C D, B D   c 平面 A B C D, 所 
以P A 上B D, 又  n   A C =A . 所 以B D上平面P A C .  

( 3 )假设 在 线段 P C上存在 点 D, 使得B D_ L   A C  
且设 C D = AC P’ . . .BD =BC+C D = BC +A   C P=  

B C+A ( B P—B C )=( 1一A ) B C+A   B P, 同 时A C=  
AB +BC, 又B D  j _ AC, . ’ . AC ? BD =0 . 又A C? BD =  

( 2 )由 图形 可 矢 口 , P B :A B —A P, A C :A B+  
A D, 。 . 。 P A 上 平面 A B C D, . ? . P A_ L   A B, P A   j _ A D . 又 底 

( 1一A) A B? B C+A   A B? B P+( 1一A) BC  十A   B C  
?

面A B C D是 菱形 , A B =2 , / _B A D =6 0 。 √.P B? A C  
z + 
:  

B 尸 =0+A ×2×2 、 / 乏×( 一   , , 、   )+( 1一A)+0 =  

.  
一  

.  

一  

.  



4+2×2  

×c o s 6 0。+ 0 +0 = 6. ? . ’PA = AB . . ? .PB。 = AP  +  

I 一 5 A , . ? . 1 — 5 A : 0 , . ? . A : ÷ , . ? . c D =- C P . 所 以  
在线 段 P C上 存 在 点 D, 使得肋 J _ A C . 此 时 
4  
‘ 

A B  =8 , 又底面 A B C D 是 菱形 , A B =2 , /B A D =  

:  

6 0 。 , . . . A C: 2  , . ? .   。   <蔬 ,   >:  
l  P曰 l   I  AC   I  



譬 , . ? . P B 与 A C 所 成 角 的 余 弦 值 为 譬 .  
( 3 )设A — B:  
,  
:  

点评 : 向 量法 是 解 决 立体 几何 探 宄性 问题 明显 

优 于传统 的几 何 法 , 平 时我 们 可 以有 意识 的 用非 坐 
标形 式 的向量 法 解决探 究 问题 的训 练 , 这样 可 以很  好 的 弥补 坐标 法 的不足 , 完善 数 学思 维 , 非 坐标 形式  的 向量 解决 立体 几何 问题 , 关键 是选择 合 适 的基 底 ,  

=   ,  


设A P =n , 依 

题意, l   I=I   I =2,   I 7   I=n , 向量  ,   的夹角 为  

6 0 。 ,  上  ,  上  , 设平 面 P B C的法 向量 为 m =   +  
。 q   , - . .  

构建 基 向量 , 利 用向 量加 法 、 减 法 的 几何 意 义 , 把 有 

关向量表示 出来, 再把有 关问题转化为向量之 间的  
运 算 来解 决.  
? . . 

+ y   , ? ‘ ? { 【 一 一  { 一 +/   . + 、     m ?B    .   L m ’L   r—   J = u, P = 0  
,  

:   P  

3   纵 观“ 立几 ”的综 合 问题 , 感悟 从 向量 结果 
向几 何 结论 的 回归 

【 (   +  + x 三 q   :   ) ? (   一   … ) =   0   ,   又  P 一  
?   =

2×2 × c o s 6 0 。 = 2,   ?7 = 0,  ?   = 0,  
1  

.  

立体 几何 是 中学数 学 重 要 的 内容 之 一 , 也 是 高 
考 必 考 的知识 点 , 本 部 分 知 识 要 求 学 生 要 有很 好 空  

r 2 + 4x = 0,  

3  
血 

一  

一  

1 【   Ⅱ 2   一 , …4   一 , 2 )   一 = 0   ? ’   一 
一  

血 - T , ’ ’ ‘ m  p  

间想 象 能力 、 规 范表 达及 严谨 的几 何推 理 能力 , 在 平 
时 的训练 时适 时 的应 用 向量形 式 , 特别 是 非 向量 形  式 的 向量 , 再 结合 几何 法解 决 问题 , 会 开 阔学 生 的思 



之   , ? . ? 平 面 P B C   j _ 平 面 P D C , . ? . 而 与 平 面  
+  

P DC是 共面 向量 , . ? .存在 实数 A . , A  使  :A  

路, 减 少几 何推 理 的 思维 量 , 降低 难 度 , 使 问题 解 决 
避开难点, 顺 畅 自然.  

