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2014年普通高等学校统一招生考试数学试题及解答(江苏卷)纯word版



2014 年普通高等学校统一招生试题及答案(江苏卷)纯 word 版
参考公式: 圆柱的侧面积公式: S圆柱侧 ? d ,其中 c 是圆柱地面的周长,l 为母线长.. 圆柱的体积公式: V圆柱 ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 为高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。请把答案填写在答题卡相印位 置上。 1.已知集合 A={-2,

-1,3,4},B={-1,2,3},则 A ? B= ▲ . 【答案】 {?1,3} 【解析】由题意得 A 【考点】集合的运算 2.已知复数 z =(5-2i) ( i 为虚数单位) ,则 z 的实部为 【答案】21 【解析】由题意 z ? (5 ? 2i)2 ? 25 ? 2 ? 5 ? 2i ? (2i)2 ? 21 ? 20i ,其实部为 21. 【考点】复数的概念. 3.右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是 【答案】5 【解析】本题实质上就是求不等式 2 ? 20 的最小整数解.2 ? 20 整数解为 n ? 5 ,因此输
n n
2

B ? {?1,3} .







出的 n ? 5 【考点】程序框图. 4.从 1,2,3,6 这 4 个数中随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 【答案】 ▲

1 3
2

【解析】 从 1, 2,3, 6 这 4 个数中任取 2 个数共有 C4 ? 6 种取法, 其中乘积为 6 的有 1, 6 和 2, 3 两种取法,因此所求概率为 P ? 【考点】古典概型. 5.已知函数 y=cosx 与 y=sin(2x+ ? ) (0 ? ? 的值是 【答案】 ▲

2 1 ? . 6 3

? ? )它们的图像有一个横坐标为

?
3

的交点, 则?

?
6

【解析】由题意 cos

?
3

? sin(2 ?

?
3

? ? ) ,即 sin(

(k ? Z ) ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
6

2? 1 2? ? ? ?) ? , ? ? ? k? ? (?1) k ? , 3 2 3 6



【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角. 6.树木的底部周长均在区间[80,130]上,频率直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 ▲ 树木的底部周长小于 100cm. 【答案】24 【 解 析 】 由 题 意 在 抽 测 的 60 株 树 木 中 , 底 部 周 长 小 于 100cm 的 株 数 为

(0.015 ? 0.025) ?10 ? 60 ? 24 .
【考点】频率分布直方图. 7.在各项均为正数的等比数列{ a n }中,若 a2 =1, a 8 ? a6 ? 2a4 ,则 a6 的值是 【答案】4 【解析】设公比为 q ,因为 a2 ? 1 ,则由 a8 ? a6 ? 2a4 得 q6 ? q4 ? 2a2 , q 4 ? q 2 ? 2 ? 0 , 解得 q 2 ? 2 ,所以 a6 ? a2q ? 4 .
4



【考点】等比数列的通项公式. 8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1 , S2 ,体积分别为 V1 , V2 ,若它们的侧面积相等, 且

S1 9 V ? ,则 1 的值是 V2 S2 4
3 2



【答案】

【解析】 设甲、 乙两个圆柱的底面和高分别为 r1、h1 ,r2、h2 , 则 2? r 1h 1 ? 2?2r2h ,

h1 r2 ? , h2 r1



r 3 S1 ? r12 9 V ? r 2h r 2 h r 2 r r 3 ? 2 ? ,所以 1 ? ,则 1 ? 12 1 ? 12 ? 1 ? 12 ? 2 ? 1 ? . r2 2 S2 ? r2 4 V2 ? r2 h2 r2 h2 r2 r1 r2 2

【考点】圆柱的侧面积与体积.
2 9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 x+2y-3=0 被 圆 (x ? 2) ? ( y ? 1)2 ? 4 截 得 的 弦 长

为 【答案】



2 55 5

? 1) 【 解 析 】 圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 的 圆 心 为 C ( 2 , ,半径为 r ? 2 ,点 C 到直线 x ? 2 y ? 3? 0 的 距 离 为

d?

