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2.3《幂函数》 课件(新人教版必修1)



2.3

鹿邑三高 史琳

幂 函 数

(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她 y=x w元 需要支付P = ______ ____是____的函数 P w a? (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = ____ y=x2 S a ____是____的函数 a? (3)如果立方体的边长为a,

那么立方体的体积V = ____ y=x3 V是a的函数 (4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边 1 1 2 a ?S 长_________ a是S的函数 y=x 2 (5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均 速度v=__________ t?? km/s y=x-1 v是t 的函数

y? x 以上问题中的函数具有什么共同特征?
a

他们有以下共同特点: (1)都是函数; (2) 指数为常数. (3) 均是以自变量为底的幂;

一般地,函数 y ? x 叫做幂函数(power function) ,
a

a为常数。 其中x为自变量,

注意:幂函数的解析式必须是y = xK 的形式,

其特征可归纳为“两个系数为1,只有1项”.
你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
指数函数:解析式 y ? a ,底数为常数a,a>0, a≠1,指数为自变量x; a 幂函数:解析式 y ? x ,底数为自变量x, 指数为常数α, α∈R;
x

判一判
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4
(2) y ? 1 x
2

1

(4) y ? x

2

(5) y=2x2 (6) y=x3+2

(3) y= -x2

下面研究幂函数 y ? x .
a

结合图象,研究性质:定义域、值域、 单调性、奇偶性、过定点的情况等。
研究
1

y=x

y? x

2

y? x

3

y? x

2

y ? x

?1

y= x 0 在同一平面直角坐标系内作出这

六个幂函数的图象.

1

y=x y ? x
x …

2

y? x
-2 -2
4 -8 \

3

y? x
-1 -1
1 -1 \

2

y ? x
1 1
1 1 1

?1

y= x 0

-3 -3
9 -27 \

0 0
0 0 0

2 2
4 8
2

3 3
9 27
3

… …
… … …

y ? x …
y ? x
y? x
3

2

… …

y ? x2 …

1

y ? x

?1

… -1/3

-1/2

-1

\

1

1/2

1/3



4

3

2

1

(1,1)

-6

-4

-2

2

4

6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

-3 -2 -1 0 1 2 3 y=x 9 4 1 0 1 4 2 9

x

4

3

y=x
2

1

(1,1)

-6

-4

-2

2

4

6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4)

3

y=x
2

1

(-1,1)

(1,1)

-6

-4

-2

2

4

6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y= x 2

3

y=x
2

1

(-1,1)

(1,1)

-6

-4

-2

2

4

6

-1

(-1,-1)
-2

-3

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x -27 -8 -1 0 1 8 3 27

-4

(-2,4)

4

y= x 3

(2,4) y= x 2

3

y=x
2

1

(-1,1)

(1,1)

-6

-4

-2

2

4

6

-1

(-1,-1)
-2

x
1
-3

0

1

2
2

4

y ? x2 0

1

2

-4

(-2,4)

4

y= x 3

(2,4) y= x 2

3

y=x
2

(4,2)
1

(-1,1)

(1,1)

-6

-4

-2

2

4

6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y= x 3

(2,4) y= x 2

3

y=x
2

1

y= x 2 (4,2)
1

(-1,1)

(1,1)

-6

-4

-2

2

4

6

-1

(-1,-1)
-2

x
y?x
?1

-3

-3

-4

- 1 2 3 1 -1/3 - 1 1/ 1/ 1/2 1 2 3

-2

(-2,4)

4

y= x 3

(2,4) y= x 2

3

y=x
2

1

y= x 2 (4,2)
1

(-1,1)

(1,1) y= x -1
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y= x 3

(2,4) y= x 2

3

y=x
2

1

y= x 2 (4,2)
1

(-1,1)

(1,1) y= x -1
2 4

y= x 0
6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4) 在第一象限内, 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)

4

y= x 3

(2,4) y= x 2

3

y=x
2

1

y= x 2 (4,2)
1

(1,1) y= x -1
2 4

y= x 0
6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当k>0时,图象随x增大而上升。 当k<0时,图象随x增大而下降

-3

-4

不管指数是多少 (-2,4) ,图象都经过哪 个定点?
(-1,1)

