9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

变化率与导数



第三章 导数及其应用

第三章 导数及其应用

牛顿

两人同时创立 了微积分

莱布尼兹

微积分主要与四类问题的处理相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度

、面积、体积和重心等。

平均变化率

问题一:工资增长率 下面是一家公司的工资发放情况: 工资的年薪s(单位:10元)与时间t(单位:年) 成函数关系。 公司的工资发放情况 1 2 3 4 5 年份 年 薪 2000 2100 2300 2600 3000 用y表示每年的平均工资增长率. 试分析公司的效益发展趋势?

问题二:气球膨胀率
0.62dm

第 一 次
0.16dm

观察小新接连 两次吹气球时,

气球的膨胀程度。

第 二 次

3V r (V ) ? 3 可以看出,随着气球的体积逐渐变大, 4? 气球的平均膨胀率逐渐变小了。

思考

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

当气球的空气容量从V1增加到V2时, 气球的平均膨胀率是多少?

问题三:高空崩极

观察小男孩崩极时
4.9米 的平均速度变化 第0秒到第1秒这段 时间内 14.7米 第1秒到第2秒这段 时间内 重复观看请按

作崩极时,小男孩落下的高度h(单位:m)
与跳后的时间 t (单位:s)存在函数关系 h(t)= 如果用小男孩在某段时间内的平均速度
1 -gt2 2

- 来描述其运动状态,那么 v -1 ? h(1) ? h(0) ? 4.9(m / s) 在0?t?1这段时间内 v
1? 0

在1?t?2这段时间内

h(2) ? h(1) -2 ? ? 14.7(m / s ) v 2 ?1

可以看出,
随着跳后的时间的推移, 小男孩下落的速度越来越大。

h(t)=

1 2 -gt 2

思考

h(t 2 ) ? h(t1 ) t 2 ? t1

小男孩跳后的时间从t1变化到t2时,

平均速度是多少。

问题四:高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运 动状态, 那么: h(0.5) ? h(0) 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v ? ? 4.05(m/s ); 0.5 ? 0
在1≤ t ≤2这段时间里,

h(2) ? h(1) v? ? ?8.2(m/s ); 2 ?1

平均变化率的定义
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率. x2 ? x1
令△x = x2 – x1 , △ f = f (x2) – f (x1) ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ? x2 ? x1 ?x
令x2=x1 +△x,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 )

x2 ? x1

?x

思考?
观察函数f(x)的图象
?y f(x2 ) ? f ( x1 ) 平均变化率 ? ?x x2 ? x1
y Y=f(x)
B f(x2)-f(x1)=△y

f(x2)

表示什么?

直线AB的斜 率

f(x1)

A x2-x1=△x

O

x1

x2

x

例1、已知函数 f ( x) ? x ,分别计算
2

在下列区间上 f (x ) 的平均变化率:

(1)[1,3]; (2)[1,2];

(3)[1,1.1]

4 3 2.1

例2:已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? ?2 x, 分别计算在区间[-3,-1],[0,5] 上 f (x)及 g (x) 的平均变化率。

经过曲线 f ( x) ? x ? 1上A、B两点作割线,
2

x 求割线的斜率, 其中:A ? 1,xB ? 2 .

练习题
1. 一质点运动的方程为s=1-2t2,则在一
段时间[1,2]内的平均速度为( C ) A.-4 B.-8 C. -6 D.6 2.设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到 x0+△x时,函数的改变量为( D ) A.f(x0+△x) B. f(x0)+△x

C.f(x0 ) · △x

D.f(x0+△x) -f(x0)

3.求函数y=5x2+6在区间[2,2+△x] 内的平均变化率。 △ y=[5(2+ △x)2+6]-(5×22+6) =20△x+5△x2 所以平均变化率为
?y ? 20 ? 5?x ?x

小结:
1.函数的平均变化率

f(x2 ) ? f ( x1 ) ?f ? ?x x2 ? x1

2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量:Δf;
f(x2 ) ? f ( x1 ) ?f ? ?x x2 ? x1

(2)计算平均变化率

3.函数的平均变化率的几何意义:
表示函数图象上两点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2)) 连线(割线)的斜率。

在高台跳水中,运动员相对于水面的高度h(单位:米)与起
跳后的时间t(单位:秒)存在关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10

通过计算可得运动员在 0 ? t ? 65 这段时间里的平均
速度为0,这是否说明运动员在这段时间里是静止的?

49

由此可见用平均速度描述运动员的运动状态有何问题?
平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,并不能 反映某一刻的运动状态。这就需要用瞬时速度来更精 细地刻画运动员的运动状态。我们把物体在某一时刻

的速度称为瞬时速度.

