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湖南高考数学应用题经典回放



湖南高考数学应用题经典回放
例 1、 (08 理 19)在一个特定时段内, 以点 E 为 中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时 刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北 偏东 450 且与点 A 相距 40 2海里的位置 B, 经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏 26 0 东 450+ ? (其中 s

in ? = ,0 < ? <900)且与点 26 A 相距 10 13海里的位置 C. ⑴求该船的行驶速度(单位:海里/小时) ; ⑵若该船不改变航行方向继续行驶, 判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.


例 2、(12 文 19)某公司一下属企业从事某种高科
技产品的生产 .该企业第一年年初有资金 2000 万 元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%. 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同 .公司 要求企业从第一年开始, 每年年底上缴资金 d 万元, 并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底 企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元.

⑴用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式; ⑵若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金
为 4000 万元, 试确定企业每年上缴资金 d 的值 (用 m 表示).



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例 3、(2011 文 20)某企业在第 1 年初购买一 M 的价值在使 台价值为 120 万元的设备 M, 用过程中逐年减少,从第 2 年到第 6 年,每 年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始, 每年初 M 的价值为上年初的 75%. (I)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; a ? a ? ? an , 若 An 大于 80 万 (II) 设 An ? 1 2 n 元, 则 M 继续使用, 否则须在第 n 年初对 M 更新,证明:须在第 9 年初对 M 更新.

例 4、 (2005 理 20)自然状态下的鱼类是一 种可再生资源,为持续利用这一资源,需从 宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总 量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的 总量,n∈ N*,且 x1>0.不考虑其它因素,设 在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成 正比, 死亡量与 xn2 成正比, 这些比例系数依 次为正常数 a,b,c. ⑴求 xn+1 与 xn 的关系式; ⑵猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条 件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不 要求证明) ⑶设 a=2,b=1,为保证对任意 x1∈ (0,2) , * 都有 xn>0,n∈ N ,则捕捞强度 b 的最大允 许值是多少?证明你的结论.

-2-

例 5、 (2009 理 19)某地建一座桥,两端的 桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只 需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一 个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米 的相邻两墩之间的桥面工程费用为

例 6、 (2011 理 20). 如图,长方形物体 E 在 雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速 移动, 速度为 v(v ? 0) , 雨速沿 E 移动方向的 分速度为 c(c ? R) 。 E 移动时单位时间 内的淋 .... 雨量包括两部分: (1)P 或 P 的平行面(只 有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与 S 成正比,比例系数为 v?c × 面的淋雨量之和,其值为
1 ; (2)其它 10

(2 ? x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有
桥墩都视为点,且不考虑其它因素.记余下工 程的费用为 y 万元。 ⑴试写出 y 关于 x 的函数关系式; ⑵当 m =640 米时, 需新建多少个桥墩才能使
y 最小?

1 ,记 y 为 E 移动 2

过程中的总淋雨量,当移动距离 d=100,面
3 积 S= 时。 2

⑴写出 y 的表达式 ⑵设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值 范围,确定移动速度 v ,使总淋雨量 y 最少。

-3-

例 7、 (2006 理 20)对 1 个单位质量的含污物体进
行清洗 , 清洗前其清洁度 (含污物体的清洁度定义 为: 1?

例 8、 (2007 理 19) 如图, 某地为了开发旅游资源,
欲修建一条连接风景点 P 和居民区 O 的公路, 点P 所在的山坡面与山脚所在水平面 α 所成的二面角为 2 θ(00<θ<900) ,且 sinθ= ,点 P 到平面 α 的距离 5 PH=0.4(km) .沿山脚原有一段笔直的公路 AB 可 供利用.从点 O 到山脚修路的造价为 a 万元/km, a 原有公路改建费用为 万元/km. 当山坡上公路长度 2 为 l km(1≤l≤2)时,其造价为(l2+1)a 万元.已知 OA⊥ AB,PB⊥ AB,AB=1.5(km),OA= 3(km). (I)在 AB 上求一点 D,使沿折线 PDAO 修建公 路的总造价最小; (II)对于(I)中得到的点 D,在 DA 上求一点 E, 使沿折线 PDEO 修建公路的总造价最小. (III)在 AB 上是否存在两个不同的点 D' ,E' , 使沿折线 PD'E'O 修建公路的总造价小于(II) 中得到的最小总造价,证明你的结论.

