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广东省2012届高三全真模拟卷数学理11.



广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 11
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 z 为复数,且满足 i ?z ? 2 ? 3i ,则复数 z 的模为 A. 5 B. 5
2

C.

13

D. 13



2.已知 A ? {x | x ? 1}, B ? {x | x ? a} ,且满足 A ? B ? B ,则实数 a 的范围是 A. (1, ??) B. [1, ??) C. (?1,1) D. (??,1]
?
3 ) 的图象按下列哪种变换面得到

3. 要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,可由函数 y ? sin(2 x ? A.向左平移
?
6

个单位; 个单位;

B. 向左平移

?
3

个单位;
?
3

C. 向右平移

?
6

D. 向右平移

个单位;

4.一个几何体的三视图如图 1 所示,已知这个几何体的体积为 10 3 ,则 h ?
3 2

A.

B.

3

C. 3 3

D. 5 3

5. 如图 2, 梯形 ABCD 中, AB//CD, AB=2CD, 且 对角线 AC、 相交于点 O, AD ? a , DB 若
??? ? ? ??? ? AB ? b ,则 AO ?

??? ?

?

A.

4? 2? a? b 3 3

B. a ?
3

1?

2? b 3

C.

2? 1? a? b 3 3

D.

2? 1? a? b 3 3

6.设 x ? ? 0, 3? , y ? ? 0, 4? ,则点 M 落在不等式组: ? x ? 0

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? ?y ? 0 ?

所表示的平面区域内的概率

等于 A.
1 12

B.

3 16
2

C.

5 16

D.

1 3

7. 设 1 ? x ? e ,则“ x(ln x) ? 1 ”是“ x ln x ? 1 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

8.已知最小正周期为 2 的函数 y ? f ( x) ,当 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? x ,则函数
g ( x) ? f ( x) ? | log 5 x | 的零点个数为

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 9.公差不等于 0 的等差数列 {an } 中, a2 , a3 , a5 构成等比数列, S7 ? 42 ,则 an ? 10. 已知函数 f ( x) ? 2 ln 3 x ? 8 x, 则 lim
f (1 ?? x ) ? f (1) ?x

? x ?0



11.工厂从一批正四棱柱形状的零件中随机抽查了 n 件,测得它们底面边长依次是 a1 、
a 2 、…、 a n 。则图 3 所示程序框图输出的 ? ?



开始
M

输入 n , a1 , a 2 , ? ? ?, a n
A2

A4 A3

? ? 0, i ?1
i ? i ?1
i? n
O

A1



? ?

( i ? 1 )? ? a i i

2

B1

B2

B3

N

否 输出 ?

图4

结束

图3

12.如图 4, ?MON 的边 OM 上有四点 A1 , A2 , A3 , A4 ,ON 上有三点 B1 , B2 , B3 ,则以
O, A1 , A2 , A3 , A4 , B1 , B2 , B3 为顶点的三角形共有



13.已知两定点 M (?1,0) , N (1,0) ,若直线上存在点 P ,使得 PM ? PN ? 4 ,则该直 线为“ A 型直线” .给出下列直线,其中是“ A 型直线”的是 ① y ? x ?1 ②y?2 ③ y ? ?x ? 3 ④ y ? ?2 x ? 3 .

14 . 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 为 : (
? cos ? ? ? sin ? ? k ? 0 ,其中 k ? 0 。以极点为坐标原点,极轴为 x 正半
? x ? cos ? ? y ? sin ?

轴,建立平面直角坐标系, 在此坐标系下, 曲线 C2 的方程为 ? 为参数) 。若曲线 C1 与曲线 C2 相切,则 k ? 。

(?

