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茂名市实验中学2013届高三模拟测试文科数学二



茂名市实验中学 2013 届高三模拟测试二 文科数学

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? { 2 , 0 } , B ? {1 , 2 } ,则集合 A. ? B. { 2 }
A? B

(A ? B) ?


C. { 0 , 1}

D. { 0 , 1 , 2 }

2. i 为虚数单位,则复数 i ? (1 ? i ) 的虚部为 A. i B. ? i C. 1 D. ? 1 3. 为了了解某学校 2000 名高中男生的身体发育情况,抽查了 该校 100 名高中男生的体重情况.根据所得数据画出样本的频率 0.09 分布直方图, 据此估计该校高中男生体重在 70~78kg 的人数为 0.07 A.240 B.160 C.80 D.60 4. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是 0.04 A. x y ? 1
d(y B. x ) ? ? ? 1, x 为有理数 ? 0 , x 为无理数
3? x
0.02 0.01 54 58 62 66 70 74 78 重量(kg)

频率 组距

C. 3 x ? 2 y ? 1 5. ta n 2 0 1 2 ? ? A. ( 0 ,
3 3 )

D. 2 y ? s in

第 3 题图

B. (

3 3

, 1)
2

C. ( ? 1, ?

3 3

)

D. ( ?

3 3

, 0)

6. 若对任意正数 x ,均有 a ? 1 ? x ,则实数 a 的取值范围是 A. ? ? 1,1 ? C. ? ? 1 ? x , 1 ? x ?
? ?

B.

( ? 1,1)

D. ( ? 1 ? x , 1 ? x )

7.曲线 y ? ( ) 在 x ? 0 点处的切线方程是
x

1

2

A. C.

x ? y ln 2 ? ln 2 ? 0 x ? y ?1? 0

B. D.

x ln 2 ? y ? 1 ? 0 x ? y ?1 ? 0

1

8.已知命题 p :“对任意 a , b ? N , 都有 lg ( a ? b ) ? lg a ? lg b ”;命题 q :“空间两条直 线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”.则 A. 命题“ p ? q ”为真命题 B. 命题“ p ? q ”为假命题 C. 命题“ ( ? p ) ? q ”为真命题 D. 命题“ p ? ( ? q ) ”为真命题
cm

?

9. 某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为 2 圆,虚线是等腰三角形的两腰) ,俯视图是一个半径为 2 c m 的圆 (包括圆心) ,则该零件的体积是 A.
4 3 π
cm
3

的半

1 cm

1 cm

B. D.

8 3

π π

cm

3

2 cm

2 cm

C. 4 π

cm

3

20 3

第 9 题图
cm
3

2 2 10. 线段 A B 是圆 C 1 : x ? y ? 2 x ? 6 y ? 0 的一条直径,离心率为 5 的双曲线 C 2 以 A , B

为焦点.若 P 是圆 C 1 与双曲线 C 2 的一个公共点,则 P A ? P B ? A. 2 2 B. 4 2 C. 4 3 D. 6 2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题. 11. 按照右图的工序流程,从零件到成品最少要 经过__________道加工和检验程序,导致废品的 产生有__________种不同的情形. 12. 已知递增的等比数列 ? a n ? 中,
a 2 ? a 8 ? 3, a 3 ? a 7 ? 2 , 则

a13 a10

?

.
1

第 11 题图
13 5 ?? ? ? , 0 .1 3 ? , 0 .0 1 5 ? ,? , 9 99 333
m n

? 13. 无限循环小数可以化为有理数,如 0 .1 ?

?? 请你归纳出 0 .0 1 7 ?

(表示成最简分数

, n, m ? N ) .

?

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能从中选做一题. 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 l : ? c o s ? ? t (常数 t ? 0 ) )与曲线
C : ? ? 2 s in ? 相切,则 t ?



2

15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是半圆的直径, 弦 A C 和弦 B D 相交于点 P ,且 A B ? 3 D C ,则 . s in ? A P D ?
A

D C P

第 15 题图

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中,角 A 为锐角,记角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 设向量
m ? (c o s A , s in A ), n ? (c o s A , ? s in A ), 且 m 与 n 的夹角为

π 3

.

(1)求 m ? n 的值及角 A 的大小; (2)若 a ?
7,c ? 3

,求 ? A B C 的面积 S .

