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【恒心】湖北省黄冈市重点中学2014届高三3月月考数学(理科)试题及参考答案( Word版)



湖北省黄冈市重点中学 2014

学年第二学期 3 月月考
2014.3

高三理科数学试卷
分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 棱柱的体积公式

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选

择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 2 至 4 页.满

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A, B 相互独立,那么

V ? Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高
棱锥的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是

p ,那么

1 V ? Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱台的体积公式
V? 1 h( S1 ? S1S2 ? S2 ) 3

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) ? C p (1 ? p)
k n k n?k

,(k ? 0,1, 2,?, n)

球的表面积公式
S ? 4? R2

其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积,

球的体积公式

h 表示棱台的高

4 V ? ?R 3 其中 R 表示球的半径 3

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求.
x 1.已知集合 A ? {x y ? 2 } , B ? { y | y ?

x 2 ? 6 x ? 8} ,则 A ? B ? (

)

A. {x x ? 0}

B. {x x ≥ 0}

C. {x x ≤ 2或x ≥ 4}

D. {x 0 ? x ≤ 2或x ≥ 4}

2.已知函数 f ? x ? ? ? A. ? ?1,1?

? x 2 ? 2 x, x ? 0
2 ? x ? 2 x, x ? 0

.若 f (?a ) ? f ? a ? ? 0 ,则 a 的取值范围是( C. ? 0, 2 ? D. ? ?2, 2?
1

)

B. [?2, 0]

3.已知某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体 的体积是( A.1 cm
3

)
1

B.3 cm

3

C.5 cm

3

D.7 cm

3

3 4.已知条件 p : k ? ,条件 q :直线 y ? k ? x ? 2 ? ? 1 与圆 4

正视图
1

侧视图

x 2 ? y 2 ? 4 相切,则 p 是 q 的(


2 俯视图

1

本卷第 1 页(共 7 页)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

5.将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移
2

? 个单位,再向上平移 1 个单位后得到的函数对应的表 4

开始

达式为 y ? 2 cos x ,则函数 f ( x) 的表达式可以是( A. 2 sin x B. 2 cos x

C. sin 2 x D. cos 2 x 1 1 1 1 6. 如图所示的程序框图, 若执行运算 1 ? ? ? ? , 则在空白的执行框中, 2 3 4 5 应该填入( ) B. T ? T ? i D. T ? T ?
1 i

T ? 1, i ? 1

A. T ? T ? (i ? 1) C. T ? T ?
1 i ?1

i ? i ?1
i>4? 是 输出 T 结束 否

7.从 6 名教师中选 4 名开发 A、B、C、D 四门课程,要求每门课程有一名 教师开发,每名教师只开发一门课程,且这 6 名中甲、乙两人不开发 A 课 程,则不同的选择方案共有( ) A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 8.在△ABC 中, ( AB ? 3 AC ) ? CB ,则角 A 的最大值为( A.

??? ?

????

??? ?



? ? ? C. D. 4 3 2 2 2 9.已知点 O(0,0), A(?1,1) ,若 F 为双曲线 x ? y ? 1 的右焦点, P 是该双曲线上且在第 ??? ? ??? ? 一象限的动点,则 OA ? FP 的取值范围为( )
B. A. ( 2 ? 1,1) B. ( 2 ? 1, 2) C. (1, 2) D. ( 2, ??)

? 6

10.如图,矩形 ABCD 中,E 为边 AD 上的动点,将 △ABE 沿直线 BE 翻转成△A1BE, 使平面 A1BE ? 平面 ABCD,则点 A1 的轨迹是( A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 )

A1 E A

D C

D.以上答案都不是

B
第10题图

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.二项式 ( x 2 ? )8 的展开式中,含 x 的项的系数是________. 12.已知 x, y 是实数,且 x ? (2i-2) x ? 1 ? yi ? 0 (其中 i 是虚数单位),则 | x ? yi | =_____.
2

1 x

13.甲、乙两人将参加某项测试,他们能达标的概率都是 0.8,设随机变量 ? 为两人中能达
本卷第 2 页(共 7 页)

标的人数,则 ? 的数学期望 E ? 为 14.数列 ?a n ?满足 a1 ?

. . .

1 3

15.已知函数 f ( x) ? f '( )sin x ? cos x, 则 f ( ) 的值为

?

1 1 a ? ? ? n an ? 3n ? 1, n ? N * ,则 a n ? 2 2 3 3

?

