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2015年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学试题



2015 年三明市普通高中毕业班质量检查


共 6 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项:







本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题),第 II 卷第 21 题为选考题,其他题为必考题.本试卷

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区 域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案 使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,?, xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? n?

V?

1 S h 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积,h 为高

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题
目要求的.

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

1.已知集合 A ? ?x | x ? x ? 1? ? 0 , x ? R? , B ? ?x | ?2 ? x ? 2 ,x ? R? ,那么 A A. ? C. ?x | ?2 ? x ? 2 ,x ? R? B. ?x | 0 ? x ? 1,x ? R? D. ?x | ?2 ? x ? 1,x ? R?

B 等于

2.已知样本 M 的数据如下:80,82,82,84,84,84,86,86,86,86,若将样本 M 的数据分别加上 4 后得到样本 N 的数据,那么两样本 M,N 的数字特征对应相同的是 A.平均数 B.众数 C.标准差 D.中位数

高三理科数学试题第 1 页(共 6 页)

3.已知函数 f ( x) ? log 2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) ,则 f ( x) 是 A.奇函数 C.既是奇函数也是偶函数 B. 偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

2 4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 ,则数列 {an } 的前 10 项和为

A. 4 ? 1
10

B. (210 ? 1)2

C. (410 ? 1)

1 3

D. (210 ? 1)

1 3

5.设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 l1 在平面 ? 内,直线 l2 在平面 ? 内,且 l2 ⊥ m , 则“ l1 ⊥ l2 ”是“ ? ⊥ ? ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知三棱锥的底面是边长为 a 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,若侧视图的 面积为

3 1 ,三棱锥的体积为 ,则 a 的值为 4 4
B.

A.

3 4

3 2

C.

3 4

D.1

7.已知 a ? R ,那么函数 f ( x) ? a cos ax 的图象不可能是
y 1 O -1 π 2π x
y 1 O -1 π 2π x

A
y 1 O -1 π 2π x
y 1 O -1

B

π



x

C
2

D

? ? x ? 1, ? 1<x ? 0, 8.已知函数 f ( x) ? ? 将函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 的零点按从小到大的顺序排列,构成数 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0,
列 {an } ,则该数列的通项公式为 A. an ? n ?1 C. an ? n(n ? 1) 9. 已知区域 ? ? ?( x, y ) | ? B. an ? n D.an=2 -2
n

? ? ? ?

? ??1 ? x ? 1, ? 1 区域 A ? {( x, y) | 0 ? y ? e?| x| , x ?[?1,1]} , 在 ? 内随机投掷一点 M , ?, 2 ??1 ? y ? 1 ? ?

则点 M 落在区域 A 内的概率是

高三理科数学试题第 2 页(共 6 页)

A. (1 ? )

1 2

1 e

B. (1 ? )

1 4

1 e

C.

1 e

D. 1 ?

1 e

10. 若曲线 y ? f ( x) 在点 A( x1 , y1 ) 处切线的斜率为 k A , 曲线 y ? g ( x) 在点 B( x2 , y2 ) 处切线的斜率为 kB ( x1 ? x2 ) ,将 四个命题: ①已知曲线 f ( x) ? x3 , g ( x) ? x 2 ? 1,且 A(1,1) , B(2 , 3) ,则 ? ( A , B) ?
| k A ? kB | 的值称为这两曲线在 A , B 间的“异线曲度”,记作 ? ( A , B) .现给出以下 | AB |

2 ; 2

②存在两个函数 y ? f ( x) , y ? g ( x) ,其图像上任意两点间的“异线曲度”为常数; ③已知抛物线 f ( x) ? x2 ? 1 , g ( x) ? x2 ,若 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? ( A , B) ?
x ?x

2 5 ; 5

④对于曲线 f ( x) ? e , g ( x) ? e ,当 x1 ? x2 ? 1 时,若存在实数 t ,使得 t ? ? ( A , B) ? 1 恒成立,则

t 的取值范围是 [1, ??) .
其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷(非选择题
10
7

共 100 分)
开始 S=0 T= 0 输入x x≥170? 否 T=T+1 否 T≥500? 是 输出S 结束 是 S=S+1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.二项式 ( x ? a) 的展开式中, x 的系数是 15 ,则实数 a =_____. 12.某学校为调查高中三年级男生的身高情况,选取了 500 名男生作为样本,右图 是此次调查统计的流程图,若输出的结果是 380 ,则身高在 170cm 以下的频 率为_____. 13.若命题“ ?x ?[1, 2] , x2 ? 2ax ? a ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围 是 14.过双曲线 .