如何求瞬时速度?

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度为h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s ) 存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10

求t=2时的瞬时速度?
我们先考察t=2附近的情况。 任取一个时刻2+△t,△t 是时间改变量,可以是正值, 也可以是负值,但不为0. 当△t<0时,在2之前; 当△t>0时,在2之后。
计算区间? 2 ? ?t , 2? 和区间? 2, 2 ? ?t ? 内平均速度v, 可以得到如下表格.

h

o

2

t △t>0时 2+△t

△t<0时 2+△t

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋

势.

?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内

△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = – 0.01时, v ? ?13.051
当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = 0.01时,

v ? ?13.149

当△t =0.001时, v ? ?13.1049

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049

v ? ?13.099951

△t = 0.00001,

v ? ?13.100049

……

v ? ?13.0999951 △t =0.000001, v ? ?13.1000049
……

我们发现,当?t趋近于0 时,即无论t从小于2 的一边, 还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个 确定的值 ? 13.1.

从物理的角度看, 时间间隔 | ?t | 无限变小时, 平均

速度v就无限趋近于t ? 2时的瞬时速度因此, 运动员在 . t ? 2时的瞬时速度是 ? 13.1m / s. h?2 ? ?t ? ? h?2? 为了表述方便 我们用lim , ? ?13.1 ?t ? 0 ?t 表示"当t ? 2, ?t 趋势近于0时, 平均速度v 趋近于确 定值 ? 13.1". h?2 ? ?t ? ? h?2? 我们称确定值? 13.1是 当?t趋近于0时的极限. ?t

瞬时速度

思考: ⑴如何求瞬时速度? ⑵lim是什么意思?

h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ?13.1 ?t ? 0 ?t

在局部以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极 限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

在其下面的条件下求右面的极限值。

⑶运动员在某一时刻t0的瞬时速度如何表示?

? ? t ? h 0 ?t-h 0? t+ lim ?t ?0 ?t

?x 2、函数f ?在x=x处的瞬时变化率怎么表示? 0
?0 ?0 fx+?x?-fx ? lim ?x ?0 ?x
我们称它为函数 =f ?x ?在x=x 0处的导数, y 记作:f ??x 0 ?或y? x=x 0
f ?x0+?x ?-f ?x0? ?y 即:f ??x 0 ?= lim = lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

?0 ?0 fx+?x?-fx ? 1、函数的平均变化率怎么表示? ?x

思考:

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

或 y? | x ? x , 即
0

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ?x

1. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量 y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ); ?

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ( 2)求平均变化率 ? ; ?x ?x ?y ( 3)取极限,得导数 ?( x0 ) ? lim f . ?x ? 0 ?x 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.

一差、二比、三极限

求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. 6

(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均 变化率,并求出在该点处的导数. 3 (3)质点运动规律为s=t2+3,求 质点在t=3的瞬时速度. 6

例2:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.

解: )?y ? (1 ? ?x)2 ? 12 ? 2?x ? (?x)2 , (1

1 1 ? ?x (2)?y ? (2 ? ?x ) ? ? (2 ? ) ? ?x ? , 2 ? ?x 2 2(2 ? ?x )

?y 2?x ? ( ?x )2 ? ? 2 ? ?x , ?x ?x ?y ? li m ? li m( 2 ? ?x ) ? 2,? y? | x ?1 ? 2. ? x ? 0 ?x ?x ? 0

? ?x ?x ? ?y 1 2( 2 ? ?x ) ? ? 1? , ?x ?x 2( 2 ? ?x ) ?y 1 1 3 3 ? lim ? lim[1 ? ] ? 1 ? ? ,? y? | x ? 2 ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 2(2 ? ?x ) 4 4 4

例2、将原油提炼为汽油,柴油,塑胶等各种不 同的产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第 xh时,原油的温度(单位:OC)为 y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8)。

计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并 说明他们的意义。

在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别 为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以 3℃/ h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以 5℃/ h的速率上升.

例3 :已知函数y ? x在x ? x0处附近有定义 且y' | x ? x0 , 1 ? , 求x0的值. 2

解 :? ?y ? x0 ? ?x ? x0 ,
?y ? ? ?x ? x0 ? ?x ? x0 ( x0 ? ?x ? x0 )( x0 ? ?x ? x0 ) ? ?x ?x ( x 0 ? ? x ? x 0 ) 1 . x 0 ? ?x ? x 0

?y 1 1 ? lim ? lim ? , ?x ?0 ?x ?x ?0 x0 ? ?x ? x0 2 x0 1 1 1 由y'| x ? x0 ? , 得 ? ,? x0 ? 1. 2 2 x0 2

练习: 已知y ? x,求y?.
解:D y = x + Dx x= Dx x + Dx +

x

?y ? ?x

1 x ? ?x ?

x

?y 1 1 ? y? ? lim ? lim ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

例2:利用导数的定义求函y ?| x | ( x ? 0)的导数 数 .

