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高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类



高中数学竞赛专题讲座之五: 《解析几何》各类竞赛试题选讲
一、选择题 1. (04 湖南)已知曲线 C : y ?

? x 2 ? 2 x 与直线 l : x ? y ? m ? 0 有两个交点,则 m 的取值范围是(C)
D. (0, 2 ? 1) ( )

A. (? 2 ? 1, 2 ) B. (?2, 2 ?

1) C. [0, 2 ? 1) 2. (05 全国)方程

x2 y2 ? ? 1 表示的曲线是 sin 2 ? sin 3 cos 2 ? cos 3
B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆

3. (06 浙江)已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是 2, 5 ? 2 ,则满足条件的直线 L 共有( C )条. A.1 解: 由 AB ? B.2 C.3 D.4

5 , 分别以 A,B 为圆心, 2 , 5 为半径作两个圆,则两圆外切,有三条共切线。正确答案为 C.
)上

4. (06 安徽)过原点 O 引抛物线 y ? x 2 ? ax ? 4a 2 的切线,当 a 变化时,两个切点分别在抛物线( A. y ?
1 2 3 x , y ? x2 2 2

B. y ?

3 2 5 x , y ? x2 2 2

C. y ? x 2 , y ? 3 x 2

D. y ? 3 x 2 , y ? 5 x 2

5.若在抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的上方可作一个半径为 r 的圆与抛物线相切于原点 O ,且该圆与抛物线没有别的公共点,则

r 的最大值是(A ) 1 A. 2a

B.

1 a

C. a

D. 2 a

6. (06 江苏)已知抛物线 y2=2px,o 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有(B) A.0 个 B.2 个 C.4 个 D.6 个 7. (06 全国)如图 3,从双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a 2 b2

左焦点 F 引圆 x2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 T.延长 FT 交双曲线右支于 P 点.若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐 标原点,则 | MO | ? | MT | 与 b ? a 的大小关系为( A. | MO | ? | MT |? b ? a B. | MO | ? | MT |? b ? a C. | MO | ? | MT |? b ? a D.不确定 )

x2 y2 8. (05 四川)双曲线 2 ? 2 ? 1 的左焦点为 F1 ,顶点为 A1 , A2 , P 是该双曲线右支上任意一点,则分别以线段 PF 1, A 1 A2 a b
为直径的两圆一定 A.相交 B.内切 ( ) C.外切 D.相离

解:设双曲线的另一个焦点为 F2 ,线段 PF 1 的中点为 C ,在△ F1 F2 P 中, C 为 PF 1 的中点, O 为 F1 F2 的中点,从而

OC ?

1 1 | PF2 |? (| PF1 | ? | A1 A2 |) ,从而以线段 PF1 , A1 A2 为直径的两圆一定内切. 2 2

9.点 A 是直线 l : y ? 3 x 上一点,且在第一象限,点 B 的坐标为(3,2) ,直线 AB 交 x 轴正半轴于点 C ,那么三角形 AOC 面积的最小值是(A ) 10. (02 湖南)已知 A(-7,0) ,B(7,0) ,C(2,-12)三点,若椭圆的一个焦点为 C,且过 A、B 两点,此椭圆的另一 个焦点的轨迹为( ) (奥析 263) A.双曲线 B.椭圆 C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 11. (03 全国)过抛物线 y ? 8( x ? 2) 的焦点 F 作倾斜角为 60O 的直线。若此直线与抛物线交于 A、B 两点,弦 AB 的中垂
2

线与轴交于点 P,则线段 PF 的长等于( A.

) (奥析 263) C.

16 3

B.

