9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

椭圆复习典例学案



椭圆复习学案
复习目标:1、熟练掌握椭圆的定义、几何性质、标准方程及简单性质; 2、能解决直线和椭圆相交的相关问题. 一. 【知识回顾: 】 1. 椭圆定义: (1)定义: 的动点 P 的轨迹叫椭圆, 其中两个定点 F1、F2 叫椭圆的焦点. 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时 , P 的轨迹为 时, P 的轨迹 ; 当 PF1 ? PF 2 ?

2a ? F 1F 2

分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定 系数法,求出参数 a 和 b (或 a 和 b )的值,即可求得椭圆的标准方程. 解 : (1) 当 焦 点 在
2 2

x



















x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? a 2 b2

由2c ?

且 1 e= 2

c a

3 ?得, c , 5

= a6 ?

b1 ? 0 ,

8

; 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹为
y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

x2 y 2 ? ? 1; 100 64 y 2 x2 同理焦点在y轴时椭圆的方程为 ? ? 1. 100 64 得焦点在x轴时椭圆的方程为
x2 y2 (2)当焦点在 x 轴上时,设其方程为 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? .由椭圆过点 P?3, 0? , a b


2.椭圆的方程与几何性质: 标准方程 参数关系 焦点 性 质 焦距 范围 顶点 对称性 离心率及 范围 二. 【典例示范】 【例 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)已知椭圆的中心在原点,焦距是 12,离心率是 关于 对称
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

9 0 x2 2 2 a ? 3 b ? ? 1 ? y2 ? 1 . b ? 1 a ? 9 .又 ,代入得 , ,故椭圆的方程为 a 2 b2 9
当焦点在 y 轴上时,设其方程为

y 2 x2 ? ? 1?a ? b ? 0? .由椭圆过点 P?3, 0? , a 2 b2

2c

9 0 y2 x2 2 2 ? ?1. 知 2 ? 2 ? 1 .又 a ? 3b ,联立解得 a ? 81, b ? 9 ,故椭圆的方程为 a b 81 9
反思:对比例 1 中的(1) , (2)思考求标准方程的异同 变式 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦距为 6, a ? b ? 1 ; (2)长轴是短轴的 2 倍,且过点(2,1)

3 ; (2)已知椭圆的中心在原点,且经 5

【例 2】在 △ ABC 中,?A ? 300 ,| AB |? 2, S?ABC ? 3 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过 点 C ,则该椭圆的离心率 e ? .

0? , a ? 3b . 过点 P?3,

【解题思路】由条件知三角形可解,然后用定义即可求出离心率

[解析] S ?ABC ?

1 | AB | ? | AC | sin A ? 3 , 2

将③④代入得 x ? 2 y

y1 ? y2 ? 0 .⑤ x1 ? x2

? | AC |? 2 3 , | BC |? | AB |2 ? | AC |2 ?2 | AB | ? | AC | cos A ? 2
e? | AB | 2 3 ?1 ? ? | AC | ? | BC | 2 3 ? 2 2
(1)将 x?

1 1 y ? y2 1 , y? 代入⑤,得 1 ?? ,故所求直线方程为: 2 2 x1 ? x2 2

注:求离心率时,只要列出 a、b、c 的齐次关系式,就能 求出离心率(或范围) 变式 2.如图,A、B、C 分别为椭圆
0

2x ? 4 y ? 3 ? 0 . ⑥
将⑥代入椭圆方程 x 2 ? 2 y 2 ? 2 得 6 y ? 6 y ?
2

x y ? 2 ? 1(a>b>0) 2 a b

2

2

1 1 ? 0 , ? ? 36 ? 4 ? 6 ? ? 0 符合题意, 4 4

的顶点和焦点,若∠ABC=90 ,则该椭圆的离心率为

2 x ? 4 y ? 3 ? 0 为所求.
(2)将

y1 ? y2 ? 2 代入⑤得所求轨迹方程为: x1 ? x2

x ? 4y ? 0 . (椭圆内部分)

【例 3】已知椭圆

x2 ?1 1? ? y2 ? 1 , (1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; 2 ? 2 2?

(3) 将

y1 ? y2 y ? 1 代入⑤得所求轨迹方程为 x 2 ? 2 y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 . (椭圆内部) ? x1 ? x2 x ? 2
x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点, 求直线 l 的方程. 36 9

(2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 1? 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; 分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为 M ?x1,y1 ? , N ?x2,y2 ? ,线段 MN 的中点 R?x,y ? ,则 变式 3. 已知 P(4 , 2) 是直线 l 被椭圆

? x12 ? 2 y12 ? 2, ? 2 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 2, ? ? x1 ? x2 ? 2 x, ? y ? y ? 2 y, ?1 2

① ② ③

①-②得 ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 2? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 . 由题意知 x1 ? x2 ,则上式两端同除以 x1 ? x2 ,

【例 4】 已知椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m . (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

④ 有 ?x ? x ?2? y ? y ? y1 ? y2 ? 0 , 1 2 1 2
x1 ? x2

分析:第(1)问要判断直线和椭圆有几个公共点问题也就是联立方程组判定方程组有 几 组 解 的 问 题 第 ( 2 ) 问 中 主 要 是 利 用 弦 长 公 式

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 求解.