15. (几何证明选讲)如图 5,半径是 3 3 的⊙ O 中, AB 是直径, MN 是 过 点 A 的 ⊙ O 的 切 线 , AC , BD 相 交 于 点 P , 且 ?DAN ? 300 ,
CP ? 2, PA ? 9 ,又 PD ? PB ,则线段 PD 的长为



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,且
??? ??? ? ? 8 AB ? AC ? S ?ABC (其中 S ?ABC 为 ?ABC 3

的面积) 。

(1)求 sin A 的值; (2)若 b ? 2, ?ABC 的面积 S ?ABC ? 3 ,求 a 的值。

17、 (本小题满分 12 分)某公司对工厂 A 的一批产品进行了抽样 检测。右图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制 的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据 分组为[96,98) ,[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]。 (1)求图中 x 的值; (2)若将频率视为概率,从这批产品中有放回地随机抽取 3 件, 求至多有 2 件产品的净重在 ?96, 98 ? 的概率; (3) 经过考察后, 该公司决定在 2011 年年初投资到工厂 A50 万元, 到年底可能获利 32% ,

也可能亏损 16% ,且这两种情况发生的概率分别为合格产品和不合格产品的概率(若产品 净重在 ?98,104 ? 为合格产品,其余为不合格产品) 。设 2011 年底公司的投资总资产(本金+ 利润)为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望。

18. (本小题满分 14 分)如图,△ABC 的外接圆⊙ O 的半径为 5 ,CD ? ⊙
21 21

D

O 所在的平面,BE//CD,CD=4,BC=2,且 BE=1, cos ?AEB ?

.
C E

(1)求证:平面 ADC ? 平面 BCDE; (2)求几何体 ABCDE 的体积; (3)试问线段 DE 上是否存在点 M,使得直线 AM 与平面 ACD 所成角的正 弦值为
2 7

A

O

B

?若存在,确定点 M 的位置,若不存在,请说明理由。

19. (本小题共 14 分)已知 f ( x) ? x ln x . (1)求函数 f ( x )在[t , t ? 2](t>0) 上的最小值;
1

(2)已知 2 x ? x 对任意 x ? (0,1) 恒成立,求实数 a 的取值范围;
a

(3)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x>

1 e
x

?

2 ex

成立.

20、 (满分 14 分).已知圆 O : x ? y ? b 与直线 l : y ? 3 ? x ? 2 ? 相切。
2 2 2

(1) 求以圆 O 与 y 轴的交点为顶点,直线在 x 轴上的截距为半长轴长的椭圆 C 方程; (2) 已知点 A (1, ) ,若直线与椭圆 C 有两个不同的交点 E,F,且直线 AE 的斜率与直线 AF
2 3

的斜率互为相反数;问直线的斜率是否为定值?若是求出这个定值;若不是,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 数列 {an } 中, 若存在常数 M , ?n ? N * , 均有 | an |? M , 称数列 {an } 是有界数列;把 Ln ? ? | ai ?1 ? ai |(n ? N *) 叫数列 {an } 的前 n 项邻差和,数列 {Ln } 叫数列 .... . ....
i ?1 n

{an } 的邻差和数列。 .....

(1)若数列 {an } 满足, ?n ? N * ,均有 | an ? 3 | ? | an ? 1|? 6 恒成立,试证明:{an } 是有界数列; (2) 试判断公比为 q 的正项等比数列 {an } 的邻差和数列 {Ln } 是否为有界数列, 证明你 的结论;
? (3)已知数列 {an } 、 {bn } 的邻差和 {Ln } 与 {Ln } 均为有界数列,试证明数列 {an bn } 的 ?? 邻差和数列 {Ln } 也是有界数列。

参考答案
一、选择题: (5×8=40) 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 B 8 C

二、填空题(5×6=30) 9、 2n ? 2 10、 10 11、
1 n ( a1 ? a2 ? ??? ? an )
2 2 2

12、 42 三、解答题:

13、① ④
??? ??? ? ?

14、 2

15、 6

16.解: (1)? AB ? AC ?

8

3 sin A 3 ∴ tan A ? ? cos A 4

S ?ABC

∴ bc cos A ?

8 3

?

1 2

bc sin A ??

2分 3分

????????????