17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? x ? bx ? c ,其中 b , c 是某范围内的随机数,分别在下列条件下,求事
2

件 A “ f (1) ? 5 且 f ( 0 ) ? 3 ”发生的概率. (1) 若随机数 b , c ? {1, 2 , 3, 4} ; (2) 已 知 随 机 函 数 R a n d () 产 生 的 随 机 数 的 范 围 为 ?x 0 ? x ? 1? , b , c 是 算 法 语 句
b ? 4 ? R a n d () 和 c ? 4 ? R a n d () 的执行结果.(注: 符号“ ? ”表示“乘号”)

18. (本小题满分 14 分) 如图, 四棱柱 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 的底面 A B C D 是平行四边形,E , F 分别在棱 B B 1 , D D 1 上,且 A F ? E C 1 . (1)求证: A E ? F C 1 ;
3

(2) A A1 ? 平面 A B C D , 若 四边形 A E C 1 F 是边长为 6 的正方形, B E ? 1 ,D F ? 2 , 且 求线段 C C 1 的长, 并证明: A C ? E C 1 .
C1 D1 B1 F A1 C D A E B

第 18 题图

19. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ? x ? 的最小值为 ? 4 , 且关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 的解集为

?x

? 1 ? x ? 3, x ? R ? ,

(1)求函数 f ? x ? 的解析式;
f

(2)求函数 g ( x ) ?

?x?
x

? 4 ln x 的零点个数.

20. (本小题满分 14 分)
2 如图, M , N 是抛物线 C 1 : x ? 4 y 上的两动点( M , N 异于原点 O ) ,且 ? O M N 的角

平分线垂直于 y 轴,直线 M N 与 x 轴, y 轴分别相交于 A , B . (1) 求实数 ? , ? 的值,使得 O B ? ? O M ? ? O N ;
??? ? ???? ? ????

4

(2)若中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 2 经过 A , M . 求椭圆 C 2 焦距的最大值及此时
C 2 的方程.

C1

y N

B M A O C2 x

第 20 题图

21. (本小题满分 14 分) 定义数列 ? a n ? : a 1 ? 1, a 2 ? 2 ,且对任意正整数 n ,有
a n ? 2 ? ? 2 ? ( ? 1) ? a n ? ( ? 1) ? ?
n n ?1

?1.

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式与前 n 项和 S n ; (2)问是否存在正整数 m , n ,使得 S 2 n ? m S 2 n ? 1 ?若存在,则求出所有的正整数对
( m , n ) ;若不存在,则加以证明.

5

参考答案
说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算。共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 D 5 B 6 A 7 B 8 C 9 C 10 D

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满 分 20 分.其中第 14、15 两小题是选作题,考生只能选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分. 11. 4 , 3 (第一空 3 分,第二空 2 分) 12. 2 13.
17 990

14.1

15.

2 3

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中,角 A 为锐角,记角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 设向量
m ? (c o s A , s in A ), n ? (c o s A , ? s in A ), 且 m 与 n 的夹角为

π 3

.

(1)求 m ? n 的值及角 A 的大小; (2)若 a ?
7,c ? 3

,求 ? A B C 的面积 S .

【说明】本小题主要考查向量的数量积和夹角的概念, 以及用正弦或余弦定理解三角形, 三角形的面积公式,考查了简单的数学运算能力.

解: (1)?

m ?

c o s A ? s in
2

2

A ? 1, n ?

c o s A ? ( ? s in A )
2

2

? 1,

π 1 ? ? m ? n = m ? nc o s ? 3 2
? m ? n = cos
2

.························· 3 ··········· ··········· ···· 分 ·········· ··········· ····

A ? s in

2

A ? cos 2 A ,

? cos 2 A ?

1 2

. ··········· ··········· ·········· · 分 ··········· ·········· ··········· 5 ·········· ··········· ···········

6

? 0 ? A ? ? 2A ? π 3

π 2

, 0 ? 2 A ? π, π 6
7,c ? 3

,A ?

.

······························7 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········ ,A ?
π 6 , 及a
2

(2)(法一) ? a ?
2

? b ? c ? 2bc cos A ,
2 2

··········· · ·········· ·· ? 7 ? b ? 3 ? 3 b , 即 b ? ? 1 (舍去)或 b ? 4 . ············ 10 分 故S ? (法二) ? a ?
1 2
7,c ? 3

b c s in A ?

··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· 3 . ························12 分
π 6 ,及 a s in A ? c s in C

,A ?
3 2

,

? s in C ?
? a ? c

c s in A a

?