污物质量 ) 为 0.8 , 要求清洗 物体质量(含污物)

完后的清洁度为 0.99 . 有两种方案可供选择 , 方 案甲 : 一次清洗 ; 方案乙 : 分两次清洗 . 该物体 初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为

a(1 ? a ? 3) . 设用 x 单位质量的水初次清洗后的
清洁度是

x ? 0.8 ( x ? a ? 1) , 用 y 单位质量的水 x ?1

第二次清洗后的清洁度是

y ? ac , 其中 y?a

c (0.8 ? c ? 0.99) 是该物体初次清洗后的清洁度.
( Ⅰ ) 分别求出方案甲以及 c ? 0.95 时方案乙的用 水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当 a 为某固定值时, 如何安排 初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并 讨论 a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

-4-

例 9、 (2013 理 20)在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的 任 一 路 径 成 为 M 到 N 的一条 “L 路 径”.如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”. 某地有三 个新建的居民区,分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修建 一个文化中心. (1)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最 小值的表达式(不要求证明); (2)若以原点 O 为圆心, 半径为 1 的圆的内部 是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请 确定点 P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.

例 10、 (2010 理 19)为了考察冰川的融化状 况,一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A, B 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面 形,以过 A,B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系 (图 6) . 在直线 x ? 2 的右侧, 考察范围为到 点 B 的距离不超过
6 5 km 的区域;在直线 5

x ? 2 的左侧,考察范围为到 A,B 两点的距

离之和不超过 4 5 km 的区域. ⑴求考察区域边界曲线的方程; ⑵如图 6 所示,设线段 PP 1 2,P 2P 3 是冰川的 部分边界线(不考虑其他边界) ,当冰川融化 时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平 行移动,第一年移动 0.2km,以后每年移动 的距离为前一年的 2 倍,求冰川边界线移动 到考察区域所需的最短时间.

-5-

(08 理 19)在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 450 且与点 A 相距 40 2海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 450+ ? (其中 26 sin ? = 26 ,00< ? <900)且与点 A 相距 10 13海里的位置 C. ⑴求该船的行驶速度(单位:海里/小时) ; ⑵若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
解: (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 , ?BAC ? ?, sin ? ?

26 . 26

由于 0 ? ? ? 90 ,所以 cos ? = 1 ? (

26 2 5 26 . ) ? 26 26

由余弦定理得 BC=

AB2 ? AC2 ? 2 AB AC cos? ? 10 5 .
10 5 ? 15 5 (海里/小时) . 2 3

所以船的行驶速度为

(II)解法一 如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B, C 的坐标分别是 B(x1,y1) , C(x2, y2) ,BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有, x1 ? y1 ?

2 AB ? 40 , 2

y



B(40,40)

x2 ? ACcos ?CAD ? 10 13cos(45 ? ? ) ? 30 ,

y2 ? AC sin∠CAD ? 10 13sin(45 ?? ) ? 20 .
所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=

? 45° C(30,20) D x东 A

20 ? 2 ,直线 l 的方程为 y=2x-40. 10

E

又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d ?

| 0 ? 55 ? 40 | ?3 5 ?7. 1? 4

所以船会进入警戒水域. 解法二 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在△ABC 中,由余弦定理得,

cos ?ABC ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ? 13 3 10 = = . 2 AB BC 10 2 ? 40 2 ? 10 5

2

9 10 从而 sin ?ABC ? 1 ? cos ?ABC ? 1 ? . ? 10 10
在 △ABQ 中,由正弦定理得,

B

? 45° C
A Q 东

-6-

PE

AB sin ?ABC ? AQ ? sin(45 ? ?ABC )

40 2 ?

10 10 ? 40 . 2 2 10 ? 2 10

由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP ? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt△QPE 中,

PE ? QE sin ?PQE ? QE sin ?AQC ? QE sin(45 ? ?ABC) = 15 ?
所以船会进入警戒水域.