2 ? 2 ? (?1) ? 3 12 ? 22

?

3 5













l ? 2 r2 ? d 2 ? 2 4 ?

9 2 55 . ? 5 5

【考点】直线与圆相交的弦长问题. 10.已知函数 f ( x) = x +mx-1,若对于任意 x ? [m,m+1],都有 f ( x) <0 成立,则实数 m 的取值
2

范围是 【答案】 (?



2 , 0) 2

2 2 ? 2 ? f (m) ? m ? m ? 1 ? 0, ? m ? 0. 【解析】据题意 ? 解得 ? 2 2 ? ? f (m ? 1) ? (m ? 1) ? m(m ? 1) ? 1 ? 0,

【考点】二次函数的性质. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y= ax ?
2

b (a,b 为常数)过点 P(2,-5) ,且该曲线在 x


点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是 【答案】 ?2 【 解析 】曲 线 y ? ax ?
2

b b b 过 点 P( 2,? 5), 则 4a ? ? ?5 ① ,又 y ' ? 2ax ? 2 , 所 以 x 2 x

4a ?

?a ? ?1, b 7 ? ? ②,由①②解得 ? 所以 b=-2,a+b=-3. 4 2 b ? ? 1, ?

【考点】导数与切线斜率.

BA ?D 12.如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=8, AD=5,CP ? 3PD ,AP ? BP ? 2 , 则A
的值是 【答案】22 【解析】由题意, AP ? AD ? DP ? AD ? .

1 AB , 4

3 3 BP ? BC ? CP ? BC ? CD ? AD ? AB , 4 4 2 2 1 3 1 3 AB , 所以 AP ? BP ? ( AD ? AB ) ? ( AD ? AB ) ? AD ? AD ? AB ? 4 4 2 16 1 3 即 2 ? 25 ? AD ? AB ? ? 64 ,解得 AD ? AB ? 22 . 2 16
【考点】向量的线性运算与数量积.

13.已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ? [0,3)时, f ( x) =| x ? 2 x ?
2

1 |.若函 2

数 y= f ( x) ? a 在 区 间 [-3 , 4] 上 有 10 个 零 点 ( 互 不 相 同 ) ,则实数 a 的取值范围 是 【答案】 (0, ) 【解析】作出函数 f ( x) ? x ? 2 x ?
2



1 2

1 1 , x ?[0,3) 的图象,可见 f (0) ? ,当 x ? 1 时, 2 2

f ( x )极大 ?

1 7 ,f (3) ? , 方程 f ( x) ? a ? 0 在 x ? [?3, 4] 上有 10 个零点, 即函数 y ? f ( x) 2 2

和图象与直线 y ? a 在 [?3, 4] 上有 10 个交点, 由于函数 f ( x ) 的周期为 3, 因此直线 y ? a 与 函数 f ( x) ? x ? 2 x ?
2

1 1 , x ?[0,3) 的应该是 4 个交点,则有 a ? (0, ) . 2 2

【考点】函数的零点,周期函数的性质,函数图象的交点问题. 14.若△ABC 的内角满足 sinA + 2 sinB=2sinC,则 cosC 的最小值是 .

【答案】

6? 2 4

【 解 析 】 由 已 知 sin A ? 2 sin B ? 2sin C 及 正 弦 定 理 可 得 a ? 2b ? 2c ,

cos C ?

a ?b ?c ? 2ab
2 2 2

a 2 ? b2 ? (

a ? 2b 2 ) 2 2ab

3a 2 ? 2b2 ? 2 2ab 2 6ab ? 2 2ab 6? 2 a 2 2 2 ? ? ? ,当且仅当 3a ? 2b 即 ? 时 8ab 8ab 4 b 3
等号成立,所以 cos C 的最小值为

6? 2 . 4

【考点】正弦定理与余弦定理. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.

( ,?) 15. (本小题满分 14 分)已知 ? ? ,sin ? = 2

?

