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河北冀州中学2009-2010学年下学期高一年级期末考试数学试卷(理科)(A卷)



河北冀州中学 2009-2010 学年下学期高一年级期末考试数学试卷(理科) (A 卷)
本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分,本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟. 一.选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 到定点(1,0,0)的距离小于或等于 1 的点的集合是( ) A. {(x, y, z) | (x ? 1) 2 ? y 2 ? z 2 ? 1} C. {(x, y, z) | ( x ? 1) ? y ? z ? 1} 2.直线 x ? A.30° B. {(x, y, z) | (x ? 1) 2 ? y 2 ? z 2 ? 1} D. {(x, y, z) | x 2 ? y 2 ? z ? 1} ) D. 150°

3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的大小是(
B. 60° C. 120°

3. 设 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、 ? 是三个不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α ,n//α ,则 m⊥n ②若α //β ,β // ? ,m⊥α ,则 m⊥ ? ③若 m//α ,n//α ,则 m//n ④若α ⊥ ? , ? ? ? ,则α //β 其中正确命题的序号是( ) A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ ) D. a 6 ? 6 ( ) D. ①和④

4.已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ?a11 ? 0 ,则有( A. a1 ? a11 ? 0 B. a2 ? a10 ? 0 C. a3 ? a9 ? 0

5.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?

? ) 6 ? (C) y ? sin(2 x ? ) 3
(A) y ? sin(2 x ? A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0

? 对称的是 3 x ? (B) y ? sin( ? ) 2 3 ? (D) y ? sin(2 x ? ) 6

6. 经过圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 平行的直线方程是( C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

)

7.在 ?ABC 中, a ? 7, b ? 8, cos C ? A、

1 7

B、 ?

1 7

13 ,则最大角的余弦值是 ( ) 14 2 2 C、 D、 ? 3 3
)

8.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 ,则此数列奇数项的前 n 项和为 (

2 n ?1 ? 1 A. 3

2n ?1 ? 2 B. 3
2 3

22 n ? 1 C. 3

22 n ? 2 D. 3


9. 直线 3ax ? y ? 1 ? 0与直线(a ? )x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a 的值是( A. -1 或

1 3

B. 1 或

1 3

C. ? 或 ? 1

1 3

D. ? 或1 )

1 3

10.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程是 (

A. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 C. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1

B. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 D. x2 ? ( y ? 3)2 ? 1

11. 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 交于E、F 两点, 则 ? EOF(O 为原点)的面积为( ) A、

3 2

B、

3 4

C、

2 5

D、

6 5 5

12.一个空间四边形 ABCD 的四条边及对角线 AC 的长均为 2 ,二面角 D - AC - B 的

1 ,则下列论断正确的是 3 A.空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3π B.空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 4π
余弦值为 C.空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3 3π D.不存在这样的球使得空间四边形 ABCD 的四个顶点在此球面上

二、填空题(本小题共 4 小题每小题 5 分,满分 20 分) 13.一几何体的三视图,如右图,它的体积为 . 14.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1B 与 B1C 所成的角为_____

15.某公司一年购某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次, 一年的总存储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x为 吨。 16. 函数 f ( x) ? A sin ? x ( A ? 0 , ? ? 0) 的部分图象如图所示, 则 f (1) ? f (2) ?

? f (2006) =



三、解答题: (本大题共 6 小题, 共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17. (本小题满分 10 分) 已知两点 A(4,4) 、B(6,3)到直线 l 的距离相等,且 l 过两直线 l 1: 2x ? y ? 3 ? 0 和 l 2: x ? y ? 3 ? 0 的交点,求直线 l 的方程。

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? sin 2 x . (1)求 f ( x ) 的值域和最小正周期; (2)设 ? ? (0, ? ) ,且 f (? ) ? 1,求 ? 的值。 19.(12 分)如图: PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩形,PA=AB=1, AD= 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (Ⅰ)求三棱锥 E-PAD 的体积; (Ⅱ)当点 E 为 BC 的中点时, 试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明理由; (Ⅲ)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF.
D C A E B F P

20.(12 分)已知点 P ( x, y ) 在圆 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 上运动. (1)求

y ?1 的最大值与最小值; x?2

(2)求 2 x ? y 的最大值与最小值.