A  

:A   +A   2 ( 7一  ) , 即  一   孑+   ,:A  
.  

例4  ( 2 0 1 1年 北 京 高考 理  科 题 )如 图 5 ,在 四 棱 锥 P —  
A B C D 中,   上 平面A B C D, 底 

+A : ( 7一  ) . . ‘ . A  :1 , A   =一   ,一A :=   3

?






面A B C D是 菱形 , A B =2 ,  


D  

丢= 一   3. n 2 = 6 . 所 以  均 长 为  
的长 , 用 坐 标 形 

6 00 .  

点评: 本题 的 第三 问是 逆 向思 维 的问题 , 利 用平 
面P BC与 平 面 P DC垂 直 反 推 棱 

( 1 )求证 : B D 上平面 P A C;   ( 2 )若 P A =A B, 求P B与  

图5  

式 的 向量 求 解 , 建 立 空 间 坐标 系会 误 把 朋 , 尸 D,   所在 直线 为  , y ,  轴 造成错 误 , 若 坐标 系建 得 正 确 ,  

2 0 1 5年第 7 期 

中学数学研 究  
Y 1 = 一 1, . - .   =   +   一   .  

? 4 1?  

求相 关 点的 坐标 又容 易求 错 , 采取 非 坐标 形 式 的 向 
量求 出其 中一 个 平 面的 法 向 量 , 利 用此 法 向量 和 另  


设平面 P A D 的法 向量 为   =   +  : 百+Y 2 一 c, 由  
?

个平 面是 共 面向量 求 出棱 P A的 长. 证 明点共 面 问  
A   =0 , 有  +  2  ?   +Y 2   C?   =0 , . ? .  2 一Y 2  
÷  


题 可转化 为证 明向量 共 面 问题 , 如要 证 明 P, A,  , C  
— —   — —   — —

四 点共 面 , 只要 能证 明P A=  P 曰+Y J P C或 对 空 间任 
— — —

4 =0 ③, 由   ? A   =0 , 有  ?   +  


?   +Y 2  



— ——}

— —+

——  

— —  

— —+

 



点 D, 有O A =O P+  P B +Y   PC或 O A=  O P+  
— — —

0 ' . . .  2 + 2 y 2 +1=O ④, 联立 ③④ 有  2=了 I , Y 2  
5  
一  



— — —+  

YP 日+z e c (  +Y+   =1 )即可. 共 面向量 定理 实际  上 也是 三 个非零 向量 所在 直线共 面 的充要 条件 .  



一 
?

, -

m 

一 

口 +  

7  

6 一 

5  

。??   ?。o。 < n , m

一 

> 

例5  ( 2 0 1 1年 广 东 高 考  试 题 理 科 题 )在 锥 体 P —  
A BC D 中, A B C D是边 长 为 1的  
菱形 , 且  D A B =6 0 。 , P A=  

_

I 元 至 I ÷   I     _ I   : — — _ l  :   7   , 又 二 面 ~ 角   P — A D — B  
×丁  
为钝 角 , 所 以二 面角 P—A D —B 的余 弦值 一   .  