8 3

16 3 3

D. 8 3

二、填空题

x2 y 2 ? ? 1 截得线段的中点的轨迹方程为 1.若 a,b,c 成等差数列,则直线 ax+by+c = 0 被椭圆 2 8
2. ( 04 湖南)设 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上异于长轴端点的任意一点, F1 、 F2 分别是其左、右焦点, O 为中心,则 16 9

| PF1 | ? | PF2 | ? | OP |2 ? ___25________.
3. ( 05 湖 南 ) 一 张 坐 标 纸 对 折 一 次 后 , 点 A(0,4) 与 点 B(8,0) 重 叠 , 若 点 C (6,8) 与 点 D(m, n) 重叠,则

m ? n ? _______________;
n?8 n ?8 1 ? (6 ? m) ? 6, ? ? 得 m ? 7.6, n ? 7,2 ,所以 m ? n ? 14 .8 2 m?6 2 4 . 在 正 △ ?ABC 中 , D 、 E 分 别 是 AB 、 AC 的 中 点 , 则 以 B 、 C 为 焦 点 且 过 点 D 、 E 的 双 曲 线 的 离 心 率 是
解:可解得对称轴方程为 y ? 2 x ? 6 ,由

3 ?1



5. (03 全国)设 F1、F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的一点,且|PF1|:|PF2|=2:1.则三角形 PF1F2 的面积 9 4
. (奥

为 . (奥析 264) 6. (04 全国)给定两点 M(-1,2) ,N(1,4) ,点 P 在 x 轴上移动. 当 ?MPN 取最大时,点 P 的坐标为 析 265) 7. (03 山东)设曲线 2x ? y ? 4x ? 6 上与原点距离最大和最小的点分别为 M、N,则|MN|=
2 2

.(奥析 266)

2 2 8. (04 全国)已知 M ? {( x, y) | x ? 2 y ? 3}, N ? {( x, y) | y ? mx ? b}. 若对于所有的 m ? R ,均有 M ? N ? ? ,则 b

的取值范围是

(奥析 267)

9. (00 全国)平面上的整点到直线 25x-15y+12=0 的距离中的最小值是

34 . 85

10.(99 全国)满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2 <2 的整点的个数有

16

.

11. (00 河北)在圆 x2+y2-5x=0 内,过点 ( , ) 有三条弦的长度成等比数列. 则其公比的取值范围为 12.设 P 是抛物线 y2=2x 上的点,Q 是圆(x-5)2+y2=1 上的点,则|PQ|的最小值为 2 .

5 3 2 2

[

2 5 5 , ] 5 2

.

三、解答题 1.已知抛物线 y2=4ax(0<a<1)的焦点为 F,以 A(a+4,0)为圆心,|AF|为半径在 x 轴上方作半圆交抛物线与不同的两点 M、 N,设 P 为线段 MN 的中点. (1)求|MF|+|NF 的值.(2)是否存在这样的 a 的值,使||MF|、|PF|、|NF|成等差数列?如存在,求出 a 的值;如不存在, 说明理由。 答案(1)8; (2)不存在。 (利用定义法) 2.圆 x2+y2=8,点 A(2,0) ,动点 M 在圆上,0 为原点,求 ?OMA 的最大值。 (方法大全 1) 3.已知曲线 M : x 2 ? y 2 ? m , x ? 0 , m 为正常数.直线 l 与曲线 M 的实轴不垂直,且依次交直线 y ? x 、曲线 M 、直 线 y ? ? x 于 A 、 B 、 C 、 D 4 个点, O 为坐标原点. (1)若 | AB |?| BC |?| CD | ,求证: ?AOD 的面积为定值; (2)若 ?BOC 的面积等于 ?AOD 面积的 求证: | AB |?| BC |?| CD | . 解: (1)设直线 l : y ? kx ? b 代入

1 , 3
A

y B
O

B P

x 2 ? y 2 ? m 得: (1 ? k ) x ? 2bkx ? b ? m ? 0 ,
2 2 2

C D

x
A Q C

? ? 0 得: b 2 ? m(1 ? k 2 ) ? 0 ,

? (b 2 ? m) 2bk b 设 B( x1 , y1 ) ,C ( x2 , y 2 ) ,则有 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? ,设 A( x3 , y3 ) ,D( x4 , y 4 ) ,易得:x3 ? , 2 2 1? k 1? k 1? k
x4 ? ?b 1 1 ,由 | AB |?| BC |?| CD | 得 | BC |? | AD | ,故 | x1 ? x 2 |? | x3 ? x 4 | ,代入得 1? k 3 3