. ··········· ··········· · 7 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ··

7

,
π 2

?0 ? C ?

, cos C ?

1 ? s in

2

A ? 2

5 7

? s in B ? s in ( π ? A ? C ) ? s in (
?b ? a s in B s in A

π 6

?C) ?

1 2

cos C ?

3 2

s in C ?

2 7

··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· ? 4 . ··························10 分 ······················· 12 ·········· ··········· ·· 3 . ··········· ··········· ·· 分

故S ?

1 2

b c s in A ?

17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? x ? bx ? c ,其中 b , c 是某范围内的随机数,分别在下列条件下,求事
2

件 A “ f (1) ? 5 且 f ( 0 ) ? 3 ”发生的概率. (1) 若随机数 b , c ? {1, 2 , 3, 4} ; (2) 已 知 随 机 函 数 R a n d () 产 生 的 随 机 数 的 范 围 为 ?x 0 ? x ? 1? , b , c 是 算 法 语 句
b ? 4 ? R a n d () 和 c ? 4 ? R a n d () 的执行结果.(注: 符号“ ? ”表示“乘号”)

【说明】本题主要考查随机数、随机函数的定义,古典概型,几何概型,线性规划等基 础知识,考查学生转换问题的能力,数据处理能力. 解:由 f ( x ) ? x ? bx ? c 知,事件 A “ f (1) ? 5 且 f ( 0 ) ? 3 ”,即 ?
2

?b ? c ? 4 ? c ? 3

·· · . ··1 分

(1) 因为随机数 b , c ? {1, 2 , 3, 4} ,所以共等可能地产生 1 6 个数对 ( b , c ) , 列举如下:
(1,1), (1, 2 ), (1, 3), (1, 4 ), ( 2 ,1), ( 2 , 2 ), ( 2 , 3 ), ( 2 , 4 ), (3,1), (3, 2 ), (3, 3), (3, 4 ) ,

( 4 ,1), ( 4 , 2 ), ( 4 , 3), ( 4 , 4 ).

··························4 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····

7

事件 A : ?
?

?b ? c ? 4 c ? 3

包含了其中 6 个数对 ( b , c ) ,即:

(1,1), (1, 2 ), (1, 3 ), ( 2 ,1), ( 2 , 2 ), (3,1).

·····················6 分 ··········· ·········· ·········· ··········
3

所以 P ( A ) ?

6 16

?

3 8

,即事件 A 发生的概率为 . ··············7 分 ··········· ··· ·········· ···
8

(2) 由题意, b , c 均是区间 [ 0 , 4 ] 中的随机数,产生的点 ( b , c ) 均匀地分布在边长 为 4 的正方形区域 ? 中(如图) ,其面积 S ( ? ) ? 16 . ··········8 分 ·········· ·········
?b ? c ? 4 ? c ? 3
1 2

事件 A : ?

所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分) ,
15 2
c
4

其面积为: S ( A ) ?

? (1 ? 4 ) ? 3 ?

. ··········· ········ 分 ·················· 10 ·········· ········

15

(1,3)

3

所以 P ( A ) ?

S ( A) S (? )

?

2 16

?

15 32


O
4

b

即事件 A 的发生概率为

15 32

.

··········· ··········· ·· 分 ······················· 12 ·········· ··········· ··

18. (本小题满分 14 分) 如图,四棱柱 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 的底面 A B C D 是平行四边形, E , F 分别在棱 B B 1 ,
D D 1 上,且 A F ? E C 1 .

(1)求证: A E ? F C 1 ; (2) A A1 ? 平面 A B C D , 若 四边形 A E C 1 F 是边长为 6 的正方形, B E ? 1 ,D F ? 2 , 且 求线段 C C 1 的长, 并证明: A C ? E C 1 .
C1 D1 B1 F A1 C D A E B

C1 D1 B1 F A1 D O A O1 C E B

第 18 题图
8

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,考查线线、线面平行的性质和判定,线线 垂直的性质和判定,考查空间想象能力、运算能力、把空间问题转化为平面问题的意识以及 推理论证能力. 证明: (1)? 四棱柱 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 的底面 A B C D 是平行四边形,
? A A1 ? D D 1 , A B ? C D . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ····
? D D 1 , C D ? 平面 C D D 1 C 1 , A A1 , A B ? 平面 C D D 1 C 1 , ? A A1 ? 平面 C D D 1 C 1 ,