6 6 ? y ? x ?1 x2 ? 16.已知实数 x, y 满足 ? x ? 3 ,则 的最小值是 y ?x ? 5y ? 4 ?

.

17 .设 m 为不小于 2 的正整数 , 对任意 n ? Z , 若 n ? qm ? r (其中 q , r ? Z , 且 ,则记 f m (n) ? r ,如 f 2 (3) ? 1 , f3 (8) ? 2 .下列关于该映射 f m : Z ? Z 的 0≤r ? m ) 命题中,正确的是 .

①若 a , b ? Z ,则 f m (a ? b) ? f m (a) ? f m (b) ②若 a , b , k ? Z ,且 f m (a) ? f m (b) ,则 f m (ka) ? f m (kb)

) , f m (c) ? f m (d ) ,则 f m (a ? c) ? f m( b ? d ) ③若 a ,b ,c ,d ? Z ,且 f m (a) ? f m( b
④若 a , b , c , d ? Z ,且 f m (a) ? f m (b) , f m (c) ? f m (d ) ,则 f m (ac) ? f m (bd ) 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)在 ?ABC 中, BC ? (Ⅰ)求 AB 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 19. (本题满分 14 分)已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ,

5 , AC ? 3, sin C ? 2 sin A

1 ,3a 2 成等差数列, 2

1 a 2 , a3 , a 6 成等比数列. 3
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)已知 bn ? log 3

1 ,记 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , an

Tn ? 1 ?

1 1 ,求证: T2014 ? 1013. ?? ? 1 1 1 1 1 1 1? 1? ? 1? ? ?? ? 3 3 6 3 6 Sn ?

1

本卷第 3 页(共 7 页)

20. (本题满分 14 分)四棱锥 P ? ABCD 底面是菱形, PA ? 平面ABCD ,

?ABC ? 60? , E , F 分别是 BC , PC 的中点.
(Ⅰ)求证: 平面 AEF ⊥平面 PAD ; (Ⅱ) H 是 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成的最大角为 45? ,求二面角

E ? AF ? C 的正切值.
21.(本题满分 15 分)抛物线 C : x 2 ? 4 y ,直线 AB 过抛物线 C 的焦点 F ,交 x 轴于点 P . (Ⅰ)求证: PF ? PA ? PB ;
2

(Ⅱ)过 P 作抛物线 C 的切线,切点为 D (异于原点) , (i) k DA , k DF , k DB 是否恒成等差数列,请说明理由; (ii) ?ABD 重心的轨迹是什么图形,请说明理由.

22. (本题满分 15 分)已知 f ( x) ? ( x ? ax) ln( x ? 1 ? a) ( a ? R )
3 2

(Ⅰ)若方程 f ( x) ? 0 有 3 个不同的根,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 在 (Ⅰ) 的条件下, 是否存在实数 a , 使得 f ( x) 在 (0,1) 上恰有两个极值点 x1 , x2 , 且满足 x2 ? 2 x1 ,若存在,求实数 a 的值,若不存在,说明理由.

本卷第 4 页(共 7 页)

理科数学参考答案
2014.3 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1 2 题号 答案 B D 3 D 4 C 5 C 6 C 7 B 8 A 9 B 10 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.-56 12. 5 13.1.6 14. ?

?12, n ? 1
n ?1 ?3 , n ? 2

15.-1

16.4

17.②③④

三、解答题: 18(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)2 5 (Ⅱ)3 19. (本小题满分 14 分)

1 3n 20.四棱锥 P-ABCD 底面是菱形,PA⊥面 ABCD,∠ABC= 600 ,E,F 分别是 BC,PC 的中 点. (1)求证: 面 AEF⊥面 PAD (2)H 是 PD 上的动点,EH 与面 PAD 所成的最大角为 450 ,求二面角 E-AF-C 的正 切值.
解: (Ⅰ)

an ?

P

P

H

H F A D
A Q G F D

B

B

E

C

E

C

(1)设菱形 ABCD 的边长为 2a,则 AE 2 ? (2a )2 ? a 2 ? 2a ? 2a cos600 ? 3a 2 , AE= 3a
BE 2 ? AE 2 ? AB2 , ∴ AE ⊥ BC, 又 AD||BC, ∴ AE ⊥ AD. ∵ PA ⊥面 ABCD, ∴ PA ⊥

