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二项式定理及典型试题归纳


项式定理及典型试题
知识点一:二项式定理
0 n 1 n ?1 r n?r r n n 二项式定理: (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N * )

其中:

①公式右边的多项式叫做 (a ? b)n 的二项展开式;

r ②展开式中各项的系数 Cn ( r =0,1,2?n)叫做二项式系数; r n?r r ③式中的第 r+1 项叫做二项展开式的通项, 用 Tr ?1 表示; 二项展开式的通项公式为 Tr ?1 ? Cn a b .

知识点二:二项展开式的特性
①项数:有 n+1 项; ②次数:每一项的次数都是 n 次,即二项展开式为齐次式; ③各项组成:从左到右,字母 a 降幂排列,从 n 到 0;字母 b 升幂排列,从 0 到 n;
0 1 n ④二项式系数:依次为 Cn . , Cn ,?, Cn

知识点三:二项式系数的性质
①对称性:二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 ②单调性:二项式系数在前半部分逐渐增大,在后半部分逐渐减小,在中间取得最大值.其中,当 n 为偶数时,二项展开式中间一项的二项式系数 C 最大;当 n 为奇数时,二项展开式中间两项的二项式 系数 C
n ?1 2 n

n 2 n

, C

n ?1 2 n

相等,且最大.
n

0 1 n ③二项式系数之和为 2 ,即 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2n

其中,二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和,
0 2 4 1 3 5 即 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2n ?1

④要区别二项式系数与系数。

经典例题 1、 “ (a ? b) 展开式
n

例 1.求 (3 x ?

1 x

) 4 的展开式;

【练习 1】求 (3 x ?

1 x

) 4 的展开式

2.求展开式中的项 1 n ) 的展开式中,第 6 项为常数项. 例 2.已知在 ( 3 x ? 3 2 x 2 (1) 求 n; (2)求含 x 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.

【练习 2】若 ( x ? 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列.求: 24 x (1)展开式中含 x 的一次幂的项; (2)展开式中所有 x 的有理项.

3.二项展开式中的系数
例 3. 已知 ( 3 x ? x2 )2n 的展开式的二项式系数和比 (3x ? 1) 的展开式的二项式系数和大 992 ,求
n

1 (2x ? )2 n 的展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项(先看例 9). x

[练习 3]已知 ( x ?
3

2 n ) (n ? N * ) 的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是 10:1. x2

(1)求展开式中含 x 2 的项;(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例 4. (x 2 ? 1)(x ? 2) 7 的展开式中, x 项的系数是
3



例:设 ( x ? 2)3 ? ( x ? 1)7 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ? ? ? a7 ( x ? 1)7 (1)求 a2 ? a5 (2)求 a1 ? a2 ? ?a7

5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例 5(04 安徽改编) ( x ?

1 ? 2) 3 的展开式中,常数项是 x



6、求中间项
例 6 求( x ?
1
3

x

) 10 的展开式的中间项;

7、有理项
例7 ( x?
1
3

x

) 10 的展开式中有理项共有

项;

8、求系数最大或最小项
(1) 特殊的系数最大或最小问题 例 8(00 上海)在二项式 ( x ? 1) 的展开式中,系数最小的项的系数是
11



例 9 求( x ?

1 2 x
4

) 8 展开式中系数最大的项;

例 10 在( x ? y ) 的展开式中,系数绝对值最大项是
7



9、利用“赋值法”及二项式性质 3 求部分项系数,二项式系数和
例 11.若 (2x ? 3) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 , 则 (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 的值为 【练习 1】若 (1 ? 2 x) 2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? 2004x 2004 , ;

【练习 2】设 (2 x ? 1) 6 ? a6 x 6 ? a5 x 5 ? ... ? a1 x ? a0 , 则 a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a6 ?



10、利用二项式定理求近似值 6 例 15.求 0.998 的近似值,使误差小于 0.001 ;


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