又 sin 2 A ? cos 2 A ? 1 , A ? (0, ? ) ∴ sin A ?
3

????????????

6分

5 1 1 3 3 (2) S ?ABC ? bc sin A ? ? 2c ? ? c ? 3 ∴ c ? 5 ???? 8 分 2 2 5 5 3 3 4 ∵ sin A ? , tan A ? ∴ cos A ? ???????? 9 分 5 4 5
a ? b ? c ? 2bc cos A ? 13 ∴ a ?
2 2 2

13

?????

12 分

17、解: (1)依题意及频率分布直方图知,? x ? 0.075 ? 0.100 ? 0.125 ? 0.15 ? ? 2 ? 1 , 2 分 解得 x ? 0.05 ???? 3分

(2)法 1:设所抽取到得产品的件数为 X,由题意知, X ~ B ? 3, 0.1? ,因此
P ? X ? 0 ? ? C3 ? 0.9 ? 0.729
0 3

P ? X ? 1? ? C3 ? 0.1? 0.9 ? 0.243
1 2

????

5分

P ? X ? 2 ? ? C3 ? 0.1 ? 0.9 ? 0.027
2 2

所以至多有 2 件产品的净重在 ?96, 98 ? 的概率

P ? P ? x ? 0 ? ? P ? x ? 1? ? P ? x ? 2 ? ? 0.729 ? 0.234 ? 0.027 ? 0.999 。???

7分

法 2:恰好抽取到 3 件产品的净重在 ?96, 98 ? 的概率为
P ? X ? 3? ? C3 ? 0.1 ? 0.001
3 3

????

5分

所以至多有 2 件产品的净重在 ?96, 98 ? 的概率
P ? 1 ? P ? x ? 3? ? 1 ? 0.001 ? 0.999 。

????

7分

(3)法 1: ? 可能的值为:50×(1+32%)=66(万元) 50× (1-16%) (万元) =42 8分
P (? ? 66) ? P (? ? 42) ? 1 4 3 4

????

????
?
P

10 分
42

故 ? 的分布列为

66
3 4

1 4

????
? E? ? 66 ? 3 4 ? 42 ? 1 4 ? 60 (万元).

11 分 12 分

????

18.解: (1)∵CD ⊥平面 ABC,BE//CD ∴ BE⊥平面 ABC,∴BE⊥AB ?? ∴ cos ?AEB ?
BE AE ? 21 21

1分

∵BE=1 从而 AB ?



AE ?
2 2

21 ,

AE ? BE ? 2 5

??

2分

∵⊙ O 的半径为 5 ,∴AB 是直径,∴AC⊥BC ?? 3 分 又∵CD ⊥平面 ABC,∴CD⊥BC,故 BC⊥平面 ACD ? BC ? 平面 BCDE,∴平面 ADC ? 平面 BCDE ?? (2)由(1)知: AC ?
AB ? BC ? 4 ,
2 2

5分 6分

??

VABCDE ? ?

1 3 1 6

S BCDE ?AC ? (1 ? 4)? ? ? 2 4

1

?

1

( BE ? CD )?BC ?AC

3 2 20 3

??

9分

(3)方法一: 假设点 M 存在,过点 M 作 MN⊥CD 于 N,连结 AN,作 MF⊥CB 于 F,连结 AF ∵平面 ADC ? 平面 BCDE,∴MN⊥平面 ACD, ∴∠MAN 为 MA 与平面 ACD 所成的角 设 MN=x,计算易得,DN=
3 2 x ,MF= 4 ? 3 2 x

?? ??

10 分 11 分

故 AM ?

AF ? MF
2

2

?

AC ? CF ? MF
2 2

2

? 16 ? x ? (4 ?
2

3 2

x)

2

sin ?MAN ?

MN AM

?
2

x 16 ? x ? (4 ? 3 2 x)
2

?

2 7

??

12 分

解得: x ? ? (舍去) x ?
3

8

4 3


2 3

?? ??