4

y= x 3

(2,4) y= x 2

3

y=x
2

1

y= x 2 (4,2)
1

(1,1) y= x -1
2 4

y= x 0
6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当k>0时,图象随x增大而上升。 当k<0时,图象随x增大而下降。

-3

图象都经过点(1,1) K>0时,图象还都过点(0,0)点

-4

观察幂函数图象,将你发现的结论写在下表:
1

y=x 定义域 值域 奇偶性 R R

y=x2 R

y=x3

y=x

2

y=x-1

R [0,+∞) R [0,+∞)

{x|x≠0}
{y|y≠0}

[0,+∞)







非奇 非偶



在R 在(-∞,0]上减, 在R上 单调性 上增 在[0,+∞)上增, 增

在[0, 在(-∞,0)上减, +∞)上增, 在(0,+∞)上减

公共点

(1,1)

幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图 象都通过点(1,1); (2) 如果α>0,则幂函数图象过原点,并且 在区间[0,+∞)上是增函数; (3) 如果α<0,则幂函数图象在区间(0,+∞) 上是减函数,在第一象限内,当x从右边趋向 于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴,当 x趋向于+∞时,图象在y轴上方无限地逼近x轴; (4) 当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶 数时,幂函数为偶函数.

说一说

判断正误
1 x

1.函数f(x)=x+

为奇函数.

2.函数f(x)=x2,x?[-1,1)为偶函数. 3.函数y=f(x)在定义域R上是奇函数, 且在(-?,0]上是递增的,则f(x)在[0,+ ?) 上也是递增的.

4.函数y=f(x)在定义域R上是偶函数, 且在(-?,0]上是递减的,则f(x)在[0,+ ?) 上也是递减的.

例1
如果函数 f ( x ) ? ( m ? m ? 1) x
2 m ? 2 m ?3
2

是幂函数,

且在区间(0,+∞)内是减函数,求满足条件的
实数m的集合。

解:依题意,得 m ? m ? 1 ? 1 解方程,得 m=2或m=-1 ?3 检验:当 m=2时,函数为 f ( x ) ? x 0 符合题意.当m=-1时,函数为 f ( x ) ? x ? 1 不合题意,舍去.所以m=2
2

例2. 利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3 与 0.30.3

(3)

-2 5

-2 5

2.5

与 2.7

解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,

∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

练习2
1) 1.3
?2

0.5 <

1.5

0.5

5.1 < 5.09 ? 2 2)
1

1

3)

? 1 .7 9 4

> ? 1.81 4
2 ? 2 3≤

4) (2 ? a )

?

2 3

2

练习3: 如图所示,曲线是幂函数 y = xk 在第一象 限内的图象,已知 k分别取
? 1, 1, 1 2
C1

, 2 四个

C4 C2 C 值,则相应图象依次为:________3

1

一般地,幂函数的图象在直线x=1

的右侧,大指数在上,小指数在下, 在Y轴与直线x =1之间正好相反。

例3

证明幂函数 f ( x ) ?

x

在[0,+∞)上是增函数.

复习用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1, x2是某个区间上任意二值,且x1<x2; (2). 作差 f(x1)-f(x2),变形 ; (3). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号;(4). 下结论. 证明:任取

x1 , x 2 ? [ 0 , ?? ), 且x 1 ? x 2 , 则
x1 ? x2 ? ( x1 ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?
? x1 ? x 2 x1 ? x2

x 2 )( x1 ?

x1 ? x2

x2 )

, ? x ? x ? 0, 1 2

x1 ?

x 2 ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x 2 ).

所以幂函数 f ( x ) ?

x

在[0,+∞)上是增函数.

证明幂函数 f ( x ) ? x 在[0,+∞)上是增函数. 证法二: 任取x1 ,x2 ∈[0,+∞),且x1< x2 ;

f ( x1 ) f ( x2 )

?

x1 x2

?

x1 x2

? 1 即 f ( x1 ) ? f ( x 2 )

所以 f ( x ) ?

x 在 ?0, ? ?为增函数 ?

(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有 理化的方式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不 一定能推出f(x1)<f(x2)。

课堂小结:

本节知识结构: 幂函数

定义

五个特殊幂函数
图象 基本性质

P79习题2.3: 1,2,3.



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