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河南省南阳一中2014届高三上学期第二次周考(11月)数学(理)试题 Word版含答案



(2014.11.16) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数 z 满足方程 z ? ( z ? 2)i (i 为虚数单位),则 z =( ) A 1? i B 1? i C ?1 ? i D ?1 ? i

2、设全集 U=R,A={x|x(x+3)<0},B=

{x|x<-1} 则下图中阴影部分表示的集合为( ) A. {x | ?3 ? x ? ?1}
2

B. {x | ?3 ? x ? 0}

C. {x | ?1 ? x ? 0} D. {x | x ? ?3} )

3.若函数 y ? log 2 (mx ? 2mx ? 3) 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是 ( A. ? 0,3 ? 4. 将函数 y ? sin( x ? B. ? 0,3 ? C. ? 0,3? D. ? 0,3?

?
3

, ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)

? 个单位,得到的图象对应的解析式是( ) 3 1 1 ? A. y ? sin x B. y ? sin( x ? ) 2 2 2 1 ? ? C. y ? sin( x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 2 6 6 2 5 已知定义在 R 上的周期为 2 的偶函数 f ( x) ,当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? x ? 2 x ,则
再将所得的图象向左平移

f ( x) 在区间 ?0,2014 ?内零点的个数为(
A.3019 B.2020
n

) C.3021 D.3022

6. 设函数 f ( x) ? ( x ? a) , 其中 n ? 6 系数为( ) A. ?360

?

?

2 0

cos xdx ,

f ?(0) ? ?3 , 则 f ( x) 的展开式中 x 4 的 f ( 0)
D. 60

B. 360

C. ?60

7.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程中各

至少选一门,则不同的选法共有(
A. 30

)种 C 48 D 52

B. 60

→ → 8. 已知 M 是△ABC 内的一点, 且AB· AC=2 3, ∠BAC=30° , 若△MBC, △MCA 和△MAB 1 1 4 的面积分别为 ,x,y,则 + 的最小值是( ) 2 x y A.20 9. 在 B.18 C.16 D.9

?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 为 a, b, c , 满 足 : sin( A ? B) ? 2cos A sin B ? ?2sin 2C , 且 16a 2 ? 16b2 ? 13c2 ? 0 .若 ?ABC 的面
积为

3 15 ,则 a+b 值为( 4
B.6

) C.7 D .8

A.5

x 10. 若函数 f ( x) 的零点与 g(x)= e ? 4 x ? 3 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则

f ( x)

可以是(



A.f(x)=2x+1;

B.f(x)=|2x-1|;

C.f(x)= 2 x ? 1 ;

D.f(x)=lg(2-x)

11. 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 若 S n ? t 恒成立,则实数 t 的最小值为( A

1 , 且对任意正整数 m , 都有 am ? n ? am ? an , n, 5
) C

1 4

B

3 4

4 3

D 4

?log 1 ( x ? 1), x ? ? ?0,1? , ? 2 12.定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ≥0 时, f ( x) ? ? 则关于 x 的 ?1? | x ? 3 |, x ? ? ?1, ?? ? , ?
函数 F ( x) ? f ( x) ? a (0< a <1)的所有零点之和为( A 1- 2 B 2 ?1 C 1? 2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
a a
11

) D 2
?a

?a

?1


13.在 (3 x ? 23 x ) 的展开式中任取一项,则所取项为有理项的概率 P=

14、随机抽取某中学甲、乙两个班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm)后获得身 高数据的茎叶图如图甲所示,在这 20 人中,记身高在[150,160) , [160,170) , [170, 180) , [180,190]内的人数依次为 A1 , A2 , A3 , A4 ,图乙是统计样本中身高在一定范围内 的人数的算法流程图,则由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是 ,图乙输

出的 S 的值为

2 15. 已知 ? ~ N (3, ? ) ,若 P(? ? 2) ? 0.2 ,则 P(? ? 4)等于

16. 对 任 意 实 数 a, b , 函 数 F ( a, ? b)

1 b 果 函 数 ? ?a ?b ??a. 如 2 f ( x) ? sin x, g ( x) ? cos x ,那么对于函数 G ( x) ? F ? f ( x), g ( x) ? .对于下列五种
? ?

