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圆锥曲线综合问题常见例题整理教师版


圆锥曲线常见综合问题
(2013· 高考广东卷)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x-y-2=0 的距 3 2 离为 . 设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. 2 (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|· |BF|的最小值. 2. 【解】(1)依题意,设抛物线 C 的方程为 x2=4cy(c>0), |0-c-2| 3 2 由点到直线的距离公式,得 = , 2 1+1 解得 c=1(负值舍去),故抛物线 C 的方程为 x2=4y. 1 1 (2)由 x2=4y,得 y= x2,其导数为 y′= x. 4 2 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x2 = 4 y , x = 4y2, 1 1 2 1 1 切线 PA,PB 的斜率分别为 x1, x2, 2 2 x1 所以切线 PA 的方程为 y-y1= (x-x1), 2 x1 x2 1 即 y= x- +y1,即 x1x-2y-2y1=0. 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0. 因为切线 PA,PB 均过点 P(x0,y0), 所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0, ?x=x1, ? ?x=x2, ? 所以? 和? 为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解. ? ?y=y1, ? ?y=y2, 所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以|AF|· |BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1. ?x0x-2y-2y0=0, ? 2 由? 2 消去 x 并整理得到关于 y 的方程为 y2+(2y0-x2 0)y+y0=0. ? x = 4 y , ? 由一元二次方程根与系数的关系得 2 y1+y2=x2 0-2y0,y1y2=y0. 所以|AF|· |BF|=y1y2+(y1+y2)+1 2 =y0 +x2 0-2y0+1. 又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0-y0-2=0, 即 x0=y0+2, 1?2 9 1 2 2 ? 所以 y2 |AF|· |BF|取得最小值,且最 0+x0-2y0+1=2y0+2y0+5=2 y0+2 + ,所以当 y0=- 时, ? ? 2 2 9 小值为 . 2 x2 y2 3 (2013· 高考江西卷)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,a+b=3. a b 2 (1)求椭圆 C 的方程;

(2)如图所示,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点,直线 DP 交 x 轴
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于点 N,直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m,证明:2m-k 为定值. 3 c 2 1 【例 2】 【解】(1)因为 e= = ,所以 a= c,b= c. 2 a 3 3 代入 a+b=3,得 c= 3,a=2,b=1. x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 1 k≠0,k≠± ?,① (2)证明:因为 B(2,0),点 P 不为椭圆顶点,则直线 BP 的方程为 y=k(x-2)? 2? ?
2 4k ? x2 ?8k -2 ①代入 +y2=1,解得 P? 2 ,- 2 ?. 4 4k +1? ?4k +1 1 直线 AD 的方程为 y= x+1.② 2 4 k + 2 4k ? ? , ①与②联立解得 M? ?. ?2k-1 2k-1?

4k - 2 -1 4k +1 4k ? 0-1 ?8k -2 ?4k-2,0?. 由 D(0,1),P? 2 ,- 2 ?,N(x,0)三点共线知 2 = ,解得 N? ? 4k +1? 8k -2 x-0 ?4k +1 ?2k+1 ? -0 2 4k +1 所以 MN 的斜率为 4k -0 2k-1 4k(2k+1) 2k+1 m= = , 2 2= 4 4k+2 4k-2 2(2k+1) -2(2k-1) - 2k-1 2k+1 2k+1 1 则 2m-k= -k= (定值). 2 2 强化训练 2 (2013· 陕西省质量检测)如图,经过点 P(2,3),且中心在坐标原点,焦点在 x 轴上 1 的椭圆 M 的离心率为 . 2
2

(1)求椭圆 M 的方程; (2)若椭圆 M 的弦 PA、PB 所在直线分别交 x 轴于点 C、D,且|PC|=|PD|,求证:直线 AB 的斜率 为定值. x2 y2 [强化训练 2]【解】(1)设椭圆 M 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 2 2 a - b 4 9 1 则 2+ 2=1,且 e2= 2 = , a b a 4 2 2 解得 a =16,b =12. x2 y2 故椭圆 M 的方程为 + =1. 16 12 (2)证明;由题意知,直线 PA 的斜率必存在,故设直线 PA 的方程为 y=k(x-2)+3,A(xA,yA), B(xB,yB), 由|PC|=|PD|可知, 直线 PB 的方程为 y=-k(x-2)+3. y=k(x-2)+3 ? ? 2 2 由方程组? x 可得 y + =1 ? 16 12 ? (4k2+3)x2-8k(2k-3)x+4(2k-3)2-48=0.①
2

4(2k-3)2-48 2(2k-3)2-24 2(4k2-12k-3) 又方程①有一实根为 2,故另一实根为 = = , 2(4k2+3) 4k2+3 4k2+3 2(4k2-12k-3) 故 xA= . 4k2+3 2(4k2+12k-3) 同理,xB= . 4k2+3 4(4k2-3) -48k 24 ∴xA+xB= ,xA+xB-4=- 2 ,xA-xB= 2 . 2 4k +3 4k +3 4k +3 yA-yB ∴直线 AB 的斜率 kAB= xA-xB [k(xA-2)+3]-[-k(xB-2)+3] k(xA+xB-4) = = xA-xB xA-xB 1 = . 2 即直线 AB 的斜率为定值. (2013· 高考浙江卷)

已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1). (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点,若直线 AO,BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M,N 两点, 求|MN|的最小值. p 【例 3】 【解】(1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p>0),则 =1,所以抛物线 C 的方程为 2 x2=4y. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1. ? ?y=kx+1, 由? 2 消去 y,整理得 x2-4kx-4=0, ?x =4y, ? 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4 k2+1. y ? ?y=x1x, 1 由?

