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两角和与差的余弦公式教案


布吉高级中学

蔡晓华

两角和与差的余弦公式教案
【三维目标】 三维目标】 目标
1.知识与能力:理解两角和与差的余弦公式的推导过程,熟记两角和与差的余弦公式, 1.知识与能力: 知识与能力 运用两角和与差的余弦公式,解决相关数学问题。 2.过程与方法 过程与方法: 2.过程与方法:培养学生严密而准确的数学表达能力;培养学生逆向思维和发散思维 能力;培养学生的观察能力,逻辑推理能力和合作学习能力。 3.情感态度与价值观 情感态度与价值观: 3.情感态度与价值观:通过观察、对比体会数学的对称美和谐美,培养学生良好的数 学表达和思考的能力,学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识 及对待新知识的良好情感态度。

【教学重点】 两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。 教学重点】 重点 【教学难点】 两角和与差的余弦公式的推导。 教学难点】 难点 【学情分析】 本课时面对的学生是高一年级的学生,他们经过半个多学期的高中生活, 学情分析】
储备了一定的数学知识,数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的 时期,流体智力的高度发展的同时并有一定的晶体智力,这为本节课的学 习建立了良好的知识基础。

【教学过程】 教学过程】 创设情境, 一 创设情境,引入课题
问题 1 :我们已经学习了向量的数量积,请用数量积的知识完成下列练习。

a b = a b cos θ

a = x1 , y1 ), b = x 2 , y 2 ) 则 a b = x1 x 2 + y1 y 2 ( (

练习

已知 a = (cos45°, sin45°) , b = (cos30°, sin30°) ,则 a b =

自主探究, 二 自主探究,引发思考
问题2 由 你能推广到对任意 问题 : cos(45° 30°) = cos 45° cos 30° sin 45° sin 30° 出发, 的两个角都成立吗?
1

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层层深入, 三 层层深入,得出结论
问题 3 :∴ cos θ = cos α cos β + sin α sin β (一)两角差的余弦公式

设 a = cos α , sin α ), b = cos β , sin β ), ( (

a b = cos α cos β + sin α sin β
Q a b = a b cos θ ∴ cos θ = cos α cos β + sin α sin β
如果 α β ∈ [0, π ] ,那么 θ = α β 。 故, cos( α

β ) = cos α cos β + sin α sin β

使 cos θ = cos( α

实际上,当 α β 任意角时,由诱导公式总可以找到一个角都可转化 θ ∈ [0,2π ) ,

β)。

综上所述, cos( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β

,对于任意的角 α , β 都成立。

例1、 利用两角差的余弦公式, 求 : cos 15°, cos 75°

问题4 问题 : cos 75° = ? 根据两角差的余弦公式,你可以猜猜 cos(α + β ) = ? 提示:令 β = β (二)两角和的余弦公式

cos( α + β ) = cos α cos β sin α sin β
结论: 结论: 两角和与差的余弦公式Cα ± β

cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β
公式中两边的符号正好相反(一正一负) 注: 1、公式中两边的符号正好相反(一正一负) 2、式子右边同名三角函数相乘再加减,且余弦在前正弦在后。 式子右边同名三角函数相乘再加减,且余弦在前正弦在后。
2

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数学运用, 四 数学运用,小试身手 1. 求值 (1).cos105° (2). cos 54 o cos 36 o sin 54 o sin 36 o (3). cos 50 o cos 5 o + sin 50 o sin 5 o (4). cos(α β ) cos(α + β ) + sin(α β ) sin(α + β )
例2、已知 sin α =

2 π 3 3 , α ∈ ( , π ), cos β = , β ∈ (π , π ) ,求 cos(α + β ) 的值。 3 2 5 2

注意:注意角 α 、 β 的象限,也就是符号问题. 注意 2.已知 sin α =

5 π 3 3 , α ∈ ( , π ), cos β = , β ∈ (π , π ) ,求 cos(α β ) 的值。 13 2 5 2

变式思考
4 5 , cos(α + β ) = , 求 cos β的值。 5 13 12 3 2.已知α , β 都是锐角, β = , sin(α β ) = , 求 cos α的值。 cos 13 5 cos 1.已知α , β 都是锐角, α =

学习体会, 五 学习体会,相互分享
让学生谈谈自己在本节课上的收获和体会。 提示: (1)公式 cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ; (2)前后知识的联系; (3)学完后能解决的问题。

课外作业, 六 课外作业,继续探究
1.课本第 94 页,感受理解第 1, 3 题。思考运用第 6 题。 2.探究:知道了 cos(α ± β ) ,你觉得 sin(α ± β ) 也有类似的规律吗? (见黑板) 【板书设计】 (备注) 【教学后记】

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