9 b b 2bk 2 4(b 2 ? m) 1 2b | , | OD |? 2 | |, ( ) ? ? | | ,整理得: b 2 ? m(k 2 ? 1) ,又 | OA |? 2 | 2 2 2 8 1? k 1? k 3 1? k 1? k 1? k

?AOD ? 90? ,? S ?AOD =

b2 9 ? m 为定值. 2 |1? k | 8
x ? x4 x1 ? x2 bk bk ? ? , xQ ? 3 ,所以 xP ? xQ , P 、 Q 重 2 2 2 1? k 1? k 2
1 1 ,所以 | BC |? | AD | ,从而 3 3

(2)设 BC 中点为 P , AD 中点为 Q 则 x p ?

合,从而 | AP |?| DP | ,从而 | AB |?| CD | ,又 ?BOC 的面积等于 ?AOD 面积的

| AB |?| BC |?| CD | .
4.已知点 A

? 5,0?和曲线 x4 ? y ? 1?2 ? x ? 2
2 2

5 , y ? 0 上的点 P1、P 2、…、 Pn .若 P 1A 、 P 2 A 、…、 P n A 成等差数列且

?

公差 d >0,(1). 试将 d 表示为 n 的函数关系式.(2). 若 d ? ? , 所有值,若不存在,说明理由. 解(1)∵d>0,故为递增数列∴ P 1 A 最小, P n A 最大. 由方程

?1 1 ? ? ,是否存在满足条件的 n(n ? N * ) .若存在,求出 n 可取的 ?5 5 ?

x2 4 ? y 2 ? 1 2 ? x ? 2 5 , y ? 0 知 A( 5,0) 是 它 的 右 焦 点 ,L: x ? 是它的右准线, ∴ P 1A ? 5 ? 2 4 5

?

?

Pn A ? 3
于是 3 ? ( 5 ? 2) ? (n ?1)d ∴

d?

5? 5 (n ? 1) …………………………-5 分 n ?1
设 n ? (5 5 ? 4,26 ? 5 5 )

(2)∵ d ? ( , 又∵ n ? N
*

1 1 ) 5 5



1 5? 5 1 ? ? 5 n ?1 5

∴ n 取最大值 14, n 取最小值 8.∴ n 可取 8、9、10、11、12、 、13、14 这七个值.- - - - - - - - -- - - - -9 分

5. (03 山东)椭圆 C: Ax2 ? By 2 ? 1与直线 ? :x+2y=7 相交于 P、Q 两点,点 R 的坐标为(2,5).若 ?PQR 是等腰三角 形, ?PRQ ? 90O ,求 A、B 的值。 (奥析 265) 6. (04 全国)在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A(0, ), B(?1, 0), C (1, 0) ,点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB, AC 距离的等比中项。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 经过 ?ABC 的内心(设为 D) ,且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范围。 解: (Ⅰ)直线 AB、AC、BC 的方程依次为 y ? 依次为 d1 ?
2

4 3

4 4 ( x ? 1), y ? ? ( x ? 1), y ? 0 。点 P( x, y) 到 AB、AC、BC 的距离 3 3

1 1 2 | 4 x ? 3 y ? 4 |, d 2 ? | 4 x ? 3 y ? 4 |, d3 ?| y | 。依设, d1d2 ? d3 , 得 |16x2 ? (3 y ? 4)2 |? 25 y2 , 5 5
2 2 2 2 2

即 16 x ? (3 y ? 4) ? 25 y ? 0, 或16 x ? (3 y ? 4) ? 25 y ? 0 , 化简得点 P 的轨迹方程为 圆 S: 2x ? 2 y ? 3 y ? 2 ? 0与双曲线T:8x ?17 y ? 12 y ? 8 ? 0
2 2 2 2

......5 分

(Ⅱ)由前知,点 P 的轨迹包含两部分 圆 S: 2 x ? 2 y ? 3 y ? 2 ? 0
2 2 2 2



与双曲线 T: 8x ?17 y ? 12 y ? 8 ? 0 ② 因为 B(-1,0)和 C(1,0)是适合题设条件的点,所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上,且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的 公共点只有 B、C 两点.