? ?y=x-2,

2x1 2x1 8 解得点 M 的横坐标 xM= = = . x2 x1-y1 4-x1 1 x1- 4 8 同理,点 N 的横坐标 xN= . 4-x2 8 8 所以|MN|= 2|xM-xN|= 2| - | 4-x1 4-x2 x1-x2 8 2 k2+1 |= . x1x2-4(x1+x2)+16 |4k-3| t+3 令 4k-3=t,t≠0,则 k= . 4 25 6 当 t>0 时,|MN|=2 2 + +1>2 2. t2 t =8 2|
3

5 3 16 8 ( + )2+ ≥ 2. t 5 25 5 25 4 8 综上所述,当 t=- ,即 k=- 时,|MN|的最小值是 2. 3 3 5 强化训练 3 (2013· 武汉市武昌区联合考试)设点 P 是圆 x2+y2=4 上任意一点,由点 P 向 x 轴作 3→ → 垂线 PP0,垂足为 P0,且MP0= PP0. 2 (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m(m≠0)与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 A,B.若直线 OA,AB,OB 的斜率 成等比数列,求实数 m 的取值范围. 当 t<0 时,|MN|=2 2 [强化训练 3]【解】(1)设点 M(x,y),P(x0,y0), 则由题意知 P0(x0,0). → → 由MP0=(x0-x,-y),PP0=(0,-y0), 3→ → 且MP0= PP0, 2 3 得(x0-x,-y)= (0,-y0). 2 ?x0-x=0, ?x0=x, ∴? 于是? 2 3 y0= y. -y=- y0, ? ? 2 3 ? ? 2 2 2 4 2 又 x0+y0=4,∴x + y =4. 3 x2 y2 ∴点 M 的轨迹 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+m, ? ?2 2 联立?x y ? 4 + 3 =1, ? 得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0. ∴Δ =(8mk)2-16(3+4k2)(m2-3)>0, 即 3+4k2-m2>0.(*) 8mk x1+x2=- , 3+4k2 且 4(m2-3) x1·x2= . 3+4k2 kx1+m kx2+m y1y2 依题意,k2= ,即 k2= · . x1x2 x1 x2 2 2 2 ∴x1x2k =k x1x2+km(x1+x2)+m . 8mk ∴km(x1+x2)+m2=0,即 km(- )+m2=0. 3+4k2 8k 2 3 ∵m≠0,∴k(- 2)+1=0,解得 k = . 4 3+4k 3 将 k2= 代入(*),得 m2<6. 4 ∴m 的取值范围是(- 6,0)∪(0, 6).

?

?

? ? ? ? ?

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3 x2 y2 1 1, ?,离心率 e= ,直线 l (2013· 高考江西卷)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 P? 2 ? ? a b 2 的方程为 x=4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA,PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3,问:是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ 的值;若不存在,请 说明理由. 3? 1 9 【例 4】 【解】(1)由 P? ?1,2?在椭圆上,得a2+4b2=1.① 依题设知 a=2c,则 b2=3c2.② 将②代入①,解得 c2=1,a2=4,b2=3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)由题意可设 AB 的斜率为 k, 则直线 AB 的方程为 y=k(x-1).③ 代入椭圆方程 3x2+4y2=12,并整理, 得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4(k2-3) 8k2 则有 x1+x2= 2 ,x1x2= ④ 4k +3 4k2+3 在方程③中令 x=4,得 M 的坐标为(4,3k). 3 3 3 y1- y 2- 3k- 2 2 2 1 从而 k1= ,k = ,k = =k- . 2 x1-1 2 x2-1 3 4-1 注意到 A,F,B 三点共线,则有 k=kAF=kBF, y1 y2 即有 = =k. x1-1 x2-1 3 3 y1- y2- 2 2 所以 k1+k2= + x1-1 x2-1 1 ? y1 y2 3 1 + = + - ? x1-1 x2-1 2?x1-1 x2-1? x1+x2-2 3 =2k- · .⑤ 2 x1x2-(x1+x2)+1 将④代入⑤,得 8k2 -2 4k2+3 3 k1+k2=2k- · =2k-1. 2 4(k2-3) 8k2 - 2 +1 2 4k +3 4k +3 1 又 k3=k- ,所以 k1+k2=2k3. 2 故存在常数 λ=2 符合题意. (2013· 安徽省“江南十校”联考)在圆 C1:x2+y2=1 上任取一点 P,过 P 作 y 轴的 → → 垂线段 PD,D 为垂足,动点 M 满足MD=2MP.当点 P 在圆 C1 上运动时,点 M 的轨迹为曲线 C2. (1)求曲线 C2 的方程; 强化训练 4
5

