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【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练:小题分类补偿练 三角函数与三角恒等变换


补偿练 5
一、选择题

三角函数与三角恒等变换
(建议用时:40 分钟)

π 3 π 3π 1.已知 cos(2+α)=5,且 α∈(2, 2 ),则 tan 4 A.3 3 C.-4 解析 π 3 因为 cos(2+α)=5, 所以 sin 3 α= . 4

α=(

).

3 B.4 3 D.± 4 3 α=-5, 显然 α 在第三象限, 所以 cos α

4 =- ,故 tan 5 答案 B

2.已知 α 是第四象限的角,若 cos 15 A. 7 20 C. 7 解析 由 cos

3 α=5,则 tan 16 B. 7 24 D. 7

2α=(

).

3 α=5,α 在第四象限得 tan

4 α=-3,从而 tan

2tan α 2α= 1-tan2 α



24 = 4 2 7. 1-?-3? D π 2x 的图象向左平移 个单位得到 y=f(x)的图象,则( 4 2x 2x B.f(x)=sin D.f(x)=-sin 2x 2x ).

4 2×?-3?

答案

3.若函数 y=sin A.f(x)=cos C.f(x)=-cos 解析 y=sin

图象上所有 ? π? ?x+4? 2x ― ― → y = sin2 π ? ? 点向左移4个单位

-1-

π? ? =sin?2x+2?=cos ? ? 答案 A

2x.

π? 1 ? 4.已知 sin 2α=3,则 cos2?α-4?=( ? ? 1 A.-3 1 C.3 π? ? ?2α-2? 1 + cos π? ? ? ? ∵cos2?α-4?= 2 ? ? 2α π? 2 ? ,∴cos2?α-4?=3. ? ?

). 2 B.-3 2 D.3

解析 =

1+sin 2 D

答案

5.函数 f(x)= 3sin π A.x=-12 5π C.x=12 解析

2x+cos

2x 图象的一条对称轴方程是( π B.x=3 2π D.x= 3

).

3 f(x)=2( 2 sin

1 2x+2cos

π? π π ? 2x)=2sin?2x+6?,由 2x+6=kπ+2,k∈Z, ? ?

kπ π 2π 得 x= 2 +6,k∈Z,令 k=1,得 x= 3 . 答案 D 6 2x+ 2 cos ). B.-1 D.2 2 由于 f(x)= 2 sin 6 2x+ 2 cos π? ? 2x= 2sin?2x+3?, ? ? π 2x 的图象向右平移4个单位得到函数 g(x)的

2 6.将函数 f(x)= 2 sin ?π? 图象,则 g?4?=( ? ? 6 A. 2 C. 2 解析

π ? ? π? 其图象向右平移4个单位后得到 g(x)= 2sin ?2?x-4? ? ? ?

-2-

π? +3?的图象, ? ? ?π π? π? ?π? - ?+ ?= 2sin ∴g?4?= 2sin?2? ? ? ? ?4 4? 3? 答案 A π 6 3= 2 .

π π? ? 7.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<2?的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值 ? ? 分别是( ).

π A.2,-3 π B.2,-6 π C.4,-6 D.4, 解析 π 3

3 5π π 3π 2π 5π 由图知4T=12-(-3)= 4 ,T=π,则 ω= T =2.注意到函数 f(x)在 x=12

5π π π π π 时取到最大值,则有 2×12+φ=2kπ+2,k∈Z,而-2<φ<2,故 φ=-3. 答案 A ). 1 B.-4 7 D.8 π 1 π ?π ?π ?? 1 ?π ? 1 + α ? ? 由 sin?3-α?=4,得 sin?2-? = ,即 cos( + α ) = ,∴ cos( ?6 ?? 4 6 4 3+2α) ? ? ?

?π ? 1 ?π ? 8.若 sin?3-α?=4,则 cos?3+2α?=( ? ? ? ? 7 A.-8 1 C.4 解析

π π 1 7 =cos[2(6+α)]=2cos2(6+α)-1=2×(4)2-1=-8. 答案 A

-3-

π π 9.函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2)的最小正周期为 π,若其图象向右平移3个 单位后关于 y 轴对称,则( π A.ω=2,φ=3 π C.ω=4,φ=6 解析 ). π B.ω=2,φ=6 π D.ω=2,φ=-6

2π π 由 ω =π, 得 ω=2, 因为将 f(x)的图象向右平移3个单位后得 g(x)=sin(2x

2π 2π π π - 3 +φ)的图象,又 g(x)为偶函数,所以- 3 +φ=kπ+2,(k∈Z),又|φ|<2, π 取 k=-1,得 φ=6. 答案 B 1 ωx(A>0,ω>0)的最小正周期为 2,且 f(6)=1,则函 ).

10.已知函数 f(x)=Asin

1 数 y=f(x)的图象向左平移3个单位后所得图象的函数解析式为( π A.y=2sin(πx+3) 1 C.y=2sin(πx+3) 解析 1 π B.y=2sin(πx-3) 1 1 D.y=2sin(πx-3)

2π π ?1? 由最小正周期为 2,得 ω =2,则 ω=π,又 f?6?=1,所以 Asin6=1,A ? ? 1 πx,将函数 y=f(x)的图象向左平移3个单位后得到 y=

=2,所以 f(x)=2sin

π? ? ? 1?? ? 2sin?π?x+3??=2sin?πx+3?的图象. ? ? ?? ? ? 答案 A

π? ? 11. 设函数 f(x)= 3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)?|φ|<2?,且其图象关于直线 x=0 对称, ? ? 则( ).