5 ?3 5 ?7. 5

(2012 文 20)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元,将其投入 生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开 始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资 金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示). 【解析】 (Ⅰ)由题意得 a1 ? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,

3 a1 ? d , 2 3 an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ? an ? d . 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? an ?1 ? d 2 3 3 ? ( ) 2 an ? 2 ? d ? d 2 2 3 3 ? ( an ? 2 ? d ) ? d 2 2 ? a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ?

3 ? 3 3 ? ( )n?1 a1 ? d ?1 ? ? ( )2 ? 2 ? 2 2
整理得

3 ? ? ( )n?2 ? . 2 ?

3 ? 3 ? an ? ( )n?1 (3000 ? d ) ? 2d ?( )n?1 ? 1? 2 ? 2 ?

3 ? ( ) n ?1 (3000 ? 3d ) ? 2d . 2 3 n ?1 由题意, an ? 4000,? ( ) (3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000, 2
-7-

? 3 n ? ( ) ? 2? ?1000 ? 1000(3n ? 2n?1 ) 2 ? ? 解得 d ? . ? 3 3n ? 2n ( )n ? 1 2
故该企业每年上缴资金 d 的值为缴

1000(3n ? 2n ?1 ) 时,经过 m(m ? 3) 年企业的剩余资金为4000元. 3n ? 2n

(2011 文 20)某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少,从 第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (I)求第 n 年初 M 的价值

an 的表达式;
,


(II)设

An ?

a1 ? a2 ? n

? an

An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更新,证明:

须在第 9 年初对 M 更新. 解析: (I)当 n ? 6 时,数列

{an } 是首项为 120,公差为 ?10 的等差数列.

an ? 120 ?10(n ?1) ? 130 ?10n;
3 { a } a a ? 70 ,所以 当 n ? 6 时,数列 n 是以 6 为首项,公比为 4 为等比数列,又 6 3 an ? 70 ? ( ) n ? 6 ; 4

?120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n, n ? 6 ? an ? ? 3 an ? 70 ? ( ) n ?6 , n ? 7 ? a ? 4 因此,第 n 年初,M 的价值 n 的表达式为
(II)设

Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得
Sn ? 120n ? 5n(n ?1), An ? 120 ? 5(n ?1) ? 125 ? 5n;

当 1 ? n ? 6 时, 当 n ? 7 时,

Sn ? S6 ? (a7 ? a8 ?

3 3 3 ? an ) ? 570 ? 70 ? ? 4 ? [1 ? ( ) n ?6 ] ? 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 4 4

3 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 An ? . n
因 为

{an }

















{ An }















-8-

3 3 780 ? 210 ? ( )8?6 780 ? 210 ? ( )9?6 47 79 4 4 A8 ? ? 82 ? 80, A9 ? ? 76 ? 80, 8 64 9 96
所以须在第 9 年初对 M 更新. (2005 理 20)自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力 及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量,n∈N*,且 x1>0.不考虑其它因素, 设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 xn2 成正比,这些比例系数依次为正常数 a, b,c. (Ⅰ)求 xn+1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不 要求证明) (Ⅱ)设 a=2,b=1,为保证对任意 x1∈(0,2) ,都有 xn>0,n∈N*,则捕捞强度 b 的 最大允许值是多少?证明你的结论. 解(I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为
2 2 cxn ,因此xn?1 ? xn ? axn ? bxn ? cxn , n ? N * .(*)

即xn?1 ? xn (a ? b ? 1 ? cxn ), n ? N * .(**)
(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*)式得

x n (a ? b ? cx n )恒等于 0, n ? N *, 所以 a ? b ? cx1 ? 0.即x1 ?
因为 x1>0,所以 a>b. 猜测:当且仅当 a>b,且 x1 ?

