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椭圆复习典例学案



椭圆复习学案
复习目标:1、熟练掌握椭圆的定义、几何性质、标准方程及简单性质; 2、能解决直线和椭圆相交的相关问题. 一. 【知识回顾: 】 1. 椭圆定义: (1)定义: 的动点 P 的轨迹叫椭圆, 其中两个定点 F1、F2 叫椭圆的焦点. 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时 , P 的轨迹为 时, P 的轨迹 ; 当 PF1 ? PF 2 ?

2a ? F 1F 2

分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定 系数法,求出参数 a 和 b (或 a 和 b )的值,即可求得椭圆的标准方程. 解 : (1) 当 焦 点 在
2 2

x



















x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? a 2 b2

由2c ?

且 1 e= 2

c a

3 ?得, c , 5

= a6 ?

b1 ? 0 ,

8

; 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹为
y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

x2 y 2 ? ? 1; 100 64 y 2 x2 同理焦点在y轴时椭圆的方程为 ? ? 1. 100 64 得焦点在x轴时椭圆的方程为
x2 y2 (2)当焦点在 x 轴上时,设其方程为 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? .由椭圆过点 P?3, 0? , a b


2.椭圆的方程与几何性质: 标准方程 参数关系 焦点 性 质 焦距 范围 顶点 对称性 离心率及 范围 二. 【典例示范】 【例 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)已知椭圆的中心在原点,焦距是 12,离心率是 关于 对称
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

9 0 x2 2 2 a ? 3 b ? ? 1 ? y2 ? 1 . b ? 1 a ? 9 .又 ,代入得 , ,故椭圆的方程为 a 2 b2 9
当焦点在 y 轴上时,设其方程为

y 2 x2 ? ? 1?a ? b ? 0? .由椭圆过点 P?3, 0? , a 2 b2

2c

9 0 y2 x2 2 2 ? ?1. 知 2 ? 2 ? 1 .又 a ? 3b ,联立解得 a ? 81, b ? 9 ,故椭圆的方程为 a b 81 9
反思:对比例 1 中的(1) , (2)思考求标准方程的异同 变式 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦距为 6, a ? b ? 1 ; (2)长轴是短轴的 2 倍,且过点(2,1)

3 ; (2)已知椭圆的中心在原点,且经 5

【例 2】在 △ ABC 中,?A ? 300 ,| AB |? 2, S?ABC ? 3 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过 点 C ,则该椭圆的离心率 e ? .

0? , a ? 3b . 过点 P?3,

【解题思路】由条件知三角形可解,然后用定义即可求出离心率

[解析] S ?ABC ?

1 | AB | ? | AC | sin A ? 3 , 2

将③④代入得 x ? 2 y

y1 ? y2 ? 0 .⑤ x1 ? x2

? | AC |? 2 3 , | BC |? | AB |2 ? | AC |2 ?2 | AB | ? | AC | cos A ? 2
e? | AB | 2 3 ?1 ? ? | AC | ? | BC | 2 3 ? 2 2
(1)将 x?

1 1 y ? y2 1 , y? 代入⑤,得 1 ?? ,故所求直线方程为: 2 2 x1 ? x2 2

注:求离心率时,只要列出 a、b、c 的齐次关系式,就能 求出离心率(或范围) 变式 2.如图,A、B、C 分别为椭圆
0

2x ? 4 y ? 3 ? 0 . ⑥
将⑥代入椭圆方程 x 2 ? 2 y 2 ? 2 得 6 y ? 6 y ?
2

x y ? 2 ? 1(a>b>0) 2 a b

2

2

1 1 ? 0 , ? ? 36 ? 4 ? 6 ? ? 0 符合题意, 4 4

的顶点和焦点,若∠ABC=90 ,则该椭圆的离心率为

2 x ? 4 y ? 3 ? 0 为所求.
(2)将

y1 ? y2 ? 2 代入⑤得所求轨迹方程为: x1 ? x2

x ? 4y ? 0 . (椭圆内部分)

【例 3】已知椭圆

x2 ?1 1? ? y2 ? 1 , (1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; 2 ? 2 2?