1 ?ABC 的内心 D 也是适合题设条件的点,由 d1 ? d2 ? d3 ,解得 D(0, ) ,且知它在圆 S 上.直线 L 经过 D,且与点 P 2 1 的轨迹有 3 个公共点,所以,L 的斜率存在,设 L 的方程为 y ? kx ? ③ 2 1 (i)当 k=0 时,L 与圆 S 相切,有唯一的公共点 D;此时,直线 y ? 平行于 x 轴,表明 L 与双曲线有不同于 D 的两 2
个公共点,所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。......10 分 (ii)当 k ? 0 时,L 与圆 S 有两个不同的交点。这时,L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只能有两种情况:

1 , 直线 L 的方程为 x ? ?(2 y ? 1) .代入方程②得 y(3 y ? 4) ? 0 , 2 5 4 5 4 1 解得 E ( , )或F(- , ). 表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交点 B、 E; 直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、 F。 故当 k ? ? 3 3 3 3 2
情况 1: 直线 L 经过点 B 或点 C, 此时 L 的斜率 k ? ? 时,L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 ......15 分 情况 2:直线 L 不经过点 B 和 C(即 k ? ?

1 ) ,因为 L 与 S 有两个不同的交点,所以 L 与双曲线 T 有且只有一个公共 2

?8 x 2 ? 17 y 2 ? 12 y ? 8 ? 0 25 ? 2 2 ? 0 该方程有 点。即方程组 ? 有且只有一组实数解,消去 y 并化简得 (8 ? 17 k ) x ? 5kx ? 1 4 ? y ? kx ? ? 2
唯一实数解的充要条件是 8 ? 17k ? 0
2

④ .解方程④得 k ? ?

或 (?5k ) ? 4(8 ? 17 k )
2 2

25 ?0 4



2 2 34 ,解方程⑤得 k ? ? . 2 17

综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 {0, ?

1 2 34 2 ,? ,? }. 2 17 2
7 .(1)建立适当 25

7. (04 湖南)在周长为定值的 ?ABC 中,已知 | AB |? 6 ,且当顶点 C 位于定点 P 时, cos C 有最小值为

的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程.(2)过点 A 作直线与(1)中的曲线交于 M 、 N 两点,求 | BM | ? | BN | 的最小值的集合. 解:(1) 以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值,所以 C 点的 轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,所以焦距 2c=|AB|=6. 因为 cosC ?

| CA | 2 ? | CB | 2 ?6 2 (| CA | ? | CB |) 2 ? 2 | CA || CB | ?36 2a 2 ? 18 ? ? ?1 2 | CA || CB | 2 | CA || CB | | CA || CB |

又 | CA | ? | CB |? (

2a 2 18 18 7 2 ) ? a 2 ,所以 cos C ? 1 ? 2 ,由题意得 1 ? 2 ? , a ? 25 . 2 25 a a

此时,|PA|=|PB|,P 点坐标为 P(0,±4).所以 C 点的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 ( y ? 0) 25 16

(2)不妨设 A 点坐标为 A(-3,0),M(x1,y1),N(x2,y2).当直线 MN 的倾斜角不为 900 时,设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆 方程化简,得 (

1 k2 2 3 2 9k 2 ? )x ? k x ? ( ? 1) ? 0 25 16 8 16 150k 2 225k 2 ? 400 , x x ? 1 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2

显然有 △≥0, 所以 x1 ? x 2 ? ?

3 3 9 | BM | ? | BN |? (5 ? x1 )(5 ? x 2 ) ? 25 ? 3( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 5 5 25
而由椭圆第二定义可得

450k 2 81k 2 ? 144 531k 2 ? 144 531 ? 25 ? ? ? 25 ? ? 25 ? ? 2 2 2 25 16 ? 25k 16 ? 25k 16 ? 25k

k2 ?

