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人教A版高一数学单位圆中的三角函数线教案



基 础 巩 固 一、选择题 1.(江苏苏州五中期中)角 α 的正弦线、余弦线和正切线的数量 5π 3π 分别为 a,b,c,如果 4 <α< 2 ,那么 a,b,c 的大小关系为( A.a>b>c C.c>b>a [答案] C 2.已知角 α 的余弦线是长度为单位长度的有向线段,那么角 α 的终边在( ) B.y 轴上 D.直线 y=x 上 B

.b>c>a D.a>c>b )

A.x 轴上 C.直线 y=-x 上 [答案] A 3.下列各式正确的是( π A.sin1>sin3 π C.sin1=sin3 [答案] B )

π B.sin1<sin3 π D.sin1≥sin3

π π [解析] 1 和3的终边均在第一象限,且3的正弦线大于 1 的正弦 π 线,则 sin1<sin3. 4.下列判断中错误的是( )

A.α 一定时,单位圆中的正弦线一定 B.单位圆中有相同正弦线的角相等 C.α 和 α+π 有相同的正切线 D.有相同正切线的两个角的终边在同一直线上

[答案] B [解析] 有相同正弦线的角相差 2π 的整数倍,不一定相等,故 选 B. 7π 5.若 MP 和 OM 分别是角 α= 8 的正弦线和余弦线,那么下列 结论中正确的是( A.MP<OM<0 C.OM<MP<0 [答案] D [解析] 作出单位圆中的正弦线、余弦线,比较知 D 正确. 6.如图所示,角 α 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M,过点 A 作单位圆的切线 AT 交 OP 的反向延长线至点 T, 则有( ) ) B.OM>0>MP D.MP>0>OM

A.sinα=OM,cosα=PM C.cosα=OM,tanα=AT [答案] D 二、填空题

B.sinα=MP,tanα=OT D.sinα=MP,tanα=AT

7.若角 α 的余弦线长度为 0,则它的正弦线的长度为________. [答案] 1

1 8.若角 α 的正弦线的长度为2,且方向与 y 轴的正方向相反,则 sinα 的值为________. 1 [答案] -2 三、解答题
? ?sinx≥0, 9.解不等式组? ?2cosx-1>0. ?

[解析]

? ?sinx≥0, ? 由? 得? 1 ? cosx> , ?2cosx-1>0, ?
2

sinx≥0,

在直角坐标系中作单位圆,如图所示,

由三角函数线可得

?2kπ≤x≤2kπ+π?k∈Z?, ? π π 2 k π - < x <2 k π + ? 3 3?k∈Z?.
解集恰好为图中阴影重叠的部分,故原不等式组的解集为 π {x|2kπ≤x<2kπ+3,k∈Z}. 1 10.在单位圆中画出满足 cosα=2的角 α 的终边,并写出 α 组成

的集合.

1 [解析] 如图所示,作直线 x=2交单位圆于 M、N,连接 OM、 π 1 5π 1 π ON,则 OM、ON 为 α 的终边.由于 cos3=2,cos 3 =2,则 M 在3的 5π π 5π 终边上,N 在 3 的终边上,则 α=3+2kπ 或 α= 3 +2kπ,k∈Z. π 5π 所以 α 组成的集合为 S={α|α=3+2kπ 或 α= 3 +2kπ,k∈Z}. 能 力 提 升 一、选择题 11π 1.已知 6 的正弦线为 MP,正切线为 AT,则有( A.MP 与 AT 的方向相同 C.MP>0,AT<0 [答案] A [解析] 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的. MP B.|MP|=|AT| D.MP<0,AT>0 )

11π 11π =sin 6 <0,AT=tan 6 <0. 2.已知 α 角的正弦线与 y 轴正方向相同,余弦线与 x 轴正方向 相反,但它们的长度相等,则( A.sinα+cosα=0 ) B.sinα-cosα=0

C.tanα=0 [答案] A

D.sinα=tanα

π π 3.若4<α<2,则下列不等式正确的是( A.sinα>cosα>tanα C.sinα>tanα>cosα [答案] D 4.y= sinx+lgcosx 的定义域为( tanx
?

)

B.cosα>tanα>sinα D.tanα>sinα>cosα

)

π? ? A.?x|2kπ≤x≤2kπ+2?
?

π? ? B.?x|2kπ<x<2kπ+2?
? ?

C.{x|2kπ<x<?2k+1?π} π π? ? D.?x|2kπ-2<x<2kπ+2?(以上 k∈Z)
? ?

