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2.4.1平面向量数量积



课题: 平面向量的数量积(1) 科目: 数学 提供者:徐新用 一、教学内容分析
本节课选自人教版高中数学必修四第二章第四节:平面向量数量积第一课时。 本节课是平面向量运算的 继承和延伸。它把向量的长度和三角函数联系了起来,这为解决有关的几何问题提供了方便,特别为解决 线段垂直问题提供了有效的方法, 不仅它自身有很丰富的内容, 而且在数学、 物理等学科中应用十分广泛, 所

以也是高中数学的一个重要概念。无论在知识上,还是在能力上,都是进一步学习其他三角函数知识的 基础,起着承上启下的作用.本节是高考命题热点内容之一。

教学对象: 高一年级学生 单位: 大理白族自治州洱源县第一中学

课时:
1 课时

二、教学目标
(1)知识与技能:了解平面向量物理背景,正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这

一概念求两个向量的数量积,并能根据条件逆用等式求向量的夹角;掌握平面向量的数量积 的 5 条重要性质,并能运用这些性质解决有关问题; (2)过程与方法:通过平面向量的数量积的概念,几何意义,重要性质的应用,培养学生的 应用意识.
(3)情感态度与价值观:学习应用数量积的过程中,进一步体验科学之间的联系,认识事物的统一性。 感受数形结合思想。培养学生积极参与数学教学活动的意识,在学习中体验成功的喜悦。

三、学习者特征分析
本节课授课对象是高一年级的学生,他们已熟知了实数的运算体系,理解了向量的概念,对向量的加 法、减法及数乘运算都应该较熟练,具备了功等物理知识,并且通过前面的学习初步体会了研究向量运算 的一般方法。

四、教学策略选择与设计
根据学生的认知规律,本节课我采用讲解讨论相结合,例题练习相结合的授课形式,用最简单、最 通俗的方法和语言进行课堂教学,尽可能的激发学生兴趣.本班学生数学基础差,注意根据课堂实际,合 理调整教学内容与节奏,引导学生主动参与学习.并借助多媒体教学手段,使学生理解平面向量数量积的 定义, 理解定义之后引导学生推导数量积的性质, 通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识, 初步掌握平面向量数量积定义的运用。 这一切主要是通过课堂教学来实现的, 因此, 要精于课堂教学设计, 并在实践中进行反思和再设计,形成一系列适合学生认知、发展的教学方案。同时,在教学中要注意引导 学生不断增强自主性、探索性、合作性和思辨性,促使他们成为学习的主人。而贯彻数形结合思想是克服 难点的有效举措 . 通过例题、练习的分析讲评和学生积极主动的解题实践, 运用知识解决问题的能力 将得到提高。由于课堂教学准备的较充分,基本能达到预定目标。

五、教学重点及难点
教学重点:平面向量的数量积定义和几何意义 教学难点:平面向量数量积的定义及性质的理解和平面向量数量积的应用.

六、教学过程 教师活动
(一)创设情景,导入新课 1.情境引入:我们学习了向量的加法、减法乘法三种运算 .怎么 用坐标表示?(学生口答) 2.我们知道,如果力 F 在位移 s 方向上的夹角为 ? ,那么 F 所做 的功 W 应为

学生活动

设计 意图

W ?| F | ? | s | cos?
问题 1:如果把 W 看成两个向量 F 与 s 的某种运算结果,那么这 个结果是数量还是向量?(尝试回答) 这个就是我们这节课要学得平面向量数量积,当然学习之前先来 研究向量的夹角。

复习 旧知 识,降 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , 低切 入点 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 增强 学习 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 信心。 ? a ? (?x1 , ?y1 ) 引入 新课, 顺其 自然。 动手一起作图, 感受并培养能 力。

(二)合作交流,探究新知 1. 平面向量的夹角 已 知 非 零 向 量 a 与 b , 作 OA ? a , OB ? b , 则

?AOB ? ? (0 ? ? ? ? ) 叫 a 与 b 的夹角.
(教师教具演示,学生自己作图) 说明: (1)当 ? ? 0 时, a 与 b 同向; (2)当 ? ? ? 时, a 与 b 反向; (3)当 ? ? 小组 讨论, 发现, 得出 夹角 的几 种类 型,印 象深 刻。同 时提 升动 手操 作能 力。

?