说法: (1) 函数 G ( x) 的值域是 ? ? 2, 2 ? ; (2) 当且仅当 2k? ?

?
2

? x ? 2 ? k +1? ? (k ? Z ) 时, G( x) ? 0 ;

(k ? Z ) 时,该函数取最大值1; 2 ? ? 9? ? (4)函数 G ( x) 图象在 ? , 上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的4倍 ?4 4 ? ?
(5) 对任意实数x有 G ?

(3) 当且仅当 x ? 2k? ?

?

? 5? ? ? 5? ? ? x? ? G? ? x ? 恒成立. ? 4 ? ? 4 ?
1 的图像与 x 轴有两个不同的交 4

其中正确结论的序号是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知 a ? R, 条件 p:函数 y ? x ? (4a ? 3) x ?
2

点,条件 q:复数

a?i 在复平面上对应的点在第一象限。如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 1? i

为假命题,求实数 a 的范围。

18.(12 分)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 9, a5 ? a7 ? 30 ,
(1)求 an ; (2)已知数列 ?bn ? 的第 n 项为 bn ,若 bn ,

1 bn ?1 , an (n ? N *) 成等差数列, 2

且 b1 ? 3 ,设数列 ?

?1? ?1? ? 的前 n 项和 Tn .求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn ? bn ? ? bn ?

19.(12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? (1) 求函数 f ( x) 的解析式;

?
2

)的图象如图所示.

? ? ? ? x ? ?1 , ? 4 ? 且 lg ? g ( x) ? ? 0 ,求 g ( x) 的单调区间.
(2) 设函数 g ( x) ? ?4 f ? ? 20.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、 “中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任 1 何一类票的概率都为 ,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同 3 意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资. (1)求该公司决定对该项目投资的概率; (2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率. 21、已知函数 f ( x) ? (ax ? x ? 1)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
2 x

(1)若 a ? 1,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (3)若 a ? ?1 ,函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同 3 2

的交点,求实数 m 的取值范围. 选做题(请在下列题目中选做一个,并在答题卷上涂黑标号) 22. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4:坐标系与参数方程 在直角坐标 xOy 中,圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 。 (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方 程,并求出圆 C1 , C2 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求圆 C1与C2 的公共弦的参数方程。 23. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| ax ? 1| ( a ? R ) ,不等式 f ( x) ? 3 的解集为{x|-2 ? x ? 1} 。 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ? 2 f ( ) ? k 恒成立,求 k 的取值范围。

x 2

南阳市一中 2014 级第二次周考理数参考答案 一.选择题

二.填空题

1 ; 6

甲;

18;

0.8 ;

(2) (4) (5)

三解答题

1 或 a ? 1 ;q 真时, ? 1 ? a ? 1 ; 2 1 (1)p 真 q 假时, a ? 1 或 a ? ?1 ; (2)p 假 q 真时, ? a ? 1 2 1 综上, a ? ?1 或 a ? 且 a ? 1 2
17. 解:p 真时, a ?

19. 【解析】 (1)由图象可知 A ? 1 ,

f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,
f(

T 7? ? ? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 ,所以 ? ? ? , T ? ? ,即 ? 4 12 3 4

所以 ? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,即 ? ? ? ? 2k? , k ? Z , 又 ? ? ? ,所以 ? ? ? ,所以 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ; (2)由(1)得, f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,所以
3
2 3 3
6 2
3

7? 7? 7? ? ) ? sin(2 ? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? ?1 ,即 sin( ? ? ) ? 1 , 12 12 6 6

………………4 分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? g ( x ) ? ?4 f ? ? ? x ? ? 1 ? ?4 sin ? 2 ? ? ? x ? ? ? ? 1 ? ?4 sin ? ?2 x ? ? ? ?1 4 3 2 3? ? 4 ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? . ? ?4 sin ? ?2 x ? ? ? 1 ? 4 sin ? 2 x ? ? ?1 6 6? ? ? ?

又由 lg ? g ( x) ? ? 0 ,得 g ( x) ? 1 , ∴ 4 sin ? 2 x ? ?
? ?