P D =√ 2, 胎 :2 , E, F分别 是 
B C, P C 的 中点.  
( 1 )让   : AD 上 半 向 D  ’ ;  

点评 : 在 建 立 空间 坐标 系 困难较 大的情 况 下 , 可 
图6  

选择 一 组基底 , 运 用 空 间向量基 本定 理将 有 关线 、 面 

用空间向量表示 , 寻求非向量解法 ; 空间向量基本定 
理告 诉我 们 用 空 间任 意三 个不 共 面 的 向量 ( 基底 )  

( 2 )求 二面 角 P —A D —B 的余 弦值.   解析 : 设 LP A D=  ,  P A B=  , 在△ P A D 中,  
由P A =P D=   , A D=   。 _ c 0 s  =   , J , . a P a  

可 以线 性 表 示 空 间 中的 任 意 一 个 向 量 (包括 法 向  量) , 并 且表 示是唯 一 的 , 基 底 的 选取 是 解题 的前提  和基 础 , 一 般 选择 边 、 角均 为 已知 ( 或 简单 可 求 )的  棱作 为 基 底 , 如 本 题 中选 择 (   , 加 , P D)或 ( 4 P,  

中, P A =√ 芝 一 , P B =2 , A B =1 , . ? . c 0   =一   | ’   . 设A P  

:  
,  

B, A D) 为基 底, 运 用向量的有关知识表 示相 关的   茁:  ,   :  , 由已 知l   I :√   , I  f :   A
点、 线、 面, 问题 便 迎 刃而解.  


I   I:1 , 则   ?   =   ×1×( 一   ) =一   1 同理 ,  
一   一  

向量作 为 一种数 学 工 具 , 它 既具 有 代 数 的运 算  又 具有 几何 推理 的功 能 , 利用 向量 的几 何 意 义 和 运 

口 ‘  

1  

, 6 ‘。  

一 

1  

算可以很方便 的解决立体几何 中很 多问题 , 不可否  
定, 用 空 间 向量解 决立体 几 何 问题 , 我们 首选 的是 向   量 的坐标 形 式 , 然而, 适 时的应用非坐标形 式的 向   降低 运 算量 , 又可 降低 对 空 间想 象 能力 的要求 , 解题 


( 1 ) ? ‘ . ? — D E :D — C+   C 一 B:   g -   c 又D — F:D — C   ’   =   + ÷  =   一- 一   , 又   =  


+  

:D —C + - f ’ ( C 一 B+ 赢

+   )=  

+  

既可 以避免繁琐 的运 算, 减少推理论证 的难度 ,   一   量,

对提 高 学 生 的分 析 问题 和 解 决 问题 的 能  号   , . ?  ?  =   ? (   一 丢   ) =  一  × 1   =   方 法新颖 ,

力及 增 强创 新意 识具 有重 要意义.  
参考 文 献 

0’ 0 . . . A D 上DE 又A — D? D — F=   (   +   一   )   上   . . 又  ?   =   ? ? ( ÷ + ÷ 一 ÷  )  


, .

.  

:  

×  

+  

×  

一 一一   2  ×   1  : 0   , . ‘ . 。 . ?   A D  上   DF.   又 又 

[ 1 ] 殷伟康 . 培育学生解题 的六种意识  突破 向量 问题 的解  题瓶颈 [ J ] . 中学数学 , 2 0 1 5 , 1 .   [ 2 ] 王 焱坤 . 基底搭桥一不一样 的解题精彩 [ J ] . 中学数 学教 
学参考 , 2 0 1 l , 1 2 .  

DE   n   DF = D  . AD 上 平 面 DEF.  

( 2 )设 平 面A D  的法 向量 为  =  +  
由   . A — D =0 有  .  +  1  .   +y 1  
, ,

+   ,  

:0 ’ . . .  1 +  

[ 3 ] 孙世林 . 深入探 究三 视 图  反 思生 成揭 本质 . 高 中数理 
化, 2 0 1 4 , 1 .  

2 y  +1=0 ①, 由元. A — B :0 有  .   +  

+  

?   =0, . ? . 2 x  +y   一1=0 (  , 联 立 ① ⑦ 有  :1 ,  



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