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山东省济南一中2012届高三数学5月考前模拟试题 文【会员独享】



2012 济南一中考前模拟试题 数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间为 120 分 钟. 注意事项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形 码区域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚. 3. 请

按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草 稿纸、试题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 参考公式: 柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高 . 锥体体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高 . 3

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有 .. 一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). .. 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2? , B ? ?2,3? ,则 A ? (CU B) ? ( A. {1} 2. i 为虚数单位,复数 A.0 3. 若 f ( x) ? B. {2,3} C. {1, 2, 4} ) D.3 ) D. {2,3, 4} )

1 ? 3i 的实部和虚部之和为( 1? i
B.1 C.2

1 ,则 f ( x ) 的定义域为 ( log 1 (2 x ? 1)
2

A. ( ? , 0)

1 2

B. ( ?

1 , ??) 2

C. ( ?

1 , 0) ? (0, ??) 2

D. ( ? , 2)

1 2

4 如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为(

)

1 3 3 C. 4
A. 5. 设 a ? log 1
3

1 2 3 D. 2
B.

1 2 4 , b ? log 1 , c ? log3 , 则a, b, c 的 大 小 关 系 是 2 3 3 3
B. c ? b ? a D. b ? c ? a

(

) A. a ? b ? c C. b ? a ? c

1

6.函数 y ? sin(? x ? ? ) (? ? 0且 ? ?

?

? 2? ) 在区间 [ , ] 上单调递减,且函数值从 1 减小 2 6 3
)

到 ?1 ,那么此函数图像与 y 轴交点的纵坐标为( A.

6? 2 4

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

7.利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点, 则打印的点落在坐标轴上的个数 是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8. 过原点且倾斜角为 60? 的直线被圆学 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为( )

(A) 3

(B)2 (C) 6 (D)2 3 )

1 9. 函数 y ? ( ) x ? 1 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是( 2

x ?x 10. 已知命题 p : 对于 x ? R, 恒有 2 ? 2 ? 2 成立;命题 q : 奇函数 f ( x ) 的图像必过原点,

则下列结论正确的是( A. p ? q 为真

) C. p ? (?q) 为真 D. ? p ? q 为真

B. ? p ? q 为真

11.已知圆 O 的半径为 3, 直径 AB 上一点 D 使 AB ? 3 AD ,E、F 为另一直径的两个端点, 则 DE ? DF ? A. ?3

??? ?

????

???? ????

B. ?4

C. ?6

D. ?8 )

12.若 a ? 2 ,则函数 f ( x) ? A.3 B.2

1 3 x ? ax 2 ? 1 在 (0, 2) 内零点的个数为( 3

C.1 D.0 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题-21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须作答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上).
? 13. 在△ ABC 中, ?ABC ? 60 , AB ? 2 , BC ? 3 ,在 BC 上任取一点 D ,使△ ABD

为钝角三 角形的概率为_______.

2

14. 已 知 双 曲 线 为 .

x2 y 2 = 1的渐近线方程是 y = a 2 b2

2x , 那 么 此 双 曲 线 的 离 心 率

? y ? x, ? 15. 已 知 实 数 x, y 满 足 不 等 式 组 ? x ? y ? 2, 那 么 目 标 函 数 z ? x ? 3 y 的 最 大 值 是 ? y ? 0, ?
_____. 16.给出下列命题: ① 已知 a , b 都是正数,且 ,m

a ?1 a ? ,则 a ? b ; b ?1 b

② 已知 f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数,若 ?x ? R , f ?( x) ? 0 ,则 f (1) ? f (2) 一定成立; ③ 命题“ ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是真命题;
2

④ “ x ? 1, 且y ? 1 ”是“ x ? y ? 2 ”的充要条件. 其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 12 分) 在等差数列 ?an ? 中, 2a1 ? 3a2 ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设数列 ?bn ? 满足 bn ?

? 11,

2a3 ? a2 ? a6 ? 4 ,其前 n 项和为 Sn .

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . Sn ? n

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ? cos x, ?1? ,向量 n ? ? 3 sin x, ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 内角 A , B , C 的对边, A 为锐角, a ? 1, c ? 3 , 且 f ( A) 恰是 f ( x ) 在 [0 ,
?
?

? ?

1? ? ? ?? ? ,函数 f ? x ? ? ? m? n ? ? m . ? 2? ? ?

? 2

? 上的最大值,求 A , b 和 ?ABC 的面积.

19(本小题满分 12 分) 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到 这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布 直方图如下:
3

[10,15) [15, 20) [20, 25) [25,30) 合计

频数 10 25 m 2

M

频率 0.25 n p 0.05 1

a

频率 组距

0

10 15 20 25 30

次数

⑴求出表中 M 、 p 及图中 a 的值; ⑵若该校高一学生有 360 人,试估计他们参加社区服务的次数在区间 ?15, 20? 内的人数; ⑶在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人 参加社区服务次数在区间 ? 20, 25? 内的概率.