5 → → → (2)是否存在过点 A(2,0)的直线 l 交曲线 C2 于点 B,使OT= (OA+OB),且点 T 在圆 C1 上?若 5 存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. x → → [强化训练 4]【解】(1)设 M(x,y),∵MD=2MP,∴P( ,y). 2 又 P 在圆 C1 上, x x2 ∴( )2+y2=1,即 C2 的方程是 +y2=1. 2 4 4 5 (2)当直线 l 的斜率不存在时,点 B 与点 A 重合,此时点 T 坐标为( ,0),显然点 T 不在圆 C1 5 上,故不合题意, 所以直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 y=k(x-2), y=k(x-2) ? ?2 由?x ,得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0, 2 ? 4 +y =1 ? 8k2-2 4k 解得 xB= ,∴yB=- , 1+4k2 1+4k2 2 8k -2 -4k 即 B( , ). 1+4k2 1+4k2 -4k 16k2 → → ∴OA+OB=( , ), 1+4k2 1+4k2 -4k 5 16k2 → ∴OT= ( , ). 5 1+4k2 1+4k2 -4k 2 1 16k2 2 ∵T 在圆 C1 上,∴ [( ) +( ) ]=1, 5 1+4k2 1+4k2 化简得,176k4-24k2-5=0, 1 5 解得 k2= 或 k2=- (舍去), 4 44 1 ∴k=± . 2 1 故存在满足题意的直线 l,其方程为 y=± (x-2). 2 跟踪训练 x2 y2 (2013· 高考安徽卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,且过点 P( 2, 3). a b (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆 C 上一点.过点 Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E.取点 A(0,2 2),连 接 AE.过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点, 作直线 QG.问这样作出的直 线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 【解】 (1)因为焦距为 4,所以 a2-b2=4. 2 3 又因为椭圆 C 过点 P( 2, 3),所以 2+ 2=1. a b x2 y2 故 a2=8,b2=4,从而椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)一定有唯一的公共点. 理由:由题意知,点 E 坐标为(x0,0). → → 设 D(xD,0),则AE=(x0,-2 2),AD=(xD,-2 2). → → 再由 AD⊥AE 知,AE·AD=0,?
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即 xDx0+8=0.

8 由于 x0y0≠0,故 xD=- . x0 8 因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,所以点 G( ,0). x0 y0 x0y0 故直线 QG 的斜率 kQG= = 2 . 8 x0 -8 x0- x0 又因为点 Q(x0,y0)在椭圆 C 上, 2 所以 x2 0+2y0=8.① x0 从而 kQG=- . 2y0 x0 8 故直线 QG 的方程为 y=- (x- ).② 2y0 x0 将②代入椭圆 C 的方程,化简,得 2 2 2 (x2 0+2y0)x -16x0x+64-16y0=0.?③ 再将①代入③,化简得 x2-2x0x+x2 0=0. 解得 x=x0,则 y=y0, 即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点. → → ?由 AE 与 AD 垂直,应转化为AE·AD=0,从而转化为数量的计算. ?目标是要说明直线 QG 和椭圆 C 是否有唯一交点, 转化为直线 QG 的方程和椭圆方程联立方程 组,判定方程解的情况,这样把几何问题转化为代数问题,充分体现了等价转化思想的应用. 抓关键 提能力 跟踪训练

(2013· 荆州市质量检测)如图,已知抛物线 C:y2=4x,过点 A(1,2)作抛物线 C 的弦 AP,AQ.假 设直线 PQ 过点 T(5,-2),请问是否存在以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ?若存在,求出△APQ 的 个数,若不存在,请说明理由. [跟踪训练]【解】假设存在以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ, 设直线 PQ 的方程为 x=my+n. ∵直线 PQ 过点 T(5,-2), ∴5=m· (-2)+n,∴n=2m+5. ∴直线 PQ 的方程为 x=my+2m+5. 设点 P,Q 的坐标分别为 P(x1,y1),Q(x2,y2). ?x=my+2m+5 ? 由? 2 ,得 y2-4my-8m-20=0. ?y =4x ? ∴y1+y2=4m,y1·y2=-8m-20. x1+x2 y1+y2 ∵PQ 的中点坐标为( , ), 2 2 2 2 y1+y2 y1+y2 即( , ). 8 2

7

(y1+y2)2-2y1y2 又 =2m2+2m+5, 8 ∴PQ 的中点坐标为(2m2+2m+5,2m). 2m-2 由已知得 2 =-m,即 m3+m2+3m-1=0. 2m +2m+5-1 设 g(m)=m3+m2+3m-1,则 g′(m)=3m2+2m+3>0, ∴g(m)在 R 上是增函数. 又 g(0)=-1<0,g(1)=4>0, ∴g(m)在(0,1)内有一个零点. ∴函数 g(m)在 R 上有且只有一个零点, 即方程 m3+m2+3m-1=0 在 R 上有唯一实根. ∴满足条件的等腰三角形有且只有一个.

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