5 5

? ?) 的值 4 5? ( - 2?) (2)求 cos 的值 6 ( (1)求 sin
答案: (1) -

?

10 10

(2) ?

3 3+4 10

【解析】 (1)由题意 cos ? ? ? 1 ? (

5 2 2 5 , ) ?? 5 5
sin ? ? 2 2 5 2 5 10 . ? (? )? ? ?? 2 5 2 5 10

所以 sin(

?
4

? ? ) ? sin

?
4

cos ? ? cos

?
4

(2)由(1)得 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

4 3 2 , cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? , 5 5

所以 cos(

5? 5? 5? 3 3 1 4 3 3?4 ? 2? ) ? cos cos 2? ? sin sin 2? ? ? ? ? ? (? ) ? ? . 6 6 6 2 5 2 5 10

【考点】同角三角函数的关系,二倍角公式,两角和与差的正弦、余弦公式. 16. (本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,D, E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点, 已知 PA ? AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证: (1)直线 PA//平面 DEF; (2)求证:平面 BDE ? 平面 ABC. 【解析】 (1)由于 D, E 分别是 PC , AC 的中点,则有 PA // DE , 又 PA ? 平面DEF , DE ? 平面DEF ,所以 PA // 平面DEF . (2)由(1) PA // DE ,又 PA ? AC ,所以 PE ? AC ,又 F 是 AB 中点,

? 所 以 D E

1 2

P ?3 A , EF ?

1 BC ? 4 , 又 DF ? 5 , 所 以 2

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 ,所以 DE ? EF , EF , AC 是平面 ABC 内两条相交直线,
所以 DE ? 平面ABC ,又 DE ? 平面 BDE ,所以平面 BDE ? 平面 ABC . 【考点】线面平行与面面垂直.

17. (本小题满分 14 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,F ,F2 分别是椭圆 1

x2 y 2 ? ? 1( a > b > 0 )的左右焦点, a 2 b2

顶点 B 的坐标为 ? 0, b? ,连结 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一 点 C,连结 F1C. (1)若点 C 的坐标为 ? , ? ,且 BF2 ? (2) 若 F1C ? AB,求椭圆离心率 e 的值.

? 4 1? ? 3 3?

2 ,求椭圆的方程;

x2 5 ? y 2 ? 1; 【答案】 (1) (2) . 2 5
【解析】 (1 )由题意, F2 (c, 0) , B(0, b) , BF2 ? b ? c ? a ?
2 2

4 1 2 ,又 C ( , ) ,∴ 3 3

4 1 ( )2 ( )2 2 3 ? 3 ? 1 ,解得 b ? 1 .∴椭圆方程为 x ? y 2 ? 1. 2 2 b2
x2 y 2 x y ( 2)直线 BF2 方程为 ? ? 1 ,与椭圆方程 2 ? 2 ? 1 联立方程组,解得 A 点坐标为 c b a b 2a 2 c b3 2a 2 c b3 C , ? ) ( , ) , kF1C ,则 点坐标为 a2 ? c2 a2 ? c2 a2 ? c2 a2 ? c2
b , 由 F ? 1 C c

(

b3 2 2 b3 , ? a 2? c ? 2 2a c 3a c ? c3 ?c a2 ? c2
4 c , ∴

又 k AB ? ?

A得 B

b3 b 2 ? ? (? ) ? ?1 , 即 b4 ? 3 a2 c 2 3 3a c ? c c

2 e? ,化简得 (a2 ? c2 ) 2? 3a 2c ? c 4

c 5 ? . a 5

【考点】 (1)椭圆标准方程; (2)椭圆离心率. 18. (本小题满分 16 分) 如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不小于 80m.经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60m 处,点 C 位 于点 O 正北方向 170m 处(OC 为河岸) , tan ?BCO = (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

4 . 3

【答案】 (1) 150 m ; (2) 10m . 【解析】

A(0,60) , (1) 如图, 以 OC, OA 为 x , y 轴建立直角坐标系, 则 C (170,0) , 由题意 k BC ? ?
直线 BC 方程为 y ? ?

