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北师大版数学选修1-1教案:第2章-双曲线-第一课时参考学案



2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标 1.掌握双曲线的定义; 2.掌握双曲线的标准方程. 学习重难点: 学习重点:双曲线的定义和双曲线的标准方程

学习难点: 双曲线的标准方程的推导。
学习过程 一、课前准备

复习 1:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么?
x2 y 2 ? ? 1 中, a, b,

c 有何关系?若 a ? 5, b ? 3 ,则 c ? ? 写出符合 a 2 b2

复习 2:在椭圆的标准方程 条件的椭圆方程.

二、新课导学 问题 1:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?

如图所示,定点 F1 , F2 是两个按钉, MN 是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过 套管,点 M 移动时,

MF1 ? MF2 是常数,这样就画出一条曲线;
由 MF2 ? MF1 是同一常数,可以画出另一支.

新知 1:双曲线的定义: 平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的 做双曲线。两定点 F1 , F2 叫做双曲线的 的 . 等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫 ,两焦点间的距离 F1 F2 叫做双曲线

反思:设常数为 2a ,为什么 2a ? F1 F2 ?
2a ? F1 F2

时,轨迹是 时,轨迹

; .

2a ? F1 F2

试试:点 A(1,0) , B (?1, 0) ,若 AC ? BC ? 1 ,则点 C 的轨迹是 新知 2:双曲线的标准方程:



x2 y 2 ? 2 ? 1,(a ? 0, b ? 0, c2 ? a2 ? b2 ) (焦点在 x 轴)其焦点坐标为 F1 (?c,0) , F2 (c, 0) . 2 a b

思考:若焦点在 y 轴,标准方程又如何?

※ 典型例题
例 1 已知双曲线的两焦点为 F1 (?5,0) , F2 (5, 0) ,双曲线上任意点到 F1 , F2 的距离的差的绝对值 等于 6 ,求双曲线的标准方程.

变式:已知双曲线 点的距离为

x2 y 2 ? ? 1 的左支上一点 P 到左焦点的距离为 10,则点 P 到右焦 16 9



例 2 已知 A, B 两地相距 800 m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s ,且声速为
340 m / s ,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

变式:如果 A, B 两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上?为什么?

小结:采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置. 练 1:求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 4 , b ? 3 ; (2)焦点为 (0, ?6),(0,6) ,且经过点 (2, ?5) .
练 2.点 A, B 的坐标分别是 (?5,0) , (5, 0) ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们斜率之积是
4 ,试求点 M 的轨迹方程式,并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状. 9

三、总结提升 1 .双曲线的定义; 2 .双曲线的标准方程. 知识拓展

GPS(全球定位系统): 双曲线的一个重要应用. 在例 2 中,再增设一个观察点 C ,利用 B , C 两处测得的点 P 发出的信号的时间 差,就可以求出另一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程组,就能确定点 P 的准确位置. 当堂检测:
1.动点 P 到点 M (1, 0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A. 双曲线 C. 两条射线 B. 双曲线的一支 D. 一条射线 ) . ) .

2.双曲线 5x2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 ( 6,0) ,那么实数 k 的值为( A. ? 25 B. 25 C. ?1 D. 1

3.双曲线的两焦点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,若 a ? 2 ,则 b ? ( A. 5 B. 13 C.
5

) .

D.

13

4.已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 . 则动点 P 的轨迹方程 为 5.已知方程 课后作业 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 2 5 ,经过点 A(?5, 2) ; (2)经过两点 A(?7, ?6 2) , B(2 7,3) . .

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围 2 ? m m ?1



2.相距 1400m A, B 两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差 3s ,已知声速是 340m / s , 问炮弹爆炸点在怎样的曲线上,为什么?



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