144 531 16 k2 ? 25

144 16 144 ? 531 25 531 取最小值,显然. 只要考虑 的最小值,即考虑 1 ? 16 16 k2 ? k2 ? 25 25 k2 ?

当 k=0 时, | BM | ? | BN | 取最小值 16. 当直线 MN 的倾斜角为 900 时,x1=x2=-3,得 | BM | ? | BN |? (

34 2 ) ? 16 5



x2 y2 ? ? 1 ( y ? 0) ,故 k ? 0 ,这样的 M、N 不存在,即 | BM | ? | BN | 的最小值的集合为空集. 25 16
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a>b>0) ,动圆 ? : x 2 ? y 2 ? R 2 ,其中 b<R<a. 若 A 是椭圆ε 上的点,B 是动圆 ?

8. (04 四川)已知椭圆ε :

上的点,且使直线 AB 与椭圆ε 和动圆 ? 均相切,求 A、B 两点的距离 AB 的最大值. 解:设 A ?x1 , y1 ? 、B ?x 2 , y 2 ? ,直线 AB 的方程为 y ? kx ? m 因为 A 既在椭圆
? y1 ? kx1 ? m ? 线 AB 上,从而有 ? x1 2 y1 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a (1) (2)

? 上又在直

将(1)代入(2)得 a 2 k 2 ? b 2 x 2 ? 2kma2 x ? a 2 m 2 ? b 2 ? 0 由于直线 AB 与椭圆

?

?

?

?

? 相切,故 ? ? ?2kma2 ?2 ? 4a 2 ?m2 ? b 2 ??a 2 k 2 ? b 2 ? ? 0
ka 2 m

从而可得 m 2 ? b 2 ? a 2 k 2 , x1 ? ?

(3)……………………5 分

同理,由 B 既在圆 ? 上又在直线 AB 上, 可得 m 2 ? R 2 1 ? k 2 , x 2 由(3) 、 (4)得 k 2 ?
2 2

?

?

??

k a2 ? R2 m

?

? (4)10 分
k a2 ? R2 m
2

R2 ? b2 a ?R
2 2

, x 2 ? x1 ?

?

?
? ?
2

所以 AB ? ?x 2 ? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ? ? 1 ? k 2 ?x 2 ? x1 ? ?
2

?

?

?

?a

2

? R2 R2 ? b2 a 2b 2 ab ? ? 2 2 ? a 2 ? b 2 ? R 2 ? 2 ? ?a ? b ? ? ? R ? ? ? ?a ? b ? ???????15分 2 R? R R ?

??

?

m2 k 2 a2 ? R2 ? R2 m2
2

?

?a

2

? R2 R2

?

2

?

R2 ? b2 a2 ? R2

即 AB ? a ? b ,当且仅当 R ? ab 时取等号所以 A、B 两点的距离 AB 的最大值为 a ? b . ……………20 分. 9. (05 全国) 过抛物线 y=x2 一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D, 交 y 轴于 B, C 在抛物线上, E 在线段 AC 上, F 在线段 BC 上,

AE ? ?1 , EC

BF ? ?2 ,且 λ1+λ2=1,线段 CD 与 EF 交于 P,当 C 在抛物线上移动时,求 P 的轨迹方程。 FC

10. (05 湖南)过点 P(3 ? 2 2 ,4) 作一条直线和 x轴、y轴 分别相交于 M、N 两点,试求 OM ? ON ? MN 的最大值。 (其 中 O 为坐标原点) 解:过点 P(3 ? 2 2 ,4) 作一圆与 x 轴、 y 轴分别相切于点 A、B,且使点 P(3 ? 2 2 ,4) 在优弧 AB 上,则圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 ,于是过点 P(3 ? 2 2 ,4) 作圆的切线和 x 轴、 y 轴分别相交于
2 2