,∴ sin ? 2 x ? ? ? ? 1 ? ? ?1 ? 1 ? ? 6? 6? 2 ? ………………8 分



∴ ?
6

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

5? ? 2 k? , k ? Z 6

其中当 ?
6

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2 k? , k ? Z

时,g(x)单调递增,即
? ? 6 ? ? k? ? , k ? Z ?

k? ? x ?

?
6

? k? , k ? Z

,∴ g(x)的单调增区间为 ? k? , ?
? 5? ? 2 k? , k ? Z 6

又∵ 当 ?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

时,g(x)单调递减,
? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z ? 3 ?6 ?

即?
6

? k? ? x ?

?
3

? k? , k ? Z

;∴ g ( x) 的单调减区间为 ? ?
? ? 6 ? ? k? ? , k ? Z ?



综上所述, g(x)的单调增区间为 ? k? , ?

; ………………12 分 4分

g ( x) 的单调减区间为 ? ?

? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z ? 6 3 ? ?



?1?2?2?+C3 ?1?3= 7 20 解析 (1)该公司决定对该项目投资的概率为 P=C2 3 3 3 ? ? ?3? ?3? 27
“同意”票张数 “中立”票张数

(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形: “反对”票张数 3 2 1 2

事件 A 0 0 事件 B 1 0 事件 C 1 1 事件 D 0 1 1 1?1?3 2 1?1?3 1 ?1?3 1 ,P(B)=C1 ?1?3 1 P(A)=C3 3 3 = 3 3 = ,P(C)=C3C2 3 = , P(D)=C3 3 = ? ? 27 ? ? 9 ? ? 9 ? ? 9 ∵A、B、C、D 互斥, 13 ∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)= 27 21、解: (1)因为 12 分

f ( x) ? ( x 2 ? x ? 1)e x , f ?( x) ? (2 x ? 1)e x ? ( x 2 ? x ? 1)e x ? ( x 2 ? 3x)e x ,所

以曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 k ? f ?(1) ? 4e 又因为 f (1) ? e ,所以所求切线方程为 y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 4ex ? y ? 3e ? 0 …3 分 (2) f ?( x) ? (2ax ? 1)e ? (ax ? x ? 1)e ? [ax ? (2a ? 1) x]e ,
x 2 x 2 x

1 2a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; ? a ? 0 ,当 x ? 0 或 x ? ? 2 a 当 0 ? x ? ? 2a ? 1 时, f ?( x) ? 0 .所以 f ( x) 的单调递减区间为 (??,0] , [? 2a ? 1 ,??) ;单
①若 ?
a
a

调递增区间为 [0,? 2a ? 1] .
a

②若 a ? ?

1 , f ?( x) ? 2
2

?

1 2 x x e ? 0 ,所以 2
a

f ( x) 的单调递减区间为 (??,??) .
a

③若 a ? ? 1 ,当 x ? ? 2a ? 1 或 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? 2a ? 1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . 得 f ( x) 的单调递减区间为 ( ??,?
2

2a ? 1 2a ? 1 ] , [0,??) ;单调递增区间为 [? ,0] .7 分 a a
x

(3) 由 (2) 知, f ( x) ? (? x ? x ? 1)e 在 (??,?1] 上单调递减, 在 [?1,0] 单调递增, 在 [0,??) 上单调递减,

所以 f ( x) 在 x ? ?1处取得极小值
g ( x) ? 1 3 1 2 x ? x ?m 3 2

f (?1) ? ?

3 e

,在 x ? 0 处取得极大值 f (0) ? ?1 .

,得 g ?( x) ? x 2 ? x .

当 x ? ?1 或 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ;当 ? 1 ? x ? 0 时, g ?( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 (??,?1] 上单调递增,在 [?1,0] 单调递减,在 [0,??) 上单调递增. 故 g ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值 g (?1) ?

1 ? m ,在 x ? 0 处取得极小值 g (0) ? m . 6
? 3 1
? f (0) ? g (0)

因为

f (?1) ? g (?1) ,即 ?? ? ? m . 所以 函数 f ( x) 与函数 g ( x) 的图象有 3 个不同的交点, 所以 ? ? ? e 6

? ?? 1 ? m

3 1 ? ? ? m ? ?1. e 6
22

12 分

23.



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