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂 a2 b2


足恰在线段 OF ( O 为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为

高三理科数学试题第 3 页(共 6 页)

15.如图,三条平行直线 l1 , l , l2 把平面分成①、②、③、④四个区域(不含边界) ,且直线 l 到 l1 , l2 的距 离相等.点 O 在直线 l 上,点 A,B 在直线 l1 上, P 为平 面区域内的点,且满足 OP ? ?1OA ? ?2 OB(?1, ?2 ? R) . 若 P 所在的区域为④,则 ?1 ? ?2 的取值范围是是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知集合 A ? ?1,1, 2 , 3? ,从 A 中随机抽取两个不同的元素 a ,b ,作为复数 z ? a ? bi ( i 为虚数单 位)的实部和虚部. (Ⅰ)求复数 z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率; (Ⅱ)设 ? ?| z |2 ,求 ? 的分布列及其数学期望 E? .

?

17. (本小题满分 13 分) 如图 1,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 ,将 ! ACD 沿矩形的对角线 AC 翻折,得到如图 2 所 示的几何体 D ? ABC ,使得 BD = 3 . (Ⅰ) 求证: AD ? BC ; (Ⅱ) 若在 CD 上存在点 P ,使得 VP ? ABC ?

1 VD ? ABC ,求二面角 P ? AB ? C 的余弦值. 2
D D C A A B B P C

18.(本小题满分 13 分)

图1

图2

3 x2 y 2 P ( c , c ) F ( c , 0) 已知点 在以 为右焦点的椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上,斜率为 1 的直线 m 过点 2 a b
F 与椭圆 ? 交于 A,B 两点,且与直线 l : x ? 4c 交于点 M . (Ⅰ) 求椭圆 ? 的离心率 e ; (Ⅱ) 试判断直线 PA , PM , PB 的斜率是否成等差数列?若成
等差数列,给出证明;若不成等差数列,请说明理由.

高三理科数学试题第 4 页(共 6 页)

19. (本小题满分 13 分) 如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型,其中 AD ? 6 , C 是 AB 的中点, ?BCD ?

π ,设 3

π π ?BAD ? ? ,且 ? ? ( , ) . 9 3 π (Ⅰ) 若 ? ? ,求 AB 的长; 4
(Ⅱ) 求 BD 的长 f (? ) ,并求 f (? ) 的最小值; (Ⅲ) 经市场调查发现,某地对该种金属支架的需求量与 ? 有关,且需求量 g (? ) 的 函数关系式为 g (? ) ? 4sin 6? ? 6? (单位:万件) ,试探究是否存在某种规格 的金属支架在当地需求量为零?并说明理由.

D

B

C θ A

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) ( a ? R ) . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? [0, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ?

? x ? 0, 所表示的平面区域内,求实数 a 的 ?x ? y ? 0

取值范围. (Ⅲ) 将函数 y ? f ( x) 的导函数 的图象向右平移一个单位后,再向上平移一个单位,得到函数 y ? g ( x) ... 的图象,试证明:当 a ?

1 时, [ g ( x)]n ? g ( xn ) ? 2n ? 2 (n ? N? ) . 2

21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按 所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填 入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ?

?a 1? . ? ( a ? 0, b ? 0 ) ?0 b?

(Ⅰ)当 a ? 2, b ? 3 时,求矩阵 M 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量;
2 2 2 (Ⅱ)当 a ? b 时,曲线 C : x ? y ? 1 在矩阵 M 的对应变换作用下得到曲线 C ? : x ? 2 xy ?1 ? 0 ,

求 a 的值.

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(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程

3 ? x ? t, ? ? 5 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).以直角坐标原点 O 为极 4 ? y ? 1? t ? 5 ?
点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若 P( x, y ) 是直线 l 与曲线 C 的内部的公共点,求 x ? y 的取值范围.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知不等式 | x ? 2 |? 1 的解集与不等式 2 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集相同. (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? a x ? 3 ? b 15 ? 4x 的最大值及取得最大值时 x 的值.

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