13 分 14 分
z D

故 MN ?

2 3

CB ,从而满足条件的点 M 存在,且 DM ?

DE

方法二:建立如图所示空间直角坐标系 C—xyz,则: A(4,0,0) ,B(0,2,0) ,D(0,0,4) ,E(0,2,1) ,O(0, 0,0) 则 DE ? (0, 2, ?3)
??? ?

M C

?????????

10 分
x

E

??? ? 易知平面 ABC 的法向量为 OB ? (0, 2, 0) ,
???? ?

A

O B
y

假设 M 点存在,设 M (a, b, c) ,则 DM ? (a, b, c ? 4) , 再设 DM ? ? DE , ? ? (0,1]
???? ? ??? ?

?a ? 0 ?a ? 0 ???? ? ? ? ? ?b ? 2? ? ?b ? 2? ,即 M (0, 2? , 4 ? 3? ) ,从而 AM ? (?4, 2? , 4 ? 3? ) ?c ? 4 ? ?3? ?c ? 4 ? 3? ? ?

?????????? 设直线 BM 与平面 ABD 所成的角为 ? ,则:
???? ??? ? ? sin ? ? cos AM , OB ? 2? ? 2 2? 16 ? 4? ? (4 ? 3? )
2 2

11 分

?

2 7

??????????

12

分 解得 ? ? ? 或? ? 其中 ? ? ?
3 4 3 4 2 3 ? (0,1] 应舍去,而 ? ? 2 3 4 3 ? (0,1]



??????????

13 分

故满足条件的点 M 存在,且点 M 的坐标为 (0, , 2) 19.解: (1) f ?( x ) ? ln x ? 1 , 分

??????????

14 分

???? 1

当 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增 ?2 分
e e 1 e

1

1

①当 0 ? t ?

时, t ? 2 ?

1 e

1 1 ??????? f ( x ) min ? f ( ) ? ? ; e e 1 1 ②当 ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x)在 ?t , t ? 2? 上单调递增, e e

3分

f ( x) min ? f (t ) ? t ln t ;
1 ? 1 ? ,0 ? t ? . ? e ? e ?? ?t ln t , t ? 1 ? e ?
1 x

???????

4分

所以 f ( x) min

???????

5分

1

(2)在 2 x ? x 两边取对数得
a

ln 2 ? a ln x ,

??????

6分

由于 0 ? x ? 1 ,所以
1 x ln x

a ln 2

?

1 x ln x



???????
?1? ?e?

7分

令 g ( x) ?
a ln 2

,由(1)可知,当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? g max ( x) ? g ? ? ? ?e ???????
2 e 1 e 1 e ( x ? (0, ??)) ,

8分

所以

? ?e ,即 a ? ?e ln 2 。 x e
x

9分 10 分

(3)问题等价于证明 x ln x ?

?

???????

由(1)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? ,当且仅当 x ? 设 m( x ) ?
x e
x

时取到, 11 分 12 分 13 分 14 分

?

2 e

( x ? (0, ??)) ,则 m?( x ) ? 1 e 1 e
x

1? x e
x



??????? ??????? ???????

易知 m( x ) max ? m(1) ? ?

,当且仅当 x ? 1 时取到,
? 2 ex

从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

成立 。

20、解:(1) 因为直线 l : y ? 3 ? x ? 2 ? 在 x 轴上的截距为 2,所以 a ? 2 ,??????? 2分 直 线 的 方 程 变 为
| ?2 3 |
3x ? y ? 2 3 ? 0

, 由 直 线 与 圆 相 切 得

? 3?

?
2

3 ?b

?? 4 分

2

? ? ?1?

所以椭圆方程为

x

2

?

y

2

?1
3 2

???????

5分

4

3

(2)设直线 AE 方程为 y ? k ( x ? 1) ?
x
2



???????
3 2

6分

代入

?

y

2

? 1 得: (3 ? 4k ) x ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4(
2 2

? k ) ? 12 ? 0 ??
2

8分

4

3
3 2

设 E ( x E , y E ) ,F ( x F , y F ) ,因为点 A (1, ) 在椭圆上,
4( 3 ? k ) ? 12
2

所以 x E ?

