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陕西省西安市第六十六中学2011届高三高考数学基础知识训练(21)



班级______

备考 2011 高考数学基础知识训练(21) 姓名_________ 学号_______ 得分_______

一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1 .复数 Z ? ?
?1 ? i ? ? ?1? i ?
100

?

___________

2 .已知集合 A ? { x | 1 ? x ? 3}, B ? { x | 2 ? x ? 4} ,则 A ? B ? _______.

3 .设 Sk=

1 k ?1

?

1 k ? 2

?? ?

1 2k

,那么 Sk+1=Sk+_____

4 .命题“ ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是__________________________.
2

5 .一般来说,一个复杂的流程图都可以分解成_________、_________、__________三种结 构; 6 .下面是一次数学考试成绩(百分制,分组频数条形图)根据下图填下表:

分数 0~20 20~40 40~60 60~80 80~100
?
3 3 5

学生数表

频率

7 .已知 sin( ? ?

) ?

,? ? (

?
6

,

2? 3

) ,则 cos ? ?

.

2 2 2 2 8 .点 M ? x 0 , y 0 ? 是圆 x ? y ? r 外一点,则直线 x 0 x ? y 0 y ? r 与该圆的位置关系是

___________________(在相离、相交、相切中选择) .

9 .圆锥和圆柱的底面半径和高都是 R,则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为______.
1 x
2

2 10.函数 y ? x ?

?1

? 1 的值域为___________________.

11.化简: ( AB ? CD ) ? ( AC ? BD ) ? _____ .

12.如图,测量河对岸的塔高 A B 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D , 测得 ? B C D ? 1 5 ? . ? B D C ? 3 0 ? , C D ? 3 0 米,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 6 0 ? , 则塔高 A B =_________

13.设 f ( x ) ? 1 ? 2 x 2 , g ( x ) ? x ? 2 x ,若 F ( x ) ?
2

f ( x ) ? g( x) 2

| f( ) ? ( )x x g | ? 2

,则 F ( x ) 的

最大值为__



14. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数, 且对于任意实数 a, b∈R, 满足 f(a· b) f(2 ) f(2 ) * * =af(b)+bf(a), f(2)=2, n= a (n∈N ), n= n (n∈N )考察下列结论: b ①f(0) n 2 =f(1);②f(x)为偶函数;③数列{an}为等比数列;④数列{bn}为等差数列,其中正确 的结论是 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.化简: f (? ) ? s in ? ? s in (? ?
2? 3 ) ? s in (? ? 4? 3 ).
n n

16.在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, E 为棱 C C 1 的中点.

(Ⅰ)求证: AD 1 // 平面 DBC 1 ;

(Ⅱ)求 AE 与平面 ABCD 所成角的余弦值.

17.据报道,我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一.图 1 表示我国土地沙 化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况,由图中的相关信 息,把上述有关年代中,我国年平均土地沙化面积在图 2 中表示出来.

图1

图2

18.在抛物线 y ? 4 x 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。
2

19 . 已 知 数 列 { a n } 满 足 a 1 ? 1, 点 P ( a n , a n ? 1 ) 在 直 线 x ? y ? 1 ? 0 上 , 数 列 { b n } 满 足
1 n ?1 1 n?2 1 ? n b1 ? ( n ? 1) b 2 ? ? ? 2 b n ? 1 ? b n ? ( ) ?( ) ? ? ? ? 1( n ? N ) 3 3 3

(1)求数列 { a n } , { b n } 的通项公式; (2)设 c n ? ? a n b n ,求数列 { c n } 的前 n 项和 T n ?

20.已知函数 f ( x ) 定义在 R 上,对 ? x , y ? R ,有 f ( x ? y ) ? f (x ? y ) ? 2 f (x ) ? f (y ) ,且
f (0) ? 0 .

(1)求证: f ( 0 ) ? 1 ; (2)求证: y ? f ( x ) 是偶函数; (3)若存在常数 c ,使 f ( ) ? 0 .①求证:对 ? x ? R ,有 f ( x ? c ) ? ? f ( x ) ;
2 c

②求证: y ? f ( x ) 是周期函数.

参考答案 填空题 1 .1; 2 . ( 2, 3] 3 .
1 2k ? 1 ?
2

1 2k ? 2

4. ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 5 .顺序 条件(选择) 循环; 6 . 分数 0~20 20~40 40~60 60~80 学生数表 1 2 4 10 频率
1 32 1 16 1 8

5 16

80~100

15

15 32

7 .