4 , 3

4 3 1 3 ( x ? 170) .又 k AB ? ? ? ,故直线 AB 方程为 y ? x ? 60 , 3 4 k BC 4



4 ? y ? ? ( x ? 170) ? ? 3 ? ? y ? 3 x ? 60 ? ? 4







?x ? 8 0 , 即 ? ?y ?1 2 0

B ( 8 0 , ,1 所 2 以 0 )

BC ? (80 ? 170)2 ? 1202 ? 150 (m) ;
M ? t , 0 ,) t ( 0 ?t ? 6 0 ) (2) 设O 即M(
圆 M 的 半径 为 r ? , 由 (1) 直线 BC 的一般方程为 4 x ? 3 y ? 680 ? 0 ,

3t ? 680 ?r ? t ? 80, , 由 题意 要求 ? , 由于 0 ? t ? 60 , 因 此 5 ?r ? (60 ? t ) ? 80,

3 ? 136 ? t ? t ? 80, ? 3t ? 680 680? 3 t 3 ? 5 ? ? 136 ? t ,∴ ? r? ∴ 10 ? t ? 35 ,所以当 5 5 5 ?136 ? 3 t ? (60 ? t ) ? 80, ? 5 ?
t ? 10 时, r 取得最大值 130 m ,此时圆面积最大.

【考点】解析几何的应用,直线方程,直线交点坐标,两点间的距离,点到直线的距离.

19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? e x ? e ? x ,其中 e 是自然对数的底数, (1)证明: f ( x ) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf ( x) ? e? x +m ?1 在 ? 0, +?? 上恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)已知正数 a 满足: 存在 x0 ??1, +?? ,使得 f ( x0 ) ? a(? x0 ? 3x0 ) 成立,试比较 e
3
a ?1



a e ?1 的大小,
并证明你的结论。 【答案】 (1)证明见解析; (2)m ? ?

1 1 1 a ?1 e ?1 ; (3)当 (e ? ) ? a ? e 时,e ? a ,当 a ? e 3 2 e

时, e

a ?1

? ae?1 ,当 a ? e 时, ea ?1 ? ae?1 .

【解析】 (1)证明:函数 f ( x ) 定义域为 R ,∵ f (? x) ? e? x ? e x ? f ( x) ,∴ f ( x ) 是偶函 数.
?x ( 2 ) 由 mf ( x) ? e ? m?1得 m( f ( x) ?1) ? e? x ?1 , 由 于 当 x ? 0 时 , e x ? 1 , 因 此

f ( x) ? e ? e
x

?x

1? 1 ? 0 ,所以 m ? ? 2 ,即 f ( x) ?

1 ? ex e? x ? 1 e? x ? 1 ? , ? f ( x) ? 1 e x ? e ? x ? 1 e 2 x ? 1 ? e x

令y?

1 ? ex 1 1 (1 ? t )2 ? t 1 x t ? 0 t ? 1 ? e , 设 , 则 , ∵t ? 0 , ∴ t ? ?? 2 ? ? t ? ?1 , 2x x t e ?1? e y t t
1 1 1 ? ?2 ? 1 ? ?3 , ? ? y ? 0 ,所以 m ? ? . 3 3 y

( t ? ?1 时等号成立) ,即

3 3 ( 3 )由题意,不等式 f ( x) ? a(? x ? 3 x)在 [1, ??) 上有解,由 f ( x) ? a(? x ? 3 x)得

ax3 ? 3ax ? e x ? e? x ? 0 ,记 h( x ) ? ax3 ? 3ax ? ex ? e? x , h '( x) ? 3a( x2 ?1) ? e x ? e? x ,
显然 h '(1) ? 0 ,当 x ? 1 时, h '( x ) ? 0 (因为 a ? 0 ) ,故函数 h( x) 在 [1, ??) 上增函数,