(3) 将

y1 ? y2 y ? 1 代入⑤得所求轨迹方程为 x 2 ? 2 y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 . (椭圆内部) ? x1 ? x2 x ? 2
x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点, 求直线 l 的方程. 36 9

(2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 1? 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; 分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为 M ?x1,y1 ? , N ?x2,y2 ? ,线段 MN 的中点 R?x,y ? ,则 变式 3. 已知 P(4 , 2) 是直线 l 被椭圆

? x12 ? 2 y12 ? 2, ? 2 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 2, ? ? x1 ? x2 ? 2 x, ? y ? y ? 2 y, ?1 2

① ② ③

①-②得 ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 2? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 . 由题意知 x1 ? x2 ,则上式两端同除以 x1 ? x2 ,

【例 4】 已知椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m . (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

④ 有 ?x ? x ?2? y ? y ? y1 ? y2 ? 0 , 1 2 1 2
x1 ? x2

分析:第(1)问要判断直线和椭圆有几个公共点问题也就是联立方程组判定方程组有 几 组 解 的 问 题 第 ( 2 ) 问 中 主 要 是 利 用 弦 长 公 式

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 求解.

解: (1)把直线方程 y ? x ? m 代入椭圆方程 4 x 2 ? y 2 ? 1 得
2 2

4x 2 ? ?x ? m? ? 1 ,
2

3、已知椭圆 C 的短轴长为 6,离心率为 为( A、9 4、 椭圆 ) B、1 C、1 或 9

4 ,则椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离 5
D、以上都不对 )

即 5x ? 2mx? m ? 1 ? 0 . ? ? ?2m? ? 4 ? 5 ? m2 ?1 ? ?16m2 ? 20 ? 0 , 解 得
2

?

?

?

5 5 . ?m? 2 2
2m , 5

x2 y 2 ? ? 1 的一条弦被 A(4, 2) 平分,那么这条弦所在的直线方程是 ( 36 9

( 2 )设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 x1 , x2 ,由( 1 )得 x1 ? x2 ? ?
2

( A ) x ? 2 y ? 0 ( B ) 2 x ? y ? 10 ? 0 ( C ) x ? 2 y ? 8 ? 0 ( D ) 2 x ? y ? 2 ? 0

m 2 ? 1 2 10 m2 ?1 ? 2m ? 2 ? x1 x2 ? .根据弦长公式得 : 1 ? 1 ? ? ? .解得 ? ? 4? 5 5 5 ? 5 ?
m ? 0 .方程为 y ? x .
说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和 圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式 ? ;解决弦长问题, 一般应用弦长公式. 用弦长公式弦长公式 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

x2 y2 + ? 1 左右焦点为 F1、F2,CD 为过 F1 的弦,则⊿CDF1 的周长为_____, 5 椭圆 16 9
⊿CF1F2 的周长为_____; 5、已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的的离心率为_______ 6、已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F( ? 2 3,0 ),且长轴长是短轴长的 2 倍 ,则该椭 圆的标准方程是

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ,若能

7、已知椭圆

x2 y2 10 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 的值为 5 m 5

合理运用韦达定理(即根与系数的关系) ,可大大简化运算过程.

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,交椭圆于 A、B 两点, 变式 4.已知斜率为 1 的直线 l 经过椭圆 4
求弦 AB 的长. 【自我检测】 1、已知 F1(-8,0),F2(8,0),动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16,则点 P 的轨迹为( A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线 2、P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,点 P 在 椭圆 a2 b2 2 上, ?POF2 是面积为 3 的正三角形,则 b 的值是 。
8、如图 F1 , F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 9、 椭圆 F2,点 P 在椭圆上。 若|PF1|=4,则|PF2|= 9 2
)

, ?F1 PF2 =

x2 y2 ? ? 1 上的点, F1 , F2 是两焦点,若 ?F1 PF2 ? 30? ,则 ?F1 PF2 的面 5 4
) A

2 2 2 2 10、求与圆 C1: x +(y-4) =121 内切,且与圆 C2: x +(y+4) =1 外切的动圆圆 心 P 的轨迹方程; 11、已知斜率为 1 的直线 l 经过椭圆 AB 的长;

积是(

16 3 3

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,交椭圆于 A、B 两点,求弦 4

B 4(2 ? 3)

C 16(2 ? 3 )

D 16

x2 y2 ? ? 1 ,过点 P(2,1)引一弦,使弦被 P 平分,求此弦所在直线方程; 12、已知椭圆 16 4



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