21.(本小题满分 12 分) 已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0, 问是否存在斜率为 1 的直线 AB 为直径的圆经过原点,若存在,写出直线 线的一般式)

l ,使得 l 被圆 C 截得的弦

l 的方程;若不存在,说明理由. (若存在写出直

22. (本题满分 12 分) 已 知 数 列 ?an ? 是 等 差 数 列 , a2 ? 6, a5 ? 18 ; 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 是 Tn , 且

1 Tn ? bn ? 1 . 2
(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 求证:数列 ?bn ? 是等比数列;

(Ⅲ) 记 cn ? an ? bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .

选择题 A 卷答案: ADAC 选择题 B 卷答案: DADC 13.

高一数学理科期末考试参考答案: DABC D A DA ADBC A A CA 15. 20 16.

3 2

14. 60

0

2

?2 x ? y ? 3 ? 0 17. 解:由方程组 ? ?x ? y ? 3 ? 0

?x ? 2 得? ?y ? 1

…………………2 分

故 l 的方程为: y ? 1 ? k(x ? 2),即kx ? y ? (2k ? 1) ? 0 , 由题意知

| 4k ? 4 ? (2k ? 1) | k2 ?1

?

| 6k ? 3 ? (2k ? 1) | k2 ?1
………8 分 ……10 分

解得 k1 ? ? 或k 2 ?

1 2

5 6

所以 l 的方程为: x ? 2y ? 4 ? 0或5x ? 6y ? 4 ? 0 18. (1)解: f ( x) = sin x ?cos x

sin 2 x
-------------------2 分

=

1 1- cos 2 x sin 2 x + 2 2 1 1 = (sin 2 x - cos 2 x) + 2 2

=

2 p 1 sin(2 x - ) + , 2 4 2
p ) 4 1 ,所以

-----------------4 分

因为 - 1 ? sin(2x

12

2

?

2 sin(2x 2

p 1 )+ 4 2

1+ 2

2



即函数 f ( x) 的值域为 [ 分

12

2 1+ ,

2 2

].

-------------------6

函数 f ( x) 的最小正周期为 T =

2p = p. 2

--------------8 分

(2)解:由(Ⅰ)得 f (a ) =

2 p 1 sin(2a - ) + = 1, 2 4 2
----------9 分

所以 sin(2a -

p 2 , )= 4 2

p p 7p ,----------------------10 分 < 2a - < 4 4 4 p p p 3p p p 所以 2a ,所以 a = , 或a = -------12 分 = , 或2a - = 4 4 4 4 4 2 19.(12分) 解: (Ⅰ)三棱锥 E ? PAD 的体积
因为 0<a <p ,所以 -

1 1 1 3 . ---------4 分 PA ? S ?ADE ? PA ? ( AD ? AB) ? 3 3 2 6 (Ⅱ)当点 E 为 BC 的中点时, EF 与平面 PAC 平行. ∵在 ?PBC 中, E 、 F 分别为 BC 、 PB 的中点, ∴ EF ∥ PC , 又 EF ? 平面 PAC ,而 PC ? 平面 PAC , ∴ EF ∥平面 PAC . …………8 分 (Ⅲ)证明:? PA ? 平面ABCD,BE ? 平面ABCD , ? EB ? PA ,又 EB ? AB, AB ? AP ? A, AB, AP ? 平面PAB, ? EB ? 平面PAB ,又 AF ? 平面PAB ,∴ AF ? BE . 又 PA ? AB ? 1 ,点 F 是 PB 的中点,? AF ? PB, 又 ? PB ? BE ? B, PB, BE ? 平面PBE ,? AF ? 平面PBE . ? PE ? 平面PBE, ? AF ? PE . ----------12 分 y ?1 20. 解:(1)令 K ? 整理得: kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 x?2 V?
由1 ?

?1 ? 2 k ? 1 1? k2

解得: ?

3 3 ?k? 3 3

所以

y ?1 3 3 的最大值为 ;最小值为— x?2 3 3

…………………………………………6 分 (2)令 b=2x+y 整理得 2x+y-b=0 由 1?