a ?b . c

a?b 时,每年年初鱼群的总量保持不变. c

(Ⅲ)若 b 的值使得 xn>0,n∈N* 由 xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知 0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有 0<x1<3-b. 即 0<b<3-x1. 而 x1∈(0, 2),所以 b ? (0,1] 由此猜测 b 的最大允许值是 1. 下证 当 x1∈(0, 2) ,b=1 时,都有 xn∈(0, 2), n∈N* ①当 n=1 时,结论显然成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0, 2), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0. 又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2, 所以 xk+1∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 xn∈(0,2). 综上所述,为保证对任意 x1∈(0, 2), 都有 xn>0, n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允许值是 1. (2010 理 19)为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A,B 两点各建一个考察基 地.视冰川面为平面形,以过 A,B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系 (图 6) .在直线 x ? 2 的右侧,考察范围为到点 B 的距离不超过

6 5 km 的区域;在直线 x ? 2 的左侧, 5

考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过 4 5 km 的区域. ⑴求考察区域边界曲线的方程;
-9-

⑵如图 6 所示,设线段 PP ,当冰川融化时,边界线沿与 1 2,P 2P 3 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界) 其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动 0.2km,以后每年移动的距离为前一年的 2 倍,求冰川边 界线移动到考察区域所需的最短时间.

解: (I)设边界曲线上点 P 的坐标为 ( x, y). 当 x ? 2 时,由 | PA | ? | PB |? 4 5 知,点 P 在以 A,B,为焦点,长轴长为 2a ? 4 5 的椭圆上,此 时短半轴长 b ?

(2 5 ) 2 ? 4 2 ? 2. 因而其方程为

x2 y2 ? ? 1. 20 4

故考察区域边界曲线(如图)的方程为

C1 : ( x ? 4) 2 ? y 2 ?

36 x2 y2 ( x ? 2)和C 2 : ? ? 1( x ? 2). 5 20 4

(II)设过点 P1,P2 的直线为 l1 ,过点 P2,P3 的直线为 l 2 ,则直线 l1 , l 2 的方程分别为

y ? 3x ? 14, y ? 6.
设直线 l 平等于直线 l1 ,其方程为 y ? 3x ? m, 代入椭圆方程

x2 y2 ? ? 1, 消去 y,得 16x 2 ? 10 3mx ? 5(m2 ? 4) ? 0 20 4
2 2

由 ? ? 100? 3m ? 4 ?16? 5(m ? 4) ? 0, 解得 m=8,或 m=-8
- 10 -

从图中可以看出,当 m=8 时,直线 l 与 C2 的公共点到直线 l1 的距离最近,此时直线 l 的方程为

y ? 3x ? 8, l与l1 之间的距离为 d ?

| 14 ? 8 | 1? 3

? 3.

又直线 l 2 到 C1 和 C2 的最短距离 d ' ? 6 ?

6 5 , 而d ' ? 3 ,所以考察区域边界到冰川边界的线的最短距 5

离为 3. 设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为 n 年,则由题设及等比数列求和公式,

0.2(2 n ? 1) ? 3 ,所以 n ? 4. 得 2 ?1
故冰川界线移动到考察区域所需的最短时间为 4 年. (2011 理 20). 如图 6,长方形物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速移动,速

度为 v(v ? 0) ,雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c ? R) 。E 移动时单位时间 内的淋雨量包括两 .... 部分: (1)P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与 v ? c × S 成正比,比 例系数为
1 1 ; (2)其它面的淋雨量之和,其值为 ,记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量,当移 10 2

3 动距离 d=100,面积 S= 时。 2

⑴写出 y 的表达式 ⑵设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v ,使总淋雨量 y 最少。 解析: (I)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为

3 1 |v?c|? , 20 2

故y?

100 3 1 5 ( | v ? c | ? ) ? (3 | v ? c | ?10) . v 20 2 v

5 5(3c ? 10) ? 15; (II)由(I)知,当 0 ? v ? c 时, y ? (3c ? 3v ? 10) ? v v 5 5(10 ? 3c) ? 15. 当 c ? v ? 10 时, y ? (3v ? 3c ? 10) ? v v
- 11 -

? 5(3c ? 10) ? 15, 0 ? v ? c ? ? v 故y?? 。 5(10 ? 3 c ) ? ? 15, c ? v ? 10 ? v ?
(1)当 0 ? c ?