··········· ··· ·········· ···· A B ? 平面 C D D 1 C 1 , ·············· 3 分

? A A 1 , A B ? 平面 A B B 1 A1 , A A1 ? A B ? A , ? 平面 A B B 1 A1 ? 平面 C D D 1 C 1 . ······················4 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· ? A F ? E C1 , ? A , E , C 1 , F 四点共面. ··························5 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· ? 平面 A E C 1 F ? 平面 A B B 1 A1 ? A E ,平面 A E C 1 F ? 平面 C D D 1 C 1 ? F C 1 ,

? A E ? F C 1 . ································7 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ··········

(2) 设 A C ? B D ? O , A C 1 ? E F ? O 1 ,
? 四边形 ABCD ,四边形 A E C 1 F 都是平行四边形,

··········· ·········· ? O 为 A C , B D 的中点, O 1 为 A C 1 , E F 的中点. ···········8 分 连结 O O 1 , 由(1)知 B E ? D F ,从而 O O 1 ?
? BE ? 1 , DF ? 2 ,
? C C 1 ? 3 . ··········· ··········· ·········· · 分 ································ 10 ·········· ··········· ···········
? A A1 ? 平面 A B C D ,四边形 A E C 1 F 是正方形, ? ? A C C 1 , ? A B E , ? A D F 均为直角三角形,得
AC
2

1 2

C C1 ?

1 2

(BE ? DF ) .

? A C1 ? C C1 ? 2 A E
2 2

2

? C C1 ? 12 ? 9 ? 3
2

,

AB

2

? AE

2

? BE

2

? 6 ? 1 ? 5,
2

BC

2

? AD

2

? AF

? DF

2

? 6 ? 4 ? 2.

9

? AC

2

? BC

2

? AB

2

··············· 12 ·········· ····· ? 5 ,即 A C ? B C . ················ 分

? B B 1 ? 平面 A B C D , A C ? 平面 A B C D , ? A C ? B B1 . ? B C , B B 1 ? 平面 B B 1 C 1 C ,

? A C ? 平面 B B 1 C 1 C .
? E C 1 ? 平面 B B 1 C 1 C , ? A C ? E C1.

·························· 13 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ·····

·······························14 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········

19. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ? x ? 的最小值为 ? 4 , 且关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 的解集为

?x

? 1 ? x ? 3, x ? R ? ,

(1)求函数 f ? x ? 的解析式;
f

(2)求函数 g ( x ) ?

?x?
x

? 4 ln x 的零点个数.

【说明】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系,函数零点的概念,导数运算 法则、用导数研究函数图像的意识、考查数形结合思想,考查考生的计算推理能力及分析问 题、解决问题的能力. 解: (1)? f ? x ? 是二次函数, 且关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 的解集为

?x
? f

? 1 ? x ? 3, x ? R ? ,

?x? ?

········· ········· a ( x ? 1)( x ? 3) ? a x ? 2 a x ? 3 a , 且 a ? 0 . ········· 4 分
2

? a ? 0, f

?x? ?

a ? ( x ? 1) ? 4 ? ? ? 4 ,且 f ? 1 ? ? ? 4 a , ? ?
2

? f ( x ) m in ? ? 4 a ? ? 4 , a ? 1 .

·····················6 分 ··········· ·········· ·········· ··········
2

故函数 f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ? x ? 2 x ? 3 .
x ? 2x ? 3
2

(2) ? g ( x ) ?

? 4 ln x ? x ?

3 x

? 4 ln x ? 2 ( x ? 0 ) ,

x

? g ?( x ) ? 1 ?

3 x
2

?

4 x

?

( x ? 1)( x ? 3 ) x
2

. ··········· ········· 分 ··········· ········ 8 ·········· ·········

10

的取值变化情况如下: x , g? ( x ) , g ( x )
x

( 0 , 1)
?

1
0

(1, 3)
?

3

(3, ? ? )
?

g ?( x )

0

g (x)

单调增加

极大值

单调减少

极小值

单调增加

······································ 11 分 ··········· ·········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ······ 当 0 ? x ? 3 时, g ? x ? ? g ? 1 ? ? ? 4 ? 0 ;·················· 分 ················· 12 ·········· ······· 又 g ?e
5

??e

5

?