2 2 3 ? 4k

, y E ? ? kx E ?

3 2

?k

??????

10 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,

4(

3

同理可得: x F ?

? k ) ? 12 3 2 , y F ? ? kx F ? ? k 2 2 3 ? 4k
2

??????
1 2

12 分

所以直线 EF 的斜率为 k EF ?

yF ? yE xF ? xE

?

? k ( x E ? x F ) ? 2k xF ? xE

?

?????

14 分

21.解: (1)式子 | an ? 3 | ? | an ? 1|? 6 可化为
? an ? ?3 ? ?4 ? an ? ?3 ? ? ? an ? 3 ? an ? 1 ? 6

?????????

1分

或?

? ?3 ? an ? 1 ? an ? 3 ? an ? 1 ? 6

? ?3 ? an ? 1

?????????

2分

或?

? an ? 1 ? an ? 3 ? an ? 1 ? 6

? 1 ? an ? 2

?????????

3分

综上可知 ?4 ? an ? 2 ,从而 | an |? 4 ,故 {an } 是有界数列。 ?????? (2)由依题 an ? 0, q ? 0 , an ? a1q n ?1 ,于是
an ?1 ? an ? a1q ? a1q
n n ?1

4分

? a1q

n ?1

q ?1 , n ? 1

当 q ? 1 时,显然 Ln ? 0 ,故 {Ln } 为有界数列; 当 q ? 1 时,
Ln ? ? | ai ?1 ? ai | ? ? a1q
i ?1 i ?1 n n i ?1

?????????

5分

| q ? 1| ? a1 | q ? 1| ? q
i ?1

n

i ?1

= a1 q ? 1 (1 ? q ? q 2 ? ... ? q n ?1 ). ? a1 | q ? 1|?

1? q

n

1? q

当 0 ? q ? 1 时, | Ln |? Ln ? a1 (1 ? q n ) ? a1 ,故 {Ln } 为有界数列; 当 q ? 1 时,? 常数 M ( M ? 0) ,?n ? N * , n ? log q (1 ? 当 不是有界数列; ?????????
M a1

?????

7分

有 此时 {Ln } ) 时, Ln ? M ,

8分

综上可知,当 0 ? q ? 1 时, {Ln } 为有界数列,当 q ? 1 时, {Ln } 不是有界数列。

????????? (III)若数列 ?an ? { bn }是有界数列,则存在正数 M 1.M 2 ,对任意的 n ? N ? , 有
? Ln ? ? | ai ?1 ? ai | ? M 1 , Ln ? ? | bi ?1 ? bi | ? M 2
i ?1 i ?1 n n

9分

?????????

10 分

注意到 an ? an ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 ? ... ? a2 ? a1 ? a1
? an ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 ? ... ? a2 ? a1 ? a1 ? M 1 ? a1 ?????????

11 分

同理: bn ? M 2 ? b1 记 K1 ? M 1 ? a1 , K 2 ? M 2 ? b2
an ?1bn ?1 ? an bn ? an ?1bn ?1 ? anbn ?1 ? anbn ?1 ? anbn

? bn ?1 an ?1 ? an ? an bn ?1 ? bn ? K 2 an ?1 ? an ? K1 bn ?1 ? bn
n n n

???????

12 分

因此 | Ln |? Ln ? ? | ai ?1bi ?1 ? ai bi | ? ? K 2 | an ?1 ? an | ? ? K1 | bn ?1 ? bn |
i ?1 i ?1 i ?1 n n

? K 2 ? | an ?1 ? an | ? K1 ? | bn ?1 ? bn | ? K 2 M 1 ? K1M 2
i ?1 i ?1

?? 故数列 ?an bn ? 的邻差和数列 {Ln } 也是有界数列。

?????????

14 分



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