20(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 A ? BCDE ,其中 AB ? BC ? AC ? BE ? 1 ,CD ? 2 ,CD ? 面ABC ,

BE ∥ CD , F 为 AD 的中点.
(Ⅰ)求证: EF ∥面 ABC ; (Ⅱ)求证:面 ADE ? 面ACD ; (III)求四棱锥 A ? BCDE 的体积.

D

F E C B
A

A

21(本小题满分 12 分)

3 x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过定点 (1, ) ,以其四个顶点为顶点的四边形的面 积 2 a b
等于以其两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积的 2 倍. ⑴求此椭圆的方程; ⑵若直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆交于 A , B 两点, x 轴上一点 P(m,0) ,使得 ?APB 为 锐角,求实数 m 的取值范围.

22(本小题满分 12 分)

?? x3 ? ax 2 ? bx,??( x ? 1) 已 知函 数 f ( x) ? ? 的 图像 在点 (?2, f (?2)) 处 的 切线 方程 为 ?c ln x,??( x ≥1) 16 x ? y ? 20 ? 0 .
⑴求实数 a 、 b 的值; ⑵求函数 f ( x) 在区间 [ ?1, 2] 上的最大值; ⑶曲线 y ? f ( x) 上存在两点 M 、 N ,使得△ MON 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角三 角形,且斜边 MN 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围.

4

济南一中考前模拟试题答案 一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. A 2.B 3. C 4. A 5. B 6.D 7.B 8.D 9.A 10.C 11.D 12.C 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.

1 3

14. 5

15. 4

16. ①③

三、解答题(共 74 分) 17.(本小题满分12分) 解:⑴ 2a1 ? 3a2 ? 2a1 ? 3(a1 ? d ) ? 5a1 ? 3d ? 11,

2a3 ? a2 ? a6 ? 4 即 2(a1 ? 2d ) ? a1 ? d ? a1 ? 5d ? 4 d ? 2, 得 a1 ? 1 , an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 . 1 1 2 ⑵ S n ? na1 ? n(n ? 1)d ? n ?1 ? n(n ? 1) ? 2 ? n , 2 2 1 1 1 1 1 , bn ? ? 2 ? ? ? Sn ? n n ? n n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 1? ? . 1 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1
18. (本小题满分12分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? (m ? n) ? m ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

(6分)

(12分)

?? ? ??

3 2

???2 分

?

1 ? cos 2 x 3 3 1 3 ? sin 2 x ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2 2

? sin(2 x ? ) ? 2 . 6

?

????5 分

5

因为 ? ? 2 ,所以 T ?

2? ?? . 2

????6 分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知: f ( A) ? sin(2 A ? 由正弦函数图象可知,当 2 x ? 所以 2 x ?

?

?
6

?

?

? ? 7? ? ) ? 2 , x ? [0, ] 时, ? 2x ? ? , 6 6 6 6 2
时 f ( x ) 取得最大值 3 , ????8 分
2

?
6

?

?
2

,A?

?
6

2

.

2 2 2 由余弦定理, a ? b ? c ? 2bc cos A ,∴ 1 ? b ? 3 ? 2 ? 3 ? b ? cos

?
6



∴ b ? 1或b ? 2 , 从而 S ?

???10 分 ????12 分

1 ? 3 1 ? 3 . ? 3 ?1? sin ? 或S= ? 3 ? 2 ? sin ? 2 6 4 2 6 2

19(本小题满分12分)

10 25 m 2 ? 0.25 , ? n, ? p, ? 0.05 . M M M M 又 10 ? 25 ? m ? 2 ? M ,解得 M ? 40 , n ? 0.625 , m ? 3 , n ? 0.075 . 则 [15, 20) 组的频率与组距之比 a 为0.125. (5分) ⑵参加在社区服务次数在区间 [15, 20) 内的人数为 360 ? 0.625 ? 225 人. (8 分) ⑶在样本中,处于 [20, 25) 内的人数为 3,可分别记为 A, B, C ,处于 [25,30) 内的人数
解:⑴由题可知 为 2, 可分别记为 a , b . 从该 5 名同学中取出 2 人的取法有

( A, a),( A, b),( B, a) ( B, b),(C, a),(C, b),( A, B),( A, C),( B, C),( a, b) 共 10 种; 至多一人在 [20, 25) 内的情况有 ( A, a),( A, b),( B, a),( B, b),(C, a),(C, b),(a, b) 共 7
种, 所以至多一人参加社区服务次数在区间 ? 20,25? 内的概率为 (12 分) 20(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)取 AC 中点 G,连结 FG、BG, ∵F,G 分别是 AD,AC 的中点 ∴FG∥CD,且 FG= ∵BE∥CD ∴EF∥BG. D

7 . 10

1 DC=1 . 2
E C G

∴FG 与 BE 平行且相等 ?2 分

F

EF ? 面ABC, BG ? 面ABC
∴ EF ∥面 ABC ???4 分

A

B
A

6

(Ⅱ)∵△ABC 为等边三角形

∴BG⊥AC

又∵DC⊥面 ABC,BG ? 面 ABC ∴DC⊥BG ∴BG 垂直于面 ADC 的两条相交直线 AC,DC, ∴BG⊥面 ADC . ∵EF∥BG ∴EF⊥面 ADC ∵EF ? 面 ADE,∴面 ADE⊥面 ADC . ????????????????8 分 (Ⅲ)连结 EC,该四棱锥分为两个三棱锥 E-ABC 和 E-ADC . ????6 分

1 3 1 3 3 3 3 . ? ? ? ? ?? V A? BCDE ? VE ? ABC ? VE ? ACD ? ? ? 1 ? ? 1? ? ? ? 3 4 3 2 12 6 4
???12 分

21(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到抛物线 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.