3 3 ? 4 10

8 .相交 9 . (1 ? 10. [ 2 , ?? ) 11.0 12. 1 5 6 13.
7 9

2) : 4

14.解析:∵f(0)=f(0·0)=0,f(1)=f(1·1)=2f(1),∴f(1)=0,①正确;f(1)=f[(- 1) ·(-1)]=-2f(-1), ∴f(-1)=0,f(-2)=f(-1×2)=-f(2)+2f(-1)=-2≠f(2),故 f(x)不是偶函 数, 故②错; f(2 )=f(2· 则 2
n n-1

)=2f(2

n-1

)+2

n-1

f(2)=2f(2

n-1

f(2 ) f(2 ) )+2 , ∴ n = n-1 2 2
n

n

n-1

f(2) +1,即 bn=bn-1+1,∴{bn}是等差数列,④正确;b1= =1,bn=1+(n-1)×1=n, 2 f(2 ) n n n n f(2 )=2 bn=n2 ,an= =2 ,故数列{an}是等比数列,③正确。答案:①③④ n 解答题 15. f (? ) ? s in ? ?
1 2 s in ? ? 3 2 cos ? ? 1 2 s in ? ? 3 2 cos ? ? 0
n

16.(Ⅰ)(略证) :只需证 BC 1 // AD 1 即可。 (Ⅱ)连接 AC ,由正方体的几何性质可得 AC 即为 AE 在底面 ABCD 上的射影,则 ? EAC 即为 AE 与平面 ABCD 所成角 在 Rt ? AEC 中, EC ? AC , AC ? 则 cos ? EAC ?
AC AE ? 2 3 2 3 2 2 2 a , EC ? a 2 ? AE ? 3 2 a

所以 AE 与平面 ABCD 所成角的余弦值为

17.答案:如下图:

18.解:设点 P ( t , 4 t ) ,距离为 d , d ?
2

4t ? 4t ? 5
2

?

4t ? 4t ? 5
2

17

17

当t ?

1 2

时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。
2

1

令T ?

2 3
2

?

3 3
3

?

4 3
4

?? ?

n 3
n

则 T ?
3

1

2 3
3

?

3 3
4

?? ?

n ?1 3
n

? 3

n
n ?1

1

两式相减得: T ?
3
5 18 1 1
n

2

2 3
2

?

1 3
3

?

1 3
4

?? ?

1 3
n

? 3
1
n

n
n ?1

?

2 9

(1 ? 1? 3 1 3

1
n?2

) ? 3

? 27

n
n ?1

?

?

?

? 3 5 12

n
n ?1

?T ? 3 ? 1
n

5 12

?

3 3 2

?

? ? 9

1

? ?

n
n

2 3

4 3 ? 1

2 3
n

? Tn ? ? 1 ? 6 (

?

?

1

?

n
n

)?

3n 3
n

(n ? 2) ? 3n 3
n

4 3

2 3

2 3 3 2 ?

又 n=1 时, T1 ? ? 1 也满足上式

? Tn ?

1

?

9
n

2 3

20.解: (1)证明:? f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x ) ? f ( y )
f (0 ) ? f (0 ) ? 2 f (0 ) ,? f (0 ) ? 0
2

令x ? y ? 0 得

? f (0 ) ? 1

(2)证明:在 f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x ) ? f ( y ) 中

令x ? 0 得

f ( y ) ? f ( ? y ) ? 2 f (0 ) ? f ( y ) ? 2 f ( y ) , ? f ( y ) ? f ( ? y ) ? f ( x ) 是周期函数

(3)①在已知等式中把 x 换成 x ?
f (x ? c 2 ? c 2 ) ? f (x ? c 2 ? c 2

c 2

,把 y 换成
c

c 2

,且由 f ( ) ? 0 得
2

c

) ? 2 f (x ?

c ) ? f ( ) ? 0 ,? f ( x ? c ) ? ? f ( x ) 2 2

②由①知对 ? x ? R ,有 f ( x ? c ) ? ? f ( x ) ,? f ( x ? 2 c ) ? ? f ( x ? c ) ,代入得
f ( x ? 2 c ) ? f ( x ) ,? f ( x ) 是以 T ? 2 c 为一个周期的周期函数。



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