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高一数学集合间的基本关系1



1.1.2 集合间的基本关系

描述法 . 1.集合的表示方法有 列举法 、 2.元素与集合间的关系用符号∈ 或 ? 表示. 3.两个集合相等是指 构成集合的元素相同 .

1.子集、真子集、集合相等的概念
符号表

概念

定义 如果集合A中



图形表示

子集

或B 合B中的元素,就说这两个 B( ? 集合有包含关系,称集合A 为集合B的子集. ____A)

任意一个

元素都是集

A

?

如果集合A?B,但存在元 真子集 素

x∈B且x?A

A? B(或B ?A)

,则称集合A是

集合B的真子集.

A?B且B?A
集合相 等 如果 ,那么就 说集合A与集合B相等. A=B

2.空集 (1)定义: 不含任何元素 的集合,叫做空集. (2)用符号表示为: ? . (3)规定:空集是任何集合的子集 . 3.子集的有关性质 子集 ,即A?A . (1)任何一个集合是它本身的_______ (2)对于集合A,B,C,如果A?B,B?C,那么A?C .

1.能否把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”? 【提示】 不能.这是因为当A=?时,A?B,但A中不含任 何元素;又当A=B时,也有A?B,但A中含有B中的所有元素, 这两种情况都有A?B成立,所以上述理解是错误的.

2.包含关系{a}?A与从属关系a∈A有什么区别?

【提示】 两者的区别是(1)从符号上看,“?”表示的是两个
集合之间的关系,“∈”表示的是元素与集合之间的关系;(2){a}是 有一个元素的集合,而a通常表示一个元素;(3){a}?A表示{a}是A的

一个子集,而a∈A表示a是A的一个元素.

两集合相等 b? ? 2 2 009 2010 若 1,a,a? = {0 , a , a + b} ,则 a + b ? ?
? ? ? ? ?

的值为______. 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息: ①两集合都含有 3 个元素且相等. ②解答本题可从特殊元素 0 着手,结合集合 元素的特性求解.

b? ? 2 【解析】 ∵ 1,a, ? = {0 , a ,a+b}, a? ?
? ? ? ? ?

b? ? ∴0∈ 1,a, ? . a? ?
? ? ? ? ?

∴b=0,此时有{1,a,0}={0,a2,a}, ∴a2=1,a=± 1. 当 a=1 时,不满足互异性, ∴a=-1. ∴a2 009+b2 010=-1.
【答案】 -1

(1)两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序无关,但要注意
检验,排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形. (2)若两个集合中元素均无限多个,要看两集合的代表元素是否一

致,且看代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两集合相等.

1.设集合A={1,-2,a2-1},B={1,a2- 3a,0},若A=B,求a的值.

【解析】

由集合相等的概念得

?a2-1=0 ? 2 ,解得 a=1. ?a -3a=-2

写出满足{a,b}?A?{a,b,c,d}的所有集合A.

【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息:
①集合{a,b},{a,b,c,d}已知; ②集合A满足{a,b}?A?{a,b,c,d};

③求集合A.
解答本题可根据子集、真子集的概念求解. 【解析】 由题设可知,一方面A是集合{a,b,c,d}的子集,

另一方面A又真包含集合{a,b},故集合A中至少含有两个元素a,b,
且含有c,d两个元素中的一个或两个. 故满足条件的集合有{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,d}.

(1)正确区分子集与真子集概念是解题的关键.

(2)写一个集合的子集时,按子集中元素个数多少,以一定顺序
来写不易发生重复和遗漏现象. (3)集合中含有n个元素,则此集合有2n个子集,记住这个结论可

以提高解答速度,其中要注意空集?和集合本身易漏掉.

2.若{a,b}?A?{a,b,c,d},写出所有集合A.
【解析】 由题意知A是集合{a,b,c,d}的真子集又A包 含集合{a,b},故集合A中至少含有两个元素a,b,最多含有3个

元素.
故满足条件的集合有{a,b},{a,b,c},{a,b,d}.

已知集合A={x|-3<x<4},B={x|2m-1≤x≤m+1},且B?A,求

实数m的取值范围.
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息: ①集合A是一个定集合,可以在数轴上标出其取值范围;

②集合B是一个动集合,其范围随参数m的变化而变化.
解答本题可先求出集合A中变量x的取值范围,此时需注意对参数 m进行讨论,然后借助于数轴分析A?B成立的条件.

【解析】 ∵B?A, ①当 B=? 时,m+1<2m-1,解得 m>2; -3<2m-1 ? ? ②当 B≠? 时,有?m+1<4 , ? ?m+1≥2m-1 解得-1<m≤2. 综上可知 m 的取值范围是{m|m>-1}.

(1)分析集合关系时,首先要分析、简化每个集合.(2)此类 问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表

示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一
般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示. (3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合

中含有字母参数时,初学者会想当然认为非空集合而丢解,因
此分类讨论思想是必须的.

3.本例中,若将“B?A”改为“A?B”,其他条件不变,

则实数m的取值范围是什么?
【解析】 显然A≠?,又A?B,∴B≠?, 如图所示,

2m-1<m+1 ? ? ∴?2m-1≤-3 ,解得 m∈?. ? ?m+1≥4

1.子集、空集的概念的理解

(1)集合A是集合B的子集,不能简单地理解为集合A是由集合
B的“部分元素”所组成的集合。如A=?,则集合A不含B中的任 何元素.