1 ? 2a ? 2b ? 2ab , 2 1 以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积 S 2 ? ? 2c ? 2b ? 2cb . 2 2 x y2 S1 2ab a ? ? ? 2 ,即 a ? 2c . 可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 4c 3c S2 2bc c
解:⑴以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积 S1 ?

3 x2 y 2 ? ?1 . 2 4 3 ??? ??? ? ? ⑵由 ?APB 为锐角,得 PA ? PB ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ??? ? ??? ? PA ? ( x1 ? m, y1 ) , PB ? ( x2 ? m, y2 ) , ??? ??? ? ? PA ? PB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2 ? x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ? y1 y2 ? 0 ,
2 代入 (1, ) 点可得 c ? 1 . 所求椭圆方程为

(5 分)

x2 y 2 ? ? 1 与直线方程 x ? y ? 1 ? 0 消去 y 并整理得 7 x 2 ? 8x ? 8 ? 0 . 联立椭圆方程 4 3 8 8 9 所以 x1 x2 ? ? , x1 ? x2 ? ? ,进而求得 y1 y2 ? ? , 7 7 7 8 8 9 2 2 所以 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m ? y1 y2 ?? ? ? m ? (? ) ? m ? ? 0 , 7 7 7 ?4 ? 3 15 ? 4 3 15 ? 2 )? ( ?? ) , 即 7m ? 8m ? 17 ? 0 , 解 之 得 m 的 取 值 范 围 (?? , 7 7
7

(12 分)

22(本小题满分 14 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 解:⑴当 x ? 1 时, f ?( x) ? ?3x2 ? 2ax ? b . 因为函数图像在点 (?2, f (?2)) 处的切线方程为 16 x ? y ? 20 ? 0 . 所以切点坐标为 (?2,12) ,并且 ? 解得 a ? 1, b ? 0 .

? f (?2) ? 8 ? 4a ? 2b ? 12, ? f ?(?2) ? ?12 ? 4a ? b ? ?16,
(4 分)

⑵由⑴得,当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x3 ? x2 ,

2 , 3 2 2 f ( x) 在 (?1, 0) 和 ( ,1) 上单调递减,在 (0, ) 上单调递增, 3 3 2 (Ⅰ)对于 x ? 1 部分: f ( x ) 的最大值为 max{ f (?1), f ( )} ? f (?1) ? 2 ; 3 (Ⅱ)当 1 ≤ x ≤ 2 时, f ( x) ? c ? ln x , ①当 c ≤ 0 时, c ? ln x ≤ 0 恒成立, f ( x) ≤ 0 ? 2 , 此时 f ( x ) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (?1) ? 2 ; ②当 c ? 0 时, f ( x) ? c ? ln x 在 [1, 2] 上单调递增,且 f (2) ? c ? ln 2 . 2 2 令 c ? ln 2 ? 2 ,则 c ? ,所以当 c ? 时, ln 2 ln 2 f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (2) ? c ? ln 2 ; 2 当0 ? c≤ 时, f ( x ) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (?1) ? 2 . ln 2 2 综上可知,当 c ≤ 时, f ( x ) 在 [?1, 2] 上的最大值为 2 ; ln 2 2 当c ? 时, f ( x ) 在 [?1, 2] 上的最大值为 c ? ln 2 . (8 分) ln 2 ?? x3 ? x 2 ,??( x ? 1) ⑶ f ( x) ? ? ,根据条件 M , N 的横坐标互为相反数,不妨设 ?c ln x,??( x ≥ 1)
令 f ?( x) ? ?3x ? 2x ? 0 可得 x ? 0 或 x ?
2

M (?t , t 3 ? t 2 ) , N (t , f (t )) , (t ? 0) . 3 2 若 t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t , ???? ???? ? 2 3 2 3 2 由 ?MON 是直角得, OM ? ON ? 0 ,即 ?t ? (t ? t )(?t ? t ) ? 0 , 4 2 即 t ? t ? 1 ? 0 .此时无解; (10 分) ? 若 t ≥ 1 ,则 f (t ) ? c ? ln t . 由于 MN 的中点在 y 轴上,且 ?MON ? 90 ,所以 N 点 ???? ???? ? 2 3 2 不 可 能 在 x 轴 上 , 即 t ? 1 . 同 理 有 OM ? ON? 0 , 即 ?t ?( t ? t ) ? cln t ? 0 , 1 c? . (t ? 1) ln t

8

由于函数 g (t ) ? 求. (12 分)

1 (t ? 1) 的值域是 (0, ??) ,实数 c 的取值 范围是 (0, ??) 即为所 (t ? 1) ln t

9



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