解: (1)把直线方程 y ? x ? m 代入椭圆方程 4 x 2 ? y 2 ? 1 得
2 2

4x 2 ? ?x ? m? ? 1 ,
2

3、已知椭圆 C 的短轴长为 6,离心率为 为( A、9 4、 椭圆 ) B、1 C、1 或 9

4 ,则椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离 5
D、以上都不对 )

即 5x ? 2mx? m ? 1 ? 0 . ? ? ?2m? ? 4 ? 5 ? m2 ?1 ? ?16m2 ? 20 ? 0 , 解 得
2

?

?

?

5 5 . ?m? 2 2
2m , 5

x2 y 2 ? ? 1 的一条弦被 A(4, 2) 平分,那么这条弦所在的直线方程是 ( 36 9

( 2 )设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 x1 , x2 ,由( 1 )得 x1 ? x2 ? ?
2

( A ) x ? 2 y ? 0 ( B ) 2 x ? y ? 10 ? 0 ( C ) x ? 2 y ? 8 ? 0 ( D ) 2 x ? y ? 2 ? 0

m 2 ? 1 2 10 m2 ?1 ? 2m ? 2 ? x1 x2 ? .根据弦长公式得 : 1 ? 1 ? ? ? .解得 ? ? 4? 5 5 5 ? 5 ?
m ? 0 .方程为 y ? x .
说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和 圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式 ? ;解决弦长问题, 一般应用弦长公式. 用弦长公式弦长公式 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

x2 y2 + ? 1 左右焦点为 F1、F2,CD 为过 F1 的弦,则⊿CDF1 的周长为_____, 5 椭圆 16 9
⊿CF1F2 的周长为_____; 5、已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的的离心率为_______ 6、已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F( ? 2 3,0 ),且长轴长是短轴长的 2 倍 ,则该椭 圆的标准方程是

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ,若能

7、已知椭圆

x2 y2 10 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 的值为 5 m 5

合理运用韦达定理(即根与系数的关系) ,可大大简化运算过程.

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,交椭圆于 A、B 两点, 变式 4.已知斜率为 1 的直线 l 经过椭圆 4
求弦 AB 的长. 【自我检测】 1、已知 F1(-8,0),F2(8,0),动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16,则点 P 的轨迹为( A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线 2、P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,点 P 在 椭圆 a2 b2 2 上, ?POF2 是面积为 3 的正三角形,则 b 的值是 。
8、如图 F1 , F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 9、 椭圆 F2,点 P 在椭圆上。 若|PF1|=4,则|PF2|= 9 2
)

, ?F1 PF2 =

x2 y2 ? ? 1 上的点, F1 , F2 是两焦点,若 ?F1 PF2 ? 30? ,则 ?F1 PF2 的面 5 4
) A

2 2 2 2 10、求与圆 C1: x +(y-4) =121 内切,且与圆 C2: x +(y+4) =1 外切的动圆圆 心 P 的轨迹方程; 11、已知斜率为 1 的直线 l 经过椭圆 AB 的长;

积是(

16 3 3

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,交椭圆于 A、B 两点,求弦 4

B 4(2 ? 3)

C 16(2 ? 3 )

D 16

x2 y2 ? ? 1 ,过点 P(2,1)引一弦,使弦被 P 平分,求此弦所在直线方程; 12、已知椭圆 16 4



更多相关文章:
椭圆综合复习导学案
椭圆综合复习导学案 隐藏>> 做教育 做良心 中小学 1 对 1 课外辅导专家 备课教师:刘登骏 龙文教育个性化辅导教案提纲学生: 教学课题 教学目标 考点分析 重点难点...
椭圆学案
椭圆复习学案 5页 5财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能...则椭圆的标准方程是 . ※ 典型例题 例 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:...
椭圆学案
OF1 = OF2 = ●案例分析 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 例 1:已知椭圆两个...o 第二章第三节课 直线与椭圆的位置关系 章第三 8 ●复习回顾: 复习回顾:...
高三一轮复习 椭圆 学案
高三一轮复习 椭圆 学案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高三一轮复习 椭圆 学案_数学_高中教育_教育专区。云南衡水实验学校补习班...
椭圆学案
椭圆复习学案 5页 5财富值 第八章学案1椭圆 28页 2财富值如要投诉违规内容,...1 1 2 2 2 例 2. P 是椭圆 于___。 ? x2 y2 ? ? 1 上的点,...
高三复习理科学案椭圆
高三复习理科学案椭圆 隐藏>> 椭 圆 导学目标: 1.了解圆锥曲线的实际背景,了解...9 5 例 2 解题导引 确定一个椭圆的标准方程,必须要有一个定位条件(即确定...
椭圆专题总复习学案习题
椭圆专题总复习学案习题_数学_高中教育_教育专区。高三复习椭圆全部知识点学案,...F1 PF2 的外角平分线的垂线,垂足为 Q ,求点 Q 的轨迹方程. 【例 5】若...
圆锥曲线3个复习学案
圆锥曲线3个复习学案圆锥曲线3个复习学案隐藏>> 高三数学复习学案 “圆锥曲线与...全国Ⅱ 例2.(2007全国Ⅱ文)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率...
一轮复习精品学案:椭圆
世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 2013 版高考数学一轮复习精品学案:第八章...※例题解析※ 〖例〗已知椭圆 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴、...
椭圆学案
椭圆学案_数学_高中教育_教育专区。2-1 椭圆的标准方程复习 1:过两点 (0,1...? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 m 的范围 4 m . 例 2:已知椭圆...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图