1? b 5

解得: 1 ? 5 ? b ? 1 ? 5

所以 2x+y 的最大值为 1 ? 5 ;最小值为 1 ? 5 …………………………………………12 分 21. 解:假设存在直线 l,设其方程为: y ? x ? b

?x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 由? ?y ? x ? b

得: 2x 2 ? (2b ? 2)x ? b 2 ? 4b ? 4 ? 0 设 A( x 1,y1 ) ,B( x 2,y 2 ) 则: x 1 ? x 2 ? ?b ? 1,x 1 ? x 2 ? ∴ y1 y 2 ? (x 1 ? b)( x 2 ? b)

①……………………2 分

b 2 ? 4b ? 4 ……………………4 分 2

? x 1 x 2 ? b( x 1 ? x 2 ) ? b 2 ?
?

b 2 ? 4b ? 4 ? b(? b ? 1) ? b 2 2

b 2 ? 2b ? 4 …………………………………………6 分 2 又∵OA⊥OB
∴ x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 …………………………………………8 分

b 2 ? 4b ? 4 b 2 ? 2b ? 4 ? ?0 2 2 解得 b=1 或 b ? ?4 …………………………………………10 分 把 b=1 和 b ? ?4 分别代入①式,验证判别式均大于 0,故存在 b=1 或 b ? ?4
∴ ∴存在满足条件的直线方程是: x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 4 ? 0 …………………………12 分 22.解:(Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,则: a2 ? a1 ? d , a5 ? a1 ? 4d , ∵ a2 ? 6 , a5 ? 18 ,∴ ?

?a1 ? d ? 6 ,∴ a1 ? 2, d ? 4 . ………………………2 分 ?a1 ? 4d ? 18
…………………………………………3 分

∴ an ? 2 ? 4(n ?1) ? 4n ? 2 . (Ⅱ)当 n ? 1 时, b1 ? T1 ,由 T1 ?

1 2 b1 ? 1 ,得 b1 ? . …………………4 分 2 3 1 1 当 n ? 2 时, Tn ? 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 2 2 1 1 ∴ Tn ? Tn ?1 = (bn ?1 ? bn ) ,即 bn ? (bn ?1 ? bn ) . …………………………6 分 2 2 1 ∴ bn = bn ?1 . 3 2 1 ∴ ?bn ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. …………………………………7 分 3 3 2 1 n ?1 1 n (Ⅲ)由(2)可知: bn ? ? ( ) ? 2 ? ( ) . ……………………………8 分 3 3 3

∴ cn ? an ? bn ? (4n ? 2) ? 2 ? ( ) ? (8n ? 4) ? ( ) . …………………………………9 分
n n

1 3

1 3

∴ Sn ? c1 ? c2 ? ∴

1 1 ? cn ?1 ? cn ? 4 ? ( ) ? 12 ? ( ) 2 ? 3 3

1 1 ? (8n ? 12) ? ( ) n ?1 ? (8n ? 4) ? ( ) n . 3 3

1 1 1 1 1 Sn ? 4 ? ( ) 2 ? 12 ? ( )3 ? ? (8n ? 12) ? ( ) n ? (8n ? 4) ? ( ) n ?1 . 3 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ∴ S n ? S n ? S n ? 4 ? ? 8 ? ( ) ? 8 ? ( ) ? ? 8 ? ( ) ? (8n ? 4) ? ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ( )2 ? [1 ? ( )n ?1 ] 4 1 3 ? ? 8? 3 ? (8n ? 4) ? ( ) n ?1 1 3 3 1? 3 8 1 1 ? ? 4 ? ( ) n ?1 ? (8n ? 4) ? ( ) n ?1 . 3 3 3 1 n ∴ S n ? 4 ? 4( n ? 1) ? ( ) . ……………………………………………………………12 分 3
年级 内容标题 主题词 高一 学科 数学 版本 期数

河北冀州中学 2009-2010 学年下学期高一年级期末考试数学试卷(理科) (A 卷) 分类索引描述 统考试题与题解 河北冀州中学 2009-2010 学年下学期高一年级期末考 栏目名称 名校题库 试数学试卷(理科) (A 卷) 审稿老师 一校 二校 审核

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