M 1 , N1 两点,圆为 Rt?OM1 N1 的内切圆,故 OM1 ? ON1 ? M 1 N1 ? 6
若 过 点 P 的 直 线 MN 不 和 圆 相 切 , 则 作 圆 的 平 行 于 MN 的 切 线 和 x 轴 、 y 轴 分 别 相 交 于 M 0 , N 0 两 点 , 则

OM 0 ? ON0 ? M 0 N 0 ? 6 。 由 折 线 M 0 M N 0 N的 长 大 于 M 0 N 0 的 长 及 切 线 长 定 理 , 得

OM ? ON ? MN ? (OM 0 ? MM 0 ) ? (ON0 ? NN 0 ) ? MN
OM ? ON ? MN 的 ? (OM 0 ? ON0 ? M 0 N 0 ) ? [M 0 N 0 ? (M 0 M ? MN ? NN 0 )] ? OM 0 ? ON0 ? M 0 N 0 ? 6 所以,
最大值为 6。 11. (05 江苏)设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴垂直的焦点弦. 若在左 a 2 b2
y
R

准线上存在点 R , 使 ?PQR 为正三角形 , 求椭圆 并用 e 表示直线 PQ 的斜率. 解: 如图, 设线段 PQ 的中点为 M .过点
Q'
M‘ P’ P F M O Q

的离心率 e 的取值范围 ,

x

P 、 M 、Q 分别作准线的垂线, 垂足分别为 P ' 、 M '、Q' , 则

| MM ' |?

1 1 | PF | | QF | | PQ | (| PP ' | ? | QQ ' |) ? ( ? )? . …………… 6 分 2 2 e e 2e

假设存在点 R ,则 | RM |? 分. 于是, cos?RMM ' ?

3 | PQ | 3 3 .……… 12 | PQ | , 且 | MM ' | ? | RM | , 即 ? | PQ | ,所以, e ? 2 2e 2 3

1 | MM ' | | PQ | 2 1 , 故 cot ?RMM ' ? . ? ? ? | RM | 2e 3 | PQ | 3e 3e2 ? 1

若 | PF | ? | QF | (如图),则

k PQ ? tan?QFx ? tan?FMM ' ? cot ?RMM ' ?
3 时, 过点 F 作斜率为 3 1 3e 2 ? 1

1 3e 2 ? 1

.

… 18 分

当 e?

的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线于

R , 由上述运算知, | RM |?

3 | PQ | . 故 ?PQR 为正三角形. 2 1 3e2 ? 1


………… 21 分

若 | PF | ? | QF | ,则由对称性得 kPQ ? ?

……………… 24 分

又 e ? 1 , 所以,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e 的取值范围是 a 2 b2

e?(

3 1 ,1) , 直线 PQ 的斜率为 ? . 3 3e 2 ? 1

2 12. (05 四川)正方形 ABCD 的两顶点 A, B 在抛物线 y ? x 上, C , D 两点在直线 y ? x ? 4 上,求正方形的边长 d 。

解:设 A, B 两点坐标分别为 A(t1 , t1 ) 、 B(t 2 , t 2 ) ,显然 t1 ? t 2 ∵ AB ∥ DC ,
2 2

∴1 ?

2 t2 ? t12 ,即 t1 ? t 2 ? 1 t 2 ? t1

一方面,
2 2 d 2 ?| AB |2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? (t12 ? t 2 ) ? (t1 ? t 2 ) 2 [1 ? (t1 ? t 2 ) 2 ] ? 2[(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ]

∴ t1 t 2 ?

1 (2 ? d 2 ) 8
4

① 。另一方面, d ?| AD |?
2

| t1 ? t12 ? 4 | 2

?

| t1t 2 ? 4 | 2

,∴ 2d 2 ? (t1t 2 ? 4) 2



将①代入②,得 d ? 68d ? 900 ? 0 ,即 (d 2 ? 18)(d 2 ? 50) ? 0 。故 d ? 3 2 或

d ?5 2
13. (06 浙江)在 x 轴同侧的两个圆:动圆 C1 和圆 4a 2 x 2 ? 4a 2 y 2 ? 4abx ? 2ay ? b 2 ? 0 外切( a, b ? N , a ? 0 ) ,且动圆