3 e
5

··········· ·· ·········· ··· ? 2 0 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 2 ? 9 ? 0 . ············· 13 分
5

5 故函数 g ( x ) 只有 1 个零点,且零点 x 0 ? (3, e ). ···············14 分 ··········· ···· ·········· ····

20. (本小题满分 14 分)
2 如图, M , N 是抛物线 C 1 : x ? 4 y 上的两动点( M , N 异于原点 O ) ,且 ? O M N 的角

平分线垂直于 y 轴,直线 M N 与 x 轴, y 轴分别相交于 A , B . (1) 求实数 ? , ? 的值,使得 O B ? ? O M ? ? O N ; (2)若中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 2 经过 A , M . 求 椭圆 C 2 焦距的最大值及此时 C 2 的方程.
??? ? ???? ? ????

C1

y N

B
【说明】本题主要考查直线的斜率、抛物线的切线、 两直线平行的位置关系,椭圆的基本性质, 考查学生运算能力、推理论证以及分析问 题、解决问题的能力,考查数形结合思想、 化归与转化思想. 解: (1) 设 M ( x 1 ,
x1 4
2

M A O

C2 x

), N ( x 2 ,

x2 4

2

), x 1 ? x 2 ? 0 , x 1 ? x 2 .

第 20 题图

由 ? O M N 的角平分线垂直于 y 轴知,直线 O M 与直线 M N 的倾斜角互补,
x1
2

x2

2

?

x1 4

2

从而斜率之和等于 0 ,即 4 ? 4
x1

x 2 ? x1

? 0 , 化简得 x 2 ? ? 2 x 1 . ·····3 分 ····· ····

11

由点 M ( x 1 ,

x1 4

2

) , N ( ? 2 x 1 , x 1 ) 知直线 M N 的方程为 y ?
2

x1 4

2

? ?

x1 4

( x ? x1 ) .

分别在其中令 y ? 0 及 x ? 0 得 A ( 2 x 1 , 0 ), B ( 0 ,

x1 2

2

) . ··········· ·· 分 ··········· · 5 ·········· ··

? 0 ? ? x1 ? ? ( ? 2 x1 ) ??? ? ???? ? ???? ? 2 将 B , M , N 的坐标代入 O B ? ? O M ? ? O N 中得 ? x 2 , x 2 1 ? ? ? 1 ? ? ? x1 ? ? 2 4

即?

?? ? 2? ?? ? 4? ? 2
2 3

, ································7 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ··········
1 3
x a
2 2

所以 ? ?

,? ?

··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· . ··········· ··········· ········ 8 分
y b
2 2

(2) 设椭圆 C 2 的方程为

?

? 1( a ? b ? 0 ) ,

将 A ( 2 x1 , 0 ) , M ( x1 ,

x1 4

2

) 代入,得

4 x1 a
2

2

? 1,

x1 a

2

2

?

x1

4 2

? 1 , ·········· 9 分 ·········· ··········

16b

解得 a ? 4 x 1 , b ?
2 2 2

x1

4
2 2 2 , 由 a ? b 得 0 ? x 1 ? 4 8 . ···········10 分 ··········· ··········

12

椭圆 C 2 的焦距
3 3 3 3 3 3 x1 ? ( 4 8 ? x1 )
2 2

2c ? 2

a ?b
2

2

?

x1 ( 4 8 ? x1 ) ?
2 2

?

? 8

3

2 3 3

(或

x1 ( 4 8 ? x1 ) ?
2 2

3 3

? ( x1 ? 2 4 ) ? 2 4
2 2

2

?

? 24 ? 8

3 ) ···12 分 ··· ··

2 2 2 当且仅当 x 1 ? 4 8 ? x 1 , x 1 ? 2 4 ? 4 8 时,上式取等号, 故 ( 2 c ) m a x ? 8 3 , · 13 分 · ·

此时椭圆 C 2 的方程为

x

2

?

y

2

? 1 . ·····················14 分 ··········· ·········· ·········· ··········

96

48

21. (本小题满分 14 分) 定义数列 ? a n ? : a 1 ? 1, a 2 ? 2 ,且对任意正整数 n ,有
a n ? 2 ? ? 2 ? ( ? 1) ? a n ? ( ? 1) ? ?
n n ?1

? 1 .记数列 ? a n ? 前 n 项和为 S n .

(1) 求数列 ? a n ? 的通项公式与前 n 项和 S n ;
12

(2)问是否存在正整数 m , n ,使得 S 2 n ? m S 2 n ? 1 ?若存在,则求出所有的正整数对
( m , n ) ;若不存在,则加以证明.