π A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0,2)上为增函数 π B.y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0,2)上为减函数

-4-

π π C.y=f(x)的最小正周期为2,且在(0,4)上为增函数 π π D.y=f(x)的最小正周期为2,且在(0,4)上为减函数 解析 π ? ? f(x)= 3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin?2x+6+φ?,∵图象关于 x=0 对 ? ? 2x.

π π π π π 称, ∴6+φ=2+kπ(k∈Z), φ=3+kπ(k∈Z), 又∵|φ|<2, ∴φ=3, f(x)=2cos π? 2π ? 其最小正周期 T= 2 =π,且在?0,2?上单调递减. ? ? 答案 B x)cos x 的四个结论:

12.关于函数 f(x)=2(sinx-cos P1:最大值为 2; P2: 把函数 f(x)= 2sin x-cos x)cos

π 2x-1 的图象向右平移4个单位后可得到函数 f(x)=2(sin

x 的图象;

7π 11π? ? P3:单调递增区间为?kπ+ 8 ,kπ+ 8 ?(k∈Z); ? ? π ?k ? P4:图象的对称中心为?2π+8,-1?(k∈Z).其中正确的结论有( ? ? A.1 个 C.3 个 解析 =sin 因为 f(x)=2sin xcos x-2cos2x B.2 个 D.4 个 ).

π? ? 2x-cos 2x-1= 2sin?2x-4?-1. ? ?

所以最大值为 2-1,故 P1 错误. π ? π? 将 f(x)= 2sin 2x-1 的图象向右平移4个单位后得到 f(x)= 2sin 2?x-4?-1= ? ? π? ? 2sin?2x-2?-1 的图象,故 P2 错误. ? ? π π π π 3π 由- 2 + 2kπ≤2x - 4 ≤ 2 + 2kπ ,得- 8 + kπ≤x≤ 8 + kπ , k ∈ Z ,即增区间为 3π π kπ π ? π ? ?-8+kπ, 8 +kπ?(k∈Z),故 P3 正确.由 2x- =kπ,k∈Z,得 x= + ,k 4 2 8 ? ? ?kπ π ? ∈Z,所以函数的对称中心为? 2 +8,-1?,k∈Z,故 P4 正确. ? ?
-5-

答案

B

二、填空题 ? 1 3? 13.已知角 2α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点?- , ?, ? 2 2? 2α∈[0,2π),则 tan 解析 sin α=________.

由三角函数定义可知 3 1 sin 2α 2α= 2 ,cos 2α=-2,∴tan 2α=cos 2α=- 3. 2π , 3

又 2α∈[0,2π),∴2α=

π ∴α=3,∴tan α= 3. 答案 3 ωx(ω>0)与直线 y=a 相交于 A,B 两点,且|AB|最小值为 π,则 ωx-cos ωx 的单调增区间是__________.

14.函数 y=tan

函数 f(x)= 3sin 解析

由函数 y=tan

ωx(ω>0)的图象可知, 函数的最小正周期为 π, 则 ω=1,

π π π π 2π ? π? 故 f(x)=2sin?x-6?.由 2kπ-2≤x-6≤2kπ+2(k∈Z),得 2kπ-3≤x≤2kπ+ 3 (k ? ? ∈Z). 答案 π 2π [2kπ-3,2kπ+ 3 ](k∈Z)

1-cos 2α 1 15.已知sin αcos α =1,tan(β-α)=-3,则 tan(β-2α)=________. 解析 1-cos 2α 2sin2α 由sin αcos α=sin αcos α=2tan α=1,

1 得 tan α=2,∴tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]= tan?β-α?-tan α = 1+tan?β-α?tan α 答案 -1 π π 2π (ωx+φ)(ω>0,-2<φ<2)的图象关于直线 x= 3 对称,它 1 1 -3-2 5 -6

1 = 5 =-1. 1-6 6

16.设函数 f(x)=3sin

的周期是 π,则下列说法正确的是______.(填序号)
-6-

3? ? ①f(x)的图象过点?0,2?; ? ? ? π 2π? ②f(x)在?12, 3 ?上是减函数; ? ? ?5π ? ③f(x)的一个对称中心是?12,0?; ? ? ④将 f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数 y=3sin 解析 2π ∵周期为 π,∴ ω =π?ω=2, ωx 的图象.

?2 ? ?4π ? ∴f(x)=3sin(2x+φ),f?3π?=3sin? 3 +φ?, ? ? ? ? ?4π ? 则 sin? 3 +φ?=1 或-1, ? ? ? π π? ∵φ∈?-2,2?, ? ? 4π 4π 3π π ?5π 11 ? ∴ 3 +φ∈? 6 , 6 π?,∴ 3 +φ= 2 ?φ=6, ? ? π? ? ∴f(x)=3sin?2x+6?. ? ? 3 ①:令 x=0?f(x)= ,正确. 2 π π 3π π 2π π ②:令 2kπ+2<2x+6<2kπ+ 2 ,k∈Z?kπ+6<x<kπ+ 3 ,k∈Z.令 k=0?6 2π <x< 3 , ?π 2 ? ? π π? 即 f(x)在?6,3π?上单调递减,而在?12,6?上单调递增,错误. ? ? ? ? 5π ③:令 x=12?f(x)=3sin π=0,正确.

π ④:应平移12个单位,错误. 答案 ①③

-7-


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