(2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素,那么A不包含于
B,或B不包含A.这有两方面的含义,其一是A、B互不包含,如A ={a,b},B={b,c,d};其二是,A包含B,如A={a,b,c},

B={b,c}.

2.∈与?、a 与{a}、{0}与 ? 的区别 (1)∈与?的区别:∈表示元素与集合之间的 1 3 关系,因此,有3∈Q, 3 ?Q 等;?表示集合与 集合之间的关系,因此,有 Q?R,??R 等. (2)a 与{a}的区别: 一般地, a 表示一个对象, 而 {a} 表示由一个元素组成的集合 ( 常称单元素 集),a 是集合{a}的一个元素.因此有 2∈{2}, 不能写成 2={2}.

(3){0}与?的区别:{0}是含有一个元素的集合,?是不含任 何元素的集合.因此,有??{0},不能写成?={0},?∈{0}. 3.两集合相等的证明 若A、B两个集合是元素较少的有限集,可用列举法将元素 列举出来,说明两个集合的元素完全相同,从而A=B;若A、 B是无限集时,欲证A=B,只需证A?B与B?A都成立即可.

若集合 A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1 =0},且 B? A,求 m 的值. 【错解】 A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.

∵B? A,∴mx+1=0 的解为-3 或 2. 当 mx+1=0 的解为-3 时, 1 由 m· (-3)+1=0,得 m= ; 3 当 mx+1=0 的解为 2 时,由 m· 2+1=0 得 1 m=- . 2 1 1 综上所述,m= 或 m=- . 3 2

【错因】 上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法.原因是
考虑不全面,由集合B的含义及B?A,忽略了集合为?的可能,而漏掉 解.因此题目若出现包含关系时,应首先想到有没有出现?的可能.
【正解】 A={x|x2+x-6=0}={-3,2}. ∵B? A,∴当 B=? 时,m=0 适合题意. 1 当 B≠? 时, 方程 mx+1=0 的解为 x=- , m 1 1 则- =-3 或- =2, m m 1 1 ∴m= 或 m=- . 3 2 1 1 综上可知,所求 m 的值为 0 或 或- . 3 2

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刚到了入学年龄时,董妞儿就无一例外地把他们送进“耿家小学堂”里学习。这大概是在弥补自己当年没有像好朋友耿兰那样, 坚持刻苦学习的些许遗憾吧!白小青当年用七年多的时间为耿英精心积攒的那188张特别好看的绣花图样,耿英后来只挑拣着 绣了很少的几幅。耿兰虽说也很喜欢这些非常好看的图样,但无奈读书求学心切,几乎挤不出来闲暇的时间,所以,她只绣了 更少的几幅。不过,这些图样后来倒是成了董妞儿的宝贝了,她居然把那188张图样几乎绣了个遍。尽管董妞儿的绣艺有些个 不敢恭维,但其认真刺绣的热情和态度却实在是值得称赞的!不但自家爹娘、公婆和两边兄弟姊妹们的家里到处都可以看到她 的杰作,就是在两家耿姓婶子们的家里,以及这两家所有兄嫂们的家里,出自于董妞儿之手的那些个花花绿绿的绣品,也大大 方方地展现在了他们的几乎各个屋子里!4第百三八回 实现梦想起步时|(开学钟声振人心,十字校训勉人进;群情高昂勤排 练,场场“土戏”赢赞声。)在日日不间断的爆竹声中,喜庆热闹的春节和元宵节接踵而过,明儿就是“耿家小学堂”首次开 学的日子了!和准备入学的所有学生们一样,耿老爹全家人激动地几乎彻夜未眠。由于当时只有耿老爹、耿正、耿英和耿直父 子四个可以上讲台执教,而且耿老爹还声明,他要把主要精力放在试种水稻上,所以,耿正就和弟弟妹妹商量着,把所有报名 上学的七岁以上,十五岁以下的学童分成三个班,由兄妹三个每人负责带一个班。十五岁以上大龄学生的夜校班,报名人数正 好能坐满一个授课学习室,就全部由耿老爹一个人来带了。大壮、二壮和秀儿、青山、青海,还有先前已经结婚成家了的二狗 子和大头,以及二狗子的弟弟三狗子等人,都积极地报名参加夜校班的学习。确定了学生分班计划之后,耿正提前请人在孔夫 子牌位供奉室兼备课室、喝水活动室,以及四个授课学习室门框顶部的外侧,全部钉上了一个三寸宽,半寸厚,一尺长的木板。

木板上黄底黑子分别写着:备课室、喝水活动室、一年级甲班、一年级乙班、一年级丙班、夜校班。每个授课学习室内,都根
据各自编排学生的人数摆放好了桌子和凳子,并且在黑板的左侧贴上了用毛笔眷写在宣纸上的本学期课程表。正月十五那天, 耿家父子们,还有大壮兄妹三人,秀儿和两个兄弟就一起动手,把孔夫子牌位供奉室兼备课室、喝水活动室(包括所有的水壶 和水杯),以及紧挨着喝水活动室的四个授课学习室全都打扫、擦洗得干干净净。考虑到天气还有些冷,就提前把每个房间里 的土制火炉也全都生上了火。最后,又开始清扫校园。清扫校园的时候,一些提前带娃儿来看学堂的家长,以及一些自己跑来 看学堂的大龄学生们,也高高兴兴地参加了大清扫。偌



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