10 3c 时, y 是关于 v 的减函数.故当 v ? 10 时, ymin ? 20 ? 。 3 2

(2) 当

10 ? c ? 5 时,在 (0, c] 上, y 是关于 v 的减函数;在 (c,10] 上, y 是关于 v 的增函数;故 3

当 v ? c 时, ymin ?

50 。 c

( 2006 理 20 )对 1 个单位质量的含污物体进行清洗 , 清洗前其清洁度 ( 含污物体的清洁度定义为 :

1?

污物质量 ) 为 0.8 , 要求清洗完后的清洁度为 0.99 . 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次 物体质量(含污物)
方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为 a(1 ? a ? 3) . 设用 x

清洗;

单位质量的水初次清洗后的清洁度是

x ? 0.8 ( x ? a ? 1) , 用 y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是 x ?1

y ? ac , 其中 c (0.8 ? c ? 0.99) 是该物体初次清洗后的清洁度. y?a
(Ⅰ)分别求出方案甲以及 c ? 0.95 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当 a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量 , 使总用水量最小? 并讨论

a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
解:(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为 x 与 z,由题设有

x ? 0.8 =0.99,解得 x=19. x ?1

由 c ? 0.95 得方案乙初次用水量为 3, 第二次用水量 y 满足方程:

y ? 0.95a ? 0.99, 解得 y=4 a ,故 z=4 a +3.即两种方案的用水量分别为 19 与 4 a +3. y?a
因为当 1 ? a ? 3时, x ? z ? 4(4 ? a) ? 0,即x ? z ,故方案乙的用水量较少. (II)设初次与第二次清洗的用水量分别为 x 与 y ,类似(I)得

5c ? 4 , y ? a(99 ? 100c) (*) 5(1 ? c ) 5c ? 4 1 ? 100a (1 ? c) ? a ? 1 于是 x ? y ? + a(99 ? 100c) ? 5(1 ? c) 5(1 ? c) x?

- 12 -

当 a 为定值时, x ? y ? 2

1 ?100a(1 ? c) ? a ? 1 ? ?a ? 4 5a ? 1 , 5(1 ? c)

当且仅当

1 ? 100a(1 ? c) 时等号成立.此时 5(1 ? c)

c ? 1?

1 1 (不合题意,舍去)或c ? 1 ? ? (0.8, 0.99), 10 5a 10 5a 1 代入(*)式得 x ? 2 5a ?1 ? a ?1, y ? 2 5a ? a. 10 5a 1 时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为 10 5a
最少总用水量是 T (a) ? ?a ? 4 5a ?1 .

将 c ? 1?

故 c ? 1?

2 5a ?1与2 5a ? a ,
当 1 ? a ? 3时, T ' (a) ?

2 5 ? 1 ? 0 ,故 T( a )是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明, a

随着 a 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量. (2007 理 19)如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点 P 和居民区 O 的公路,点 P 所在的 2 山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(00<θ<900) ,且 sinθ= ,点 P 到平面α的距离 PH=0.4 5 (km) .沿山脚原有一段笔直的公路 AB 可供利用.从点 O 到山脚修路的造价为 a 万元/km,原有公路改 a 建费用为 万元/km.当山坡上公路长度为 l km(1≤l≤2)时,其造价为(l2+1)a 万元.已知 OA⊥AB,PB 2 ⊥AB,AB=1.5(km),OA= 3(km). (I)在 AB 上求一点 D,使沿折线 PDAO 修建公路的总造价最小; (II)对于(I)中得到的点 D,在 DA 上求一点 E,使沿折线 PDEO 修建公路的总造价最小. (III)在 AB 上是否存在两个不同的点 D' ,E' ,使沿折线 PD'E'O 修建公路的总造价小于(II)中得到 的最小总造价,证明你的结论.

解: (I)如图, PH ⊥ ? , HB ? ? , PB ⊥ AB , 由三垂线定理逆定理知, AB ⊥ HB ,所以 ?PBH 是 山坡与 ? 所成二面角的平面角,则 ?PBH ? ? ,

O

- 13 -

A

?
P ED

H

B

PB ?

PH ? 1. sin ?