解: y ?| x |, ?

?当x ? 0时, y ? x,
?y ( x ? ?x) ? x 则 ? ? 1, ?x ?x ?y ? lim ? 1; ?x ? 0 ?x

当x ? 0时, y ? ? x,
?y ?y ?( x ? ?x) ? (? x) lim ? ?1; ? ? ?1, ? ?x ?0 ?x ?x ?x ? 1 x?0 ? y? ? ? . ?? 1 x ? 0

1 练习:(1)求函数 f(x)= 在 x=1 处的导数 x (2)已知函数 f(x)=ax2+c,且 f′(1)=2,求 a.

-Δx 1 1 解:(1)∵Δy= - = x+Δx x x?x+Δx?

Δy 1 ∴ =- Δx x?x+Δx?

Δy 1 1 ∴limΔx→0 =limΔx→0[- ]=- 2 Δx x x?x+Δx? 1 ∴f′(1)=- 2=-1 1
(2)∵Δy=a(x+Δx)2+c-(ax2+c) =2axΔx+a(Δx)2

Δy ∴ =2ax+aΔx Δx
∴f′(x)=limΔx→0(2ax+aΔx)=2ax

∴f′(1)=2a=2,∴a=1

例2、将原油提炼为汽油,柴油,塑胶等各种不 同的产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第 xh时,原油的温度(单位:OC)为 y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8)。

计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并 说明他们的意义。

在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别 为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以 3℃/ h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以 5℃/ h的速率上升.

小结:

1.函数的平均变化率 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量: Δf=Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1); (2)计算平均变化率 ?f ? f(x2 ) ? f ( x1 )
?x x2 ? x1

f(x2 ) ? f ( x1 ) ?f ? ?x x2 ? x1

3.函数的平均变化率的几何意义: 表示函数图象上两点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))连线 (割线)的斜率。 4.函数在x=x0的瞬时变化率

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?f lim ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x



更多相关文章:
优秀教案21-变化率与导数
再由此抽 象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数,这是符合学 生认知规律的. 变化率与导数(1) 课时分配本节课的...
变化率与导数的概念
变化率与导数的概念_高二数学_数学_高中教育_教育专区。变化率与导数的概念学案培才高级中学高二年级数学(文)导学案 变化率与导数的概念(新授课学案) 学生姓名 __...
变化率与导数练习题
变化率与导数练习题_数学_高中教育_教育专区。1.设函数 y=f(x)=x2-1,当自变量 x 由 1 变为 1.1 时,函数的平均变化率为( A.2.1 C.2 解析: B.1...
变化率与导数导学案
变化率与导数导学案_数学_高中教育_教育专区。变化率与导数导学案学科:高二数学 编写人:袁开国 课型:新授课 课时: 2 课时 审核人:刘刚 班级: 编写时间:2013-...
变化率与导数教学设计1
变化率问题与导数的概念”教学设计太原市育英中学 太原市教科研中心 山西省教育科学研究院 韩灵 张立平 薛红霞 一、内容和内容解析本节内容选自课标实验教材人教 ...
变化率与导数教案
变化率与导数 2页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 变化率与导数教案 隐藏>> 南阳市油田第一中学高...
变化率与导数习题课
变化率与导数习题课_数学_高中教育_教育专区。变化率与导数的应用 1.函数的变化率 定义 平均 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化 f?x2?-f?x1? 变化 ...
变化率与导数、导数的计算
x-2 1 则方程 f(x)=有 2 个实 2 数根,其中正确命题的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4 -8- 高二数学迎期中专题复习 变化率与导数、导数的计算答案 ...
3.1变化率与导数(教学设计)(1)
3.1 变化率与导数(教学设计) (1) 3.1.1 变化率问题 教学目标: 知识与技能目标: 了解导数概念的实际背景,了解变化率和平均变化率的概念。 过程与方法目标: ...
3.1变化率与导数(含答案)
3.1变化率与导数(含答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。备课大师:免费备课第一站! 人教新课标版(A)选修 1-1 3.1 变化率与导数同步练习题【基础演练】 ...
更多相关标签:
变化率与导数ppt    变化率与导数教案    变化率与导数练习题    变化率    变化率与导数视频    导数    高中数学选修2-2    变化率与导数教学设计    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图