AE,AE⊥面 PAD, ∴面 AEF⊥面 PAD. (2)过 E 作 EQ⊥AC,垂足为 Q,过作 QG⊥AF,垂足为 G,连 GE,∵PA⊥面 ABCD, ∴PA⊥EQ,EQ⊥面 PAC,则∠EGQ 是二面角 E-AF-C 的平面角. 过点 A 作 AH⊥PD,连接 EH,∵ AE⊥面 PAD,∴∠AHE 是 EH 与面 PAD 所成的 最大角. ∵ ∠ AHE = 450 , ∴ AH = AE = 3a , AH ﹒ PD = PA ﹒ AD , 2a ﹒ PA= 3a ﹒
PA2 ? (2a ) 2 ,PA=2

3a ,PC=4a,EQ=

3 3 3 1 a ,CQ= a ,GQ= a ,tan ∠ 2 4 2

本卷第 5 页(共 7 页)

EGQ=

EQ 2 ? . GQ 3
(2) 能 抛物线 x 2 ? 4 ( y ? 2)
3

21.(1) 即证 y y ? 1 1 2

3 2 22. (本题满分 15 分)已知 f ( x) ? ( x ? ax) ln( x ? 1 ? a) ( a ? R ) (Ⅰ)若方程 f ( x) ? 0 有 3 个不同的根,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 在 (Ⅰ) 的条件下, 是否存在实数 a , 使得 f ( x) 在 (0,1) 上恰有两个极值点 x1 , x2 , 且满足 x2 ? 2 x1 ,若存在,求实数 a 的值,若不存在,说明理由.
(Ⅰ)解:由 f ( x) ? 0 得: x3 ? ax ? 0 或 ln( x ? 1 ? a ) ? 0
2

可得 x ? 0 或 x 2 ? a 且 x 2 ? 1 ? a ? 0 ∵方程 f ( x) ? 0 有 3 个不同的根, ∴方程 x 2 ? a 有两个不同的根 ∴a ? 0 又∵ x 2 ? 1 ? a ? 0 ,且要保证 x 能取到 0∴ 1 ? a ? 0 即 a ? 1 ∴ 0 ? a ? 1.
2 2 (Ⅱ)解:∵ f ?( x) ? (3x ? a) ln( x ? 1 ? a) ?

2 x 2 ( x 2 ? a) x2 ? 1 ? a 2t (t ? a) 令 x 2 ? t ,设 g (t ) ? (3t ? a) ln(t ? 1 ? a) ? ? f ?( x ) t ? 1? a ∴ g (0) ? ? a ln(1 ? a) ? 0 2(1 ? a) ∵ 0 ? a ? 1 ∴ 2 ? a ? 1 ∴ g (1) ? 0 g (1) ? (3 ? a) ln(2 ? a) ? 2?a g (a) ? 0 a a a a a ? (? 2 ) a a a2 g ( ) ? ln(1 ? ) ? ? ln(1 ? ) ? a 2 2 2 2 2 2?a 1? 2 1 a a ∵ 0 ? a ? 1 ∴ ? 1? ? 1 , 2 ? a ? 0 ∴ g( ) ? 0 2 2 2 a a ∴存在 t1 ? (0, ) ,使得 g (t1 ) ? 0 ,另外有 a ? ( ,1) ,使得 g (a) ? 0 2 2 假设存在实数 a ,使得 f ( x) 在 (0,1) 上恰有两个极值点 x1 , x2 ,且满足 x2 ? 2 x1

a ) ,使得 f ?( x1 ) ? 0 ,另外有 f ?( a ) ? 0 ,即 x2 ? a 2 a 3a ? ( ? ) a a a 3a 2 4 ) ? 0 ,即 ? ln(1 ? ) ? ∴ x1 ? ,∴ f ?( ?0 3a 2 2 4 4 1? 4 3 3 3 即 (1 ? a) ln(1 ? a) ? a ? 0 (*) 4 4 2 3 3 3 设 h(a) ? (1 ? a) ln(1 ? a) ? a 4 4 2 3 3 3 3 3 3 3 ∴ h?(a) ? ? ln(1 ? a) ? ? ? ? ln(1 ? a) ? 4 4 4 2 4 4 4
则存在 x1 ? (0,
本卷第 6 页(共 7 页)

3 a) ? 0 4 ∴ h?(a) ? 0 ∴ h( a ) 在 (0,1) 上是增函数 ∴ h(a) ? h(0) ? 0
∵ 0 ? a ? 1 ∴ ln(1 ? ∴方程(*)无解, 即不存在实数 a ,使得 f ( x) 在 (0,1) 上恰有两个极值点 x1 , x2 ,且满足 x2 ? 2 x1

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