设 BD ? x(km) , 0 ≤ x ≤ 1.5 .则

2] . PD ? x2 ? PB2 ? x2 ? 1 ?[1,
记总造价为 f1 ( x) 万元, 据题设有 f1 ( x) ? ( PD ? 1 ?
2

1 1 11 AD ? AO)a ? ( x 2 ? x ? ? 3)a 2 2 4

1? ? ? 43 ? ? ? x ? ? a ?? ? 3?a 4? ? ? 16 ?
1 1 ,即 BD ? (km) 时,总造价 f1 ( x) 最小. 4 4 5 (II)设 AE ? y (km) , 0 ≤ y ≤ ,总造价为 f2 ( y) 万元,根据题设有 4
当x?

2

y? 43 ? 1?3 1 ? ?? f 2 ( y) ? ? PD2 ? 1 ? y 2 ? 3 ? ? ? ? y ?? a ? ? y 2 ? 3 ? ? a ? a . 2? 16 2? 2 4 ? ?? ?
则 f 2? ? y ? ? ?

?

1? ? ? a ,由 f 2? ( y ) ? 0 ,得 y ? 1 . ? y2 ? 3 2 ? ? ? y

当 y ? (0, 1) 时, f 2? ( y ) ? 0 , f2 ( y) 在 (0, 1) 内是减函数; 当 y ? ?1 , ? 时, f 2? ( y ) ? 0 , f2 ( y) 在 ?1, ? 内是增函数. 故当 y ? 1 ,即 AE ? 1 (km)时总造价 f2 ( y) 最小,且最小总造价为

? 5? ? 4?

? 5? ? 4?

(III)解法一:不存在这样的点 D ? , E ? . 事实上,在 AB 上任取不同的两点 D ? , E ? .为使总造价最小, E 显然不能位于 D ? 与 B 之间.故可设 E ? 位 于 D ? 与 A 之 间 , 且 BD? = x1 (km) , AE? ? y1 (km) , 0 ≤ x1 ? y2 ≤

67 a 万元. 16

3 ,总造价为 S 万元,则 2

x y 1 3 x y 11 ? ? 2 2 、 (II)讨论知, x1 ? 1 ≥ ? , y1 ? 3 ? 1 ≥ , S ? ? x12 ? 1 ? y12 ? 3 ? 1 ? ? a .类似于(I) 2 16 2 2 2 2 4? ?
当且仅当 x1 ?

1 1 , y1 ? 1 同时成立时, 上述两个不等式等号同时成立, 此时 BD? ? (km) , AE ? 1(km) , 4 4 67 S 取得最小值 a ,点 D ?, E ? 分别与点 D,E 重合,所以不存在这样的点 D ?, E ? ,使沿折线 PD?E ?O 16

修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价. 解法二:同解法一得

x y 11 ? ? S ? ? x12 ? 1 ? y12 ? 3 ? 1 ? ? a 2 2 4? ?
- 14 -

1? 1 ? ? ? x1 ? ? a ? ?3 ? 4? 4? ?

2

?

y12 ? 3 ? y1 ?

? ?

43 y12 ? 3 ? y1 ? a ? a ? ? 16

?

1 43 ≥ ? 2 3( y12 ? 3 ? y1 )( y12 ? 3 ? y1 ) ? a ? a 4 16 67 ? a. 16 1 1 67 2 2 a, 当且仅当 x1 ? 且 3( y1 ? 3 ? y1 )( y1 ? 3 ? y1 ) ,即 x1 ? ,y1 ? 1 同时成立时, S 取得最小值 4 4 16
以上同解法一. (2013 理 20)在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径成为 M 到 N 的一条“L 路径”.如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”.某地有三个 新建的居民区,分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修建一个文化中心. (1)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明); (2)若以原点 O 为圆心,半径为 1 的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点 P 的位 置,使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.



设点 P 的坐标为(x,y).