【说明】考查了等差、等比数列的通项公式、求和公式,数列的分组求和等知识,考查 了学生变形的能力,推理能力,探究问题的能力,分类讨论的数学思想、化归 与转化的思想以及创新意识. 解: (1)对任意正整数 k , a 2 k ? 1 ? ? 2 ? ( ? 1) 2 k ? 1 ? a 2 k ? 1 ? ( ? 1) 2 k ? 1 ? a 2 k ? 1 ? 2 , ? ?
a 2 k ? 2 ? ? 2 ? ( ? 1) ?
2k

? a 2 k ? ( ? 1) ?

2 k ?1

··········· ··· ·········· ··· ? 1 ? 3 a 2 k . ··············1 分

所以数列 ? a 2 k ? 1 ? 是首项 a 1 ? 1 ,公差为 2 等差数列;数列 ? a 2 k ? 是首项
a 2 ? 2 ,公比为 3 的等比数列. ······················· 分 ··········· ·········· · 2 ·········· ··········· ·
k ?1 对任意正整数 k , a 2 k ? 1 ? 2 k ? 1 , a 2 k ? 2 ? 3 . ··············3 分 ··········· ··· ·········· ···

所以数列 ? a n ? 的通项公式 a n ? ?

? 2 k ? 1, ? ?2 ? 3 ?
k ?1

n ? 2k ? 1 , n ? 2k

,k ? N .

?

或an ? ?

?n, ?
n

n ? 2k ? 1
?1

, k ? N . ···················4 分 ··········· ········ ·········· ········ , n ? 2k

?

?2 ? 32 ?

对任意正整数 k , S 2 k ? ( a 1 ? a 3 ? ? ? a 2 k ? 1 ) ? ( a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 k )
k (1 ? 2 k ? 1) 2
S 2 k ?1 ? S 2 k ? a 2 k ? k

?

?

2 (1 ? 3 )
k

1? 3
2 k

? 3 ? k
k

2

? 1 . ················5 分 ··········· ····· ·········· ·····

? 3 ?1? 2?3

k ?1

? 3
2

k ?1

? k

2

? 1 ········· 6 分 ········· ·········

所以数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ? ?
n ?1

?3 ?

k ?1

? k
2

? 1, n ? 2 k ? 1

?3 ? k ?
k

? 1, n ? 2 k

,k ? N .

?

或 Sn

2 ? n ? 2n ? 3 3 2 ? , n ? 2k ? 1 ? ? 4 ? ··········· ·· 7 ·········· ··· ? ? , k ? N ··········· ··· 分 n 2 n ? 2 3 ? ? 1, n ? 2 k ? ? 4

n n ?1 2 2 (2) S 2 n ? m S 2 n ? 1 ? 3 ? n ? 1 ? m ( 3 ? n ? 1)

? 3

n ?1

( 3 ? m ) ? ( m ? 1) ( n ? 1) ,
2

13

从而 m ? 3 ,由 m ? N 知 m ? 1, 2 , 3 . ···················· 8 分 ··········· ········· ·········· ·········· ①当 m ? 1 时, 3
n ?1

?

( 3 ? m ) ? 0 ? ( m ? 1) ( n ? 1) ,即 S 2 n ? m S 2 n ? 1 ; ····9 分 ···· ···
2 2

②当 m ? 3 时, 2 ( n ? 1) ? 0 , n ? 1 ,即 S 2 ? 3 S 1 ; ············ 10 分 ··········· · ·········· ·· ③当 m ? 2 时, 3
k1

n ?1

? n ? 1 ? ( n ? 1)( n ? 1) ,则存在 k 1 , k 2 ? N , k 1 ? k 2 ,
2
k2

使得 n ? 1 ? 3 , n ? 1 ? 3 , k 1 ? k 2 ? n ? 1, 从而 3
k2

?3

k1

? 3 1 (3
k

k 2 ? k1

? 1) ? 2 ,得 3

k1

? 1, 3

k 2 ? k1

?1 ? 2 ,

k 1 ? 0 , k 2 ? k 1 ? 1 ,得 n ? 2 ,即 S 4 ? 2 S 3 .

·············· 13 分 ··········· ··· ·········· ····

综上可知,符合条件的正整数对 ( m , n ) 只有两对: ( 2 , 2 ) 与 (3,1). ··· 14 分 ··· ···

14



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