2

时, a 与 b 垂直,记 a ? b ;

( 4 )注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的 . 范围

0 ?? ??

2.平面向量数量积(内积)的定义(板书) 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角是 ? ,则数量

| a || b | cos? 叫 a 与 b 的 数 量 积 , 记 作 a ? b , 即 a ? b ?| a || b | cos? 并规定 0 与任何向量的数量积为 0.
两个向量的数量积与向量同实数积有很什么区别?(引导,学生 回答,再总结) (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos ? 的 符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a ? b ;今后要学到两个向 量的外积 a ? b , 而 a ? b 是两个向量的数量的积, 书写时要严格区 分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用 “×”代替.

3.几何意义 你能根据数量积的定义 a ? b ?| a || b | cos? , 再结合下面图形, 得 到 | b | cos? 几何图形吗?(多媒体给出图形)

老师引导,学生根据图形,结合初中直角三角形知识尝试寻找

| b | cos? 几何图形。
老师板书投影概念: | b | cos? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 因此得出数量积的几何意义 (板书) : 数量积 a ? b 等于 a 的长度 与 | b | 在 a 方向上投影 | b | cos? 的乘积

(三)例题分析,巩固双基。 例 1. 设 a 、 b 为两个非零向量, e 是与 b 同向的单位向量 ① e ? a ? a ? e ?| a | cos? ②a ? b ? a?b ? 0

③ 当 a 与 b 同 向 时 , a ? b ?| a || b | ; 当 a 与 b 反 向 时 ,

a ? b ? ? | a || b |
特别地, a ? a ?| a | 2 ,或 | a |? ④ cos ? ?

a?a

a ?b | a || b |

⑤ | a ? b |?| a || b |

讲评过程,对学生进行步骤点评。结果先不要填写,学生自己 板书过程,推出结果,巩固基础。 其实这几条是数量积的几条重要性质(板书)

小练 习,深 化概 念理 解,及 学生根据定义自己上台做题, 时巩 老师讲评,得出结论。 固。同 时也 是新 课的 内容, 加深 理解。

(四)知识升华,提高能力 例题 例 2.已知向量 a 与向量 b 的夹角为 ? , | a |? 2, | b |? 3 ,分别 在下列条件下求 a ? b (1) ? ? 135
0

(2) a // b

(3) a ? b

合作 探究, 老师讲解思路,学生板书过 分组 程。 及时发现问题, 适时纠正。 讨论, 提高 探究,

例 3.已知向量 a 与向量 b 满足 | a |? 4, | b |? 3 ,若 a ? b ? ?4 , 求向量 a 与向量 b 的夹角 ? . 老师提示,学生处思路。由学生自己上台板演,老师点评结果, 并强调书写的规范格式。培养良好习惯。 (五)课堂练习,强化认知 课堂作业 P104 例题和 P106 练习题 1 学生演板,后集体讨论修订答案同桌讨论,由学生回答答案。 学生演板,后集体讨论修订答 案同桌讨论,由学生回答答 案。

总结 归纳 能力。

(六)课时作业,巩固提高 必作 P106 2,3 P108 6 思考:已知实数 a、b,则 ab=ba,但是数量积也成立吗?

练习本完成

分层 作业, 兼顾 所有 学生, 让所 有人 充分 发展。

七、教学反思
关注学生认知,问题要恰当。多引导,让学生自主探究、发现、归纳、总结。多提问,增强沟通。运用 多媒体辅助教学。更加积极营造的问题环境,鼓励学生提出科学型问题。合理分组,精心分工,加强小组 学习方式的训练及探究活动的指导。教师应该如何准确的提出问题。在教学中,我提出问题,平面向量的 数量积的定义中你认为应注意哪些问题?这个问题问的不够具体, 学生不知道给如何回答。 其实这个问题, 我也曾考虑过该如何问,只是没有找到更合适的提问方法,能力有待加强。 教师如何把握“收” 与“放” 的问题 。何时放手让学生思考,何时教师引导学生,何时教师讲授,这是个值得思考的问题。 教师要点 拨到位。 在学生出现问题后,教师要及时点评加以总结,要重视思维的提升,提高学生的数学能力和素 质。

八、板书设计 平面向量数量积 1 引入 新知: 夹角, 定义, 几何意义 , 性质 例题 作业



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