(1)点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞). (2)由题意知, 点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点 P 分别到三个居民区的“L 路径” 长度最小值之和(记为 d)的最小值. ①当 y≥1 时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|. 因为 d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*) 当且仅当 x=3 时,不等式(*)中的等号成立. 又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**) 当且仅当 x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立. 所以 d1(x)≥24,当且仅当 x=3 时,等号成立. d2(y)=2|y|+|y-20|≥21,当且仅当 y=1 时,等号成立. 故点 P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为 45. ②当 0≤y≤1 时,由于“L 路径”不能进入保护区,所以 d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|. 此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|. d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.
- 15 -

由①知,d1(x)≥24,故 d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当 x=3,y=1 时等号成立. 综上所述,在点 P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. (2009 理 19)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥 面和桥墩 . 经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为

(2 ? x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素.记余下工程的费用为 y 万
元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解: (Ⅰ)设需新建 n 个桥墩,则 ( n ? 1) x ? m,即n=

m ?1, x m m 所以 y ? f ( x) =256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 ? x ) x x x 256m ? ? m x ? 2m ? 256. x

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f '( x) ? ?
3 2

256m x
2

1 ?1 m 3 ? mx 2 ? 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 512 ,所以 x =64. 当 0< x <64 时, f '( x) <0, f ( x ) 在区间(0,64)内为减函数; 当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数. 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时 n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。 (2012 理 20)某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的 数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该 企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正 比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间 最短时具体的人数分组方案. 【解析】 解: (Ⅰ)设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

T1 ( x), T2 ( x), T3 ( x), 由题设有
T1 ( x)? 2? 3 0 0 0 ? 6x 1000 2000 1500 ,T ? ,T (x ? ) , 2 (x ) 3 x kx 200 ? ? ( 1 k )x

期中 x, kx, 200 ? (1 ? k ) x 均为 1 到 200 之间的正整数.
- 16 -

(Ⅱ)完成订单任务的时间为 f ( x) ? max ?T1 ( x), T2 ( x), T3 ( x)? , 其定义域为

? 200 ? , x ? N ? ?. 易知, T1 ( x), T2 ( x) 为减函数, T3 ( x) 为增函数.注意到 ?x 0 ? x ? 1? k ? ?
2 T2 ( x) ? T1 ( x), 于是 k
(1)当 k ? 2 时, T1 ( x) ? T2 ( x), 此时

?1000 1500 ? f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)? ? max ? , ?, ? x 200 ? 3x ?
由函数 T1 ( x), T3 ( x) 的单调性知,当

1000 1500 ? 时 f ( x ) 取得最小值,解得 x 200 ? 3x

400 .由于 9 400 250 300 44 ? ? 45, 而f (44) ? T1 (44) ? , f (45) ? T3 (45) ? , f (44) ? f (45) . 9 11 13 250 故当 x ? 44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f (44) ? . 11 375 , ? ( x) ? max ?T1 ( x), T ( x)? (2) 当 k ? 2 时, 故 k ? 3, 此时 T ( x) ? T1 ( x) ? T2 ( x), 由于 k 为正整数, 50 ? x x?
易知 T ( x) 为增函数,则

f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)? ? max ?T1 ( x), T ( x)?
?1000 375 ? ? ? ( x) ? max ? , ?. ? x 50 ? x ?
1000 375 400 ? 时 ? ( x) 取 得 最 小 值 , 解 得 x ? .由于 x 50 ? x 11 400 250 250 375 250 3 6? ? 37 而 ,? (3 ?6 T1 ) ? (36)? ? , ? T( 3 7 )? (3 ?7 ) , 11 9 11 13 11 250 此时完成订单任务的最短时间大于 . 11
由 函 数 T1 ( x) , T ( x 的 ) 单调性知,当 ( 3 ) 当 k ? 2 时 , T1 ( x) ? T2 ( x), 由 于 k 为 正 整 数 , 故 k ?1 , 此 时

? 2000 750 ? f ( x) ? max ?T2 ( x), T3 ( x)? ? max ? , ? . 由函数 T2 ( x), T3 ( x) 的单调性知, ? x 100 ? x ?
2000 750 800 ? 时 f ( x ) 取得最小值,解得 x ? .类似(1)的讨论.此时 x 100 ? x 11 250 250 完成订单任务的最短时间为 ,大于 . 9 11

- 17 -

综上所述,当 k ? 2 时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数 分别为 44,88,68.

(2009)围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它 三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修 费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数:
21 世纪教育网

2

(Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。

- 18 -



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