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2016届《创新设计》数学一轮(文科)人教A版课时作业 第4章 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数


第1讲

任意角、弧度制及任意角的三角函数

基础巩固题组
(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是 A.第一象限角 C.第三象限角 解析 B.第二象限角 D.第四象限角 ( )

∵sin α<0, 则 α 的终边落在第三、 四象限或 y 轴的负半轴; 又 tan α>0,

∴α 在第一象限或第三象限,故 α 在第三象限. 答案 C

2.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角 α∈(0,π)的弧 度数为 π A.3 C. 3 解析 答案 π B.2 D.2 设圆半径为 r, 则其内接正三角形的边长为 3r, 所以 3r=α· r, ∴α= 3. C ( )

3π 3π? ? 3.已知点 P?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为 ? ? ( π A.4 5π C. 4 解析 ) 3π B. 4 7π D. 4 3π 3π 由 sin 4 >0,cos 4 <0 知角 θ 是第四象限的角,

-1-

3π cos 4 7π ∵tan θ= 3π =-1,θ∈[0,2π),∴θ= 4 . sin 4 答案 D ( )

4.若 α 是第三象限角,则下列各式中不成立的是 A.sin α+cos α<0 C.cos α-tan α<0 解析 B.tan α-sin α<0 D.tan αsin α<0

α 是第三象限角,sin α<0,cos α<0,tan α>0,则可排除 A,C,D,

故选 B. 答案 B

5.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关; ④若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是 A.1 C.3 解析 B.2 D.4 由于第一象限角 370° 不小于第二象限角 100° ,故①错;当三角形的内角 ( )

为 90° 时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于 π 5π π 5π sin 6=sin 6 ,但6与 6 的终边不相同,故④错;当 cos θ=-1,θ=π 时既不是 第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A

二、填空题 6.已知 α 是第二象限的角,则 180° -α 是第________象限的角. 解析 由 α 是第二象限的角可得 90° +k· 360° <α<180° +k· 360° (k∈Z), 则 180°

-(180° +k· 360° )<180° -α<180° -(90° +k· 360° ),即-k· 360° <180° -α<90° -k· 360° (k∈Z),所以 180° -α 是第一象限的角.

-2-

答案



7.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上 2 5 一点,且 sin θ=- 5 ,则 y=______. 解析 因为 sin θ= y 2 5 2=- 5 , 4 +y
2

所以 y<0,且 y2=64,所以 y=-8. 答案 -8

8.函数 y= 2cos x-1的定义域为________. 解析 1 ∵2cos x-1≥0,∴cos x≥2.

由三角函数线画出 x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示).

π π? ? ∴x∈?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z). ? ? 答案 π π? ? ?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z) ? ?

三、解答题 9.已知角 α 的终边上有一点的坐标是 P(3a,4a),其中 a≠0,求 sin α,cos α,tan α. 解 r= ?3a?2+?4a?2=5|a|.

当 a>0 时,r=5a, y 4a 4 x 3a 3 ∴sin α=r =5a=5,cos α=r =5a=5, y 4a 4 tan α=x=3a=3; 当 a<0 时,r=-5a, 4 3 4 ∴sin α=-5,cos α=-5,tan α=3. 10.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长
-3-

AB. 解 设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm,

1 ? ? lr=1, ?r=1, 则?2 解得? ?l=2. ? ?l+2r=4, l ∴圆心角 α=r=2 弧度. 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1· sin 1=sin 1 (cm), ∴AB=2sin 1 (cm).

能力提升题组
(建议用时:25 分钟) 11.已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sin α>0,则实数 a 的取 值范围是 A.(-2,3] C.[-2,3) 解析 B.(-2,3) D.[-2,3] ( )

由 cos α≤0,sin α>0 可知,角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴

?3a-9≤0, 上,所以有? 解得-2<a≤3. ?a+2>0, 答案 A

π 12.已知圆 O:x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为 M,点 M 沿圆 O 顺时针运动 弧 2 长到达点 N,以 ON 为终边的角记为 α,则 tan α= A.-1 C.-2 解析 B.1 D.2 ( )

π π 圆的半径为 2 , 2 的弧长对应的圆心角为 4 ,故以 ON 为终边的角为

-4-

? ? ? π ?α?α=2kπ+ 4 ? ? ?

,k∈Z?,故 tan α=1.
? ?

? ?

答案

B

13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时 圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1) → 的坐标为________. 时,OP

解析

如图,作 CQ∥x 轴,PQ⊥CQ, Q 为垂足.

π 根据题意得劣弧 DP =2,故∠DCP=2,则在△PCQ 中,∠PCQ=2-2,|CQ| π? ? =cos?2-2?=sin 2, ? ? π? ? |PQ|=sin?2-2?=-cos 2, ? ? 所以 P 点的横坐标为 2-|CQ|=2-sin 2,P 点的纵坐标为 1+|PQ|=1-cos 2, → =(2-sin 2,1-cos 2). 所以 P 点的坐标为(2-sin 2,1-cos 2),故OP 答案 (2-sin 2,1-cos 2)

14.已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合; α (2)求2终边所在的象限; α α α (3)试判断 tan 2sin 2cos2的符号. 解 (1)由 sin α<0,知 α 的终边在第三、四象限或 y 轴的负半轴上;

-5-

由 tan α>0,知 α 在第一、三象限, 故 α 角在第三象限,其集合为
? ? ? 3π ?α??2k+1?π<α<2kπ+ 2 ? ? ?

,k∈Z?.
? ?

? ?

3π (2)由(2k+1)π<α<2kπ+ 2 , π α 3π 得 kπ+2<2<kπ+ 4 ,k∈Z, α 故2终边在第二、四象限. α α α α (3)当2在第二象限时,tan 2<0,sin 2>0,cos 2<0, α α α 所以 tan 2sin 2cos 2取正号; α α α α 当2在第四象限时,tan 2<0,sin 2<0,cos 2>0, α α α 所以 tan 2sin 2cos 2也取正号. α α α 因此,tan 2sin 2cos 2取正号.

-6-


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