1 h( x)最小 ? h(1) , 于 是 h( x ) ? 0 在 [1, ??) 上 有 解 , 等 价 于 h(1) ? a ? 3a ? e ? ? 0 , 即 e 1 1 e ?1 a ? (e ? ) ? 1 . 考 察 函 数 g ( x) ? (e? 1) l n g '( x) ? ?1 , 当 x? x ( ? 1) , x( ? , 1) 2 e x
x ? e ? 1 时, g '( x) ? 0 ,当 1 ? x ? e ? 1 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? e ? 1 时 g '( x) ? 0 ,即 g ( x)
在 [1, e ? 1] 上是增函数,在 (e ? 1, ??) 上是减函数,又 g (1) ? 0 , g (e) ? 0 , 所以当

1 1 (e ? ) ? 1 , 2 e

1 1 (e ? ) ? x ? e 时, g ( x ) ? 0 ,即 (e ? 1) ln x ? x ? 1, xe?1 ? e x?1 ,当 x ? e 时, 2 e 1 1 e ?1 x ?1 a ?1 e ?1 g ( x ) ? 0, ,即 (e ? 1) ln x ? x ? 1 , x ? e ,因此当 (e ? ) ? a ? e 时, e ? a , 2 e
a ?1

当 a ? e 时, e

? ae?1 ,当 a ? e 时, ea ?1 ? ae?1 .

【考点】 (1)偶函数的判断; (2)不等式恒成立问题与函数的交汇; (3)导数与函数的单调 性,比较大小. 20. (本小题满分 16 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若对任意正整数 n,总存在正整数 m, 使得 Sn =am ,则称数列 ?an ? 为“H 数列” ,

(1)若数列 ?an ? 满足 Sn =2 , 证明: (n ? N )
n *

; ?an ? 是“H 数列”

(2)设 ?an ? 是等差数列,其首项 a1 =1 ,公差 d ? 0 , 若 ?an ? 是“H 数列” ,求 d 的值; ( 3 ) 证 明 : 对 任 意 的 等 差 数 列 ?an ? , 总 存 在 两 个 “ H 数 列 ” ?bn ? 和 ?cn ? , 使 得
* ( 等成立. an ? bn ? c n n?N )

【答案】 (1)证明见解析; (2) d ? ?1 ; (3)证明见解析.
n n?1 n?1 【解析】 ( 1 ) 首 先 a1 ? S1 ? 2 , 当 n ? 2 时 , an ? Sn ? Sn?1 ? 2 ? 2 ? 2 , 所 以

?2 ,n ? 1, n , 所以对任意的 n ? N * ,Sn ? 2 是数列 {an } 中的 n ? 1 项, 因此数列 {an } an ? ? n?1 ?2 ,n ? 2 ,
是“ H 数列” .

n(n ? 1) d, 数列 {an } 是 “ H 数列” , 则存在 k ? N * , 2 n(n ? 1) n ? 1 n(n ? 1) n( n ? 1) d ? 1 ? (k ? 1)d ,k ? ? ? 1 ,由于 ? N * ,又 k ? N * , 使n? 2 d 2 2 n ?1 ? Z 对一切正整数 n 都成立,所以 d ? ?1 . 则 d n( n ? 1) b 是数列 {dn } 中 (3)首先,若 dn ? bn ( b 是常数) ,则数列 {dn } 前 n 项和为 S n ? 2 n( n ? 1) 的第 项,因此 {dn } 是“ H 数列” ,对任意的等差数列 {an } , an ? a1 ? (n ?1)d ( d 2 Sn ? n ? (2) 由题意 an ? 1 ? (n ? 1)d ,
是公差) ,设 bn ? na1 , cn ? (d ? a1 )(n ?1) ,则 an ? bn ? cn ,而数列 {bn } ,{cn } 都是“ H 数列” ,证毕. 【考点】 (1)新定义与数列的项, (2)数列的项与整数的整除; (3)构造法. 注:以上答案仅供参考.



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