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绵阳市2016届高三理科数学三诊考试试题


绵阳市高中 2013 级第三次诊断性考试

数学(理工类)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? i ,则复数 z 所对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知 U ? {x | y ? log 2 x}, M ? { y | y ? 2 x, x ?1} ,则 ? UM ? A. [1, 2) B. (0, ??) C. [2, ??) D. (0,1]

3.执行如图所示的程序框图,则输出的 n 为 A. 4 B. 6 C. 7 D. 8

4、 “ ?x ? 0 ,使 a ? x ? b ”是“ a ? b ”成立的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 5、已知实数 x ? [?1,1], y ?[0,2] ,则点 P( x, y ) 落在区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 内的概率为 ?x ? y ? 2 ? 0 ?

A.

3 4

B.

1 4

C.

1 8

D.

3 8

6.甲、乙、丙、丁和戊 5 名同学进行数学应用知识比赛,决出第 1 名至第 5 名(没有重复 名次). 已知甲、乙均为得到第 1 名,且乙不是最后一名,则 5 人的名次排列情况可能有 A. 27 种 B. 48 种 C. 54 种 D. 72 种 7.若函数 f ( x) 同时满足以下三个性质:① f ( x) 的最小正周期为 ? ;②对于任意的 x ? R ,

? ? 3? ? ? 都有 f ( x ? ) ? f (? x) ;③ f ( x) 在 ? , ? 上是减函数,则 f ( x) 的解析式可能是 4 ? 8 2? ?? ? A. f ( x) ? cos ? x ? ? B. f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 8? ? C. f ( x) ? sin x cos x D. f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x
8.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 2 AA1 , P、Q 分别是棱 CD、CC1 上的动点, 如图, 当 BQ ? QD1 的长度取得最小值时, 二面角 B1 ? PQ ? D1 的余 弦值的取值范围为
1 10 10 10 1 ] D. [ ] C. [ , ,1] A. [0, ] B. [0, 5 10 10 10 5

绵阳市数学“三诊”考试题(理)第 1 页(共 4 页)

???? ? ???? ON ? 0 ,过点 A ? 4,0 ? 9.设 M , N 是抛物线 y 2 ? 4 x 上分别位于 x 轴两侧的两个动点,且 OM ?

作 MN 的垂线与抛物线交于点 P、Q 两点,则四边形 MPNQ 面积的最小值为 B. 100 C. 120 D. 160 x e 10.已知函数 f ( x) ? ,关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 2af ( x) ? a ? 1 ? 0(m ? R) 有四个相异的实数 | x| 根,则 a 的取值范围是 A. (?1, A. 80

e2 ? 1 ) 2e ? 1

B. (1, ??)

C. (

e2 ? 1 e2 ? 1 , 2) D. ( , ??) 2e ? 1 2e ? 1

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. ? ? 11.已知向量 a ? ?t,1? 与 b ? ? 4, t ? 共线且方向相同,则 t ? ______ .
1 ? ? 12.若 ? 3 x ? ? 的展开式各项系数之和为 64,则展开式的常数项为________. x? ?
n

13.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销 售单价与日均销售量的关系如下表所示.

请根据以上数据分析,这个经营部定价在________元/桶才能获得最大利润 14.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A ? 0,1? , B ? 0, 4 ? . 若直线 2 x ? y ? m ? 0 上存在点 P ,使

1 得 PA ? PB ,则实数 m 的取值范围是__________. 2
?a ? | x ? a |, x ? 0 15.已知函数 f ( x) ? ? ,其中常数 a ? 0 ,给出下列结论: ?| x ? a | ?a, x ? 0

① f ( x) 是 R 上的奇函数; ②当 a ? 4 时, f ( x ? a2 ) ? f ( x) 对任意的 x ? R 恒成立; ③ f ( x) 的图像关于 x ? a 和 x ? ?a 对称;

1 ④若对 ?x1 ? (??, ?2) , ?x2 ? ? ??, ?1? ,使得 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ,则 a ? ( ,1) . 2 其中正确的结论有_________. (写出所有正确结论的序号)

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三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分) 体育课上,李老师对初三(1)班 50 名学生 进行跳绳测试. 现测得他们的成绩(单位:个)全 部介于 20 到 70 之间,将这些成绩数据进行分组 (第一组: (20,30] ,第二组: (30, 40] ,……,第 五组:(60, 70] ) ,并绘制成如右图所示的频率分布 直方图. (I) 求成绩在第四组的人数和这 50 名同学跳 绳成绩的中位数; (II)从成绩在第一组和第五组的同学中随机 抽出 3 名同学进行搭档训练,设取自第一组的人 数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望. 17. (本小题满分 12 分) 已知在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且满足 b ? a cos C ? c sin A . 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , ? n ? 1? an ? ? n ? 1? an ?1 n ? 2, n ? N * . (I)求 A 的大小;

?

?

??? ? 1 ??? ? 3 (II)若 cos B ? , BC ? 5 , BD ? BA ,求 CD 的长 5 7 18. (本小题满分 12 分)
? a ?1? * 已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn 满足 Sn ? ? n ? ?n ? N ? . 2 ? ?
2

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 Tn 为数列 ? 最小值.

?

1 ? * ? 的前 n 项和,若 Tn ? ? an ?1 对 ?n ? N 恒成立,求实数 ? 的 ? an an ?1 ?

19. (本小题满分 12 分) 如图,图②为图①空间图形的主视图和侧视图,其中侧视图为正方形.在图①中,设平 面 BEF 与平面 ABCD 相交于直线 l . (I)求证: l ? 平面 CDE ; (II)在图①中,线段 DE 上是否存在点 M ,使得直线 MC 与平面 BEF 所成的角的正 弦值等于
5 ?若存在,求出点 M 的位置;若不存在,请说明理由. 5

绵阳市数学“三诊”考试题(理)第 3 页(共 4 页)

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 2 ,过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

圆 E 截得的线段长为 2. (I)求椭圆 E 的方程; (II)直线 y ? kx ? 1 与椭圆交于 A、 B 两点,以 AB 为直径的圆与 y 轴正半轴交于点 C , 是否存在实数 k ,使得 ?ABC 的内切圆的圆心在 y 轴上?若存在,求出 k 的取值范围;若不 存在,请说明理由. 21. (本小题满分 14 分) 设函数 g ( x) ? ln x , f ( x) ? g[? x ? (1 ? ? )a] ? ? g ( x) ,其中 a, ? 是正常数,且 0 ? ? ? 1 . (I)求函数 f ( x) 的最值; (II)对于任意的正数 m ,是否存在正数 x0 ,使不等式 | 理由; (III) 设 ?1 ? 0, ?2 ? 0 , 且 ?1 ? ?2 ? 1 , 证明: 对于任意正数 a1 , a2 都有 a1?1 a2?2 ? ?1a1 ? ?2 a2 .
g ( x0 ? 1) ? 1|? m 成立?并说明 x0

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