[答案] B x≥0 ?sin ?cosx>0 ∵?tanx≠0 π ? x ≠ k π + ? 2,k∈Z

[解析]



π ∴2kπ<x<2kπ+2,k∈Z. 5.(能力拔高题)已知 cosα≤sinα,那么角 α 的终边落在第一象限 内的范围是( π A.(0,4] π π B.[4,2) )

π π C.[2kπ+4,2kπ+2),k∈Z

π D.(2kπ,2kπ+4],k∈Z [答案] C [解析] 如图所示,由余弦线长度|OM|不大于正弦线长度|MP|可

知,角 α 的终边落在图中的阴影区域,故选 C. 6.已知 sinα>sinβ,那么下列命题成立的是( A.若 α、β 是第一象限角,则 cosα>cosβ B.若 α、β 是第二象限角,则 tanα>tanβ C.若 α、β 是第三象限角,则 cosα>cosβ D.若 α、β 是第四象限角,则 tanα>tanβ [答案] D [解析] 如图(1),α、β 的终边分别为 OP、OQ,sinα=MP>NQ =sinβ,此时 OM<ON,∴cosα<cosβ,故 A 错; )

如图(2),OP、OQ 分别为角 α、β 的终边,MP>NQ, ∴AC<AB,即 tanα<tanβ,故 B 错; 如图(3),角 α,β 的终边分别为 OP、OQ,MP>NQ 即 sinα>sinβ, ∴ON>OM,即 cosβ>cosα,故 C 错,∴选 D.

二、填空题 7.已知 tanx=1,则 x=________. π [答案] x=4+kπ(k∈Z) 8.不等式 cosx>0 的解集是________. π π [答案] {x|2kπ-2<x<2kπ+2,k∈Z}.

[解析] 如图所示,OM 是角 x 的余弦线,则有 cosx=OM>0, ∴OM 的方向向右. ∴角 x 的终边在 y 轴的右方. π π ∴2kπ-2<x<2kx+2,k∈Z. 9.已知点 P(tanα,sinα-cosα)在第一象限,且 0≤α≤2π,则角 α 的取值范围是______________________. 5π? ?π π? ? [答案] ?4,2?∪?π, 4 ? ? ? ? ? [解析] ∵点 P 在第一象限,
? ?tanα>0, ∴? ? ?sinα-cosα>0,

?1? ?2?

π 3π 由(1)知 0<α<2或 π<α< 2 ,(3) 由(2)知 sinα>cosα, 作出三角函数线知,在[0,2π]内满足 sinα>cosα 的
?π 5π? α∈?4, 4 ?,(4) ? ?

5π? ?π π? ? 由(3)、(4)得 α∈?4,2?∪?π, 4 ?.
? ? ? ?

三、解答题 10.利用三角函数线比较下列各组数的大小:

2π 4π 2π 4π (1)sin 3 与 sin 5 ;(2)tan 3 与 tan 5 . [解析]

2π 4π 如图,射线 OP1、OP2 分别表示角 3 、 5 的终边,其中 P1、P2 是终边与单位圆的交点,过点 P1、P2 分别作 x 轴的垂线,垂足分别 2π 4π 为点 Q1、Q2,过点 A(1,0)作 x 轴的垂线分别与角 3 、 5 的终边的反向 2π 4π 延长线交于点 T1、T2,则 Q1P1、Q2P2 是角 3 、 5 的正弦线,AT1、AT2 2π 4π 是 3 、 5 的正切线.于是,有向线段 Q1P1>Q2P2,AT1<AT2, 2π 4π 2π 4π 所以 sin 3 >sin 5 ,tan 3 <tan 5 . 11.求下列函数的定义域: (1)y= 2cosx-1; [解析] 如图(1). 1 ∵2cosx-1≥0,∴cosx≥2. π ? π ? ∴函数定义域为?-3+2kπ,3+2kπ?(k∈Z).
? ?

(2)y=lg(3-4sin2x).

(2)如图(2). 3 3 3 ∵3-4sin2x>0,∴sin2x<4,∴- 2 <sinx< 2 . π 4π ? π ? ?2π ? ∴函数定义域为 ?-3+2kπ,3+2kπ? ∪ ? 3 +2kπ , 3 +2kπ? (k ? ? ? ? π ? π ? ∈Z),即?-3+kπ,3+kπ?(k∈Z).
? ?

12.利用单位圆和三角函数线证明:若 α 为锐角,则 (1)sinα+cosα>1; (2)sin2α+cos2α=1. [证明] 如图,记角 α 的两边与单位圆的交点分别为点 A,P,过 点 P 作 PM⊥x 轴于点 M,则 sinα=MP,cosα=OM.

(1)在 Rt△OMP 中,MP+OM>OP,∴sinα+cosα>1. (2)在 Rt△OMP 中,MP2+OM2=OP2, ∴sin2α+cos2α=1.



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