C1 与 x 轴相切,求(1)动圆 C1 的圆心轨迹方程 L;(2)若直线 4( 7 ? 1)abx ? 4ay ? b 2 ? a 2 ? 6958 a ? 0 与曲线 L
有且仅有一个公共点,求 a , b 之值. 解: (1)由 4a 2 x 2 ? 4a 2 y 2 ? 4abx ? 2ay ? b 2 ? 0 可得 ( x ?

b 2 1 1 ) ? ( y ? )2 ? ( )2 , 2a 4a 4a

由 a , b ? N , 以 及 两 圆 在 x 轴 同 侧 , 可 知 动 圆 圆 心 在 x 轴 上 方 , 设 动 圆 圆 心 坐 标 为 ( x, y ) , 则 有

(x ?

b2 b 2 1 1 ) ? ( y ? ) 2 ? y ? , 整理得到动圆圆心轨迹方程 y ? ax2 ? bx ? 4a 2a 4a 4a

(x ?

b ) .………(5 分) 2a

另解: 由已知可得,动圆圆心的轨迹是以 ( 抛物线,得轨迹方程 ( x ?

b 1 1 b , ) 为焦点, y ? ? ,0) 点(不包含该点)的 为准线,且顶点在 ( 2a 4a 4a 2a

b 2 1 b2 b ) ? y ,即 y ? ax2 ? bx ? (x ? ) 5 分 2a a 4a 2a


b2 b (x ? ) (2)联立方程组 y ? ax ? bx ? 4a 2a
2
2 2 和 4( 7 ? 1)abx ? 4ay ? b ? a ? 6958 a ? 0



消去 y 得

4a 2 x 2 ? 4 7abx ? (a 2 ? 6 9 5a8 ) ? 0,
③.

2 2 2 2 a 由 ? ? 16 ? 7a b ? 16a (a ? 6958 a) ? 0, 整理得 7b 2 ? a 2 ? 6958
2 从③可知 7 a ? 7 a 。 故令 a ? 7a1 ,

代入③可得 b 2 ? 7a1 ? 6958 a1 ? 7 b 2 ? 7 b . 再令 b ? 7b1 ,
2

代入上式得

7b1 ? a1 ? 9 9 a 41 …(10 分)
7m 2 ? n 2 ? 142n


2

2

同理可得, 7 a1 ,7 b1 。可令 a ? 49n, b ? 49m, 代入③可得 对④进行配方,得 为 8 的倍数,所以

(n ? 71) 2 ? 7m 2 ? 712 , 对此式进行奇偶分析,可知 m, n 均为偶数,所以 7m2 ? 712 ? (n ? 71) 2

4 m 。令 m ? 4r ,则 112r 2 ? 712 ? r 2 ? 45。

所以

r ? 0,1 , 2, 3, 4, 5, 6
2 2

…………………………………(15 分)

仅当 r ? 0,4 时, 71 ? 112r 为完全平方数。于是解得

a ? 6958 , b ? 0(不合,舍去)
14. (06 江苏)椭圆

a ? 6272 b ? 784

a?686 。 …………………(20 分) b?784

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F,P1,P2,…,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中 P1 是椭圆的 9 4 右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1.若这 24 个点到右准线的距离的倒数和为 S,求 S2 的值. 180
解:椭圆中, a ? 3 , b ? 2 ,故 c ? 5 .所以 F

?

5, 0 , e ?

?

5 . 3
a2 ?c. c

设 FPi 与 x 轴正向的夹角为 ?i , d i 为点 Pi 到右准线的距离.则 di ? e cos ?i ? 1? ?



1 c ? 2 ? e cos ?i ? 1? . di b 1 di ?12 ? c c e cos ?i ?12 ? 1? ? 2 ? ? cos ?i ? 1? . 2 ? b b

同理

所以

1 1 2c 5 . ? ? 2 ? di di ?12 b 2

从而

?d
i ?1

24

1
i

? 6 5 ,于是 S 2 ? 180 .



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