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高中函数教学的功能分析与策略



第 30 卷 第 4 期 2009 年 4 月

湖南科技学院学报 Journal of Hunan University of Science and Engineering

Vol.30 No.4 Apr.2009

高中函数教学的功能分析与策略
周庆海 1


唐晓梦 2



(1.道县五中,湖南 道县 425300; 2 蓝山民族中学,湖南 蓝山 425800) 要:函数是中学数学的重要内容,也是贯彻在中学数学中的一条主线,更是教师教学和学生学习的难点。高中函数 教学应重视函数的功能分析及概念的教学、加强函数建模、改进函数解题指导,在函数教学中渗透数学的思想方法,注重现 代化技术的作用,以提高学生分析问题、解决问题的综合能力。 关键词:数学教学;高中函数;教学功能;教学策略 中图分类号:G623.5 文献标识码:A 文章编号:1673-2219(2009)04-0029-02 例如,变化范围(定义域),变化趋势(增长或减少),变化速 率(增长或减少的快慢)等,并且由此还还能比较精确地预 测将要发生的变化。 在物理等学科上,我们也看到函数的身影,如: 弹簧的伸长 x 和恢复力 y 满足关系

0 引 言
数学天才高斯曾这样说过:“从最一般的意义上说,数学 是关系的科学,在全部的内容中,对关系作出抽象”。 函数是最 直接地使用关系和变换的,函数把分散的数据当作具有密切 的有意义的东西,对这些数据起着统一的作用。 高中函数中的函数概念、函数思想目前已公认是高中数 学教学的一个重点,高一教材基本完成了初等函数的介绍,同 时也广泛地进行了对函数基本性质的描述,再加上以后的“函 数的极限”、 “微积分初步”等内容,从时间上占了高中阶段大量 的学习时间。数学课程标准指出:函数是描述客观变化规律 的重要数学模型, 高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖 关系,同时还用集合的语言刻画函数。函数的思想方法将贯穿 高中数学课程的始终,学生将学习指数函数、对数函数等具体 的初等函数,结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过 程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性。

y = a ? xm
1.3 考试功能

( a, m为常数 )

函数在化学等其他学科上也广泛应用。 函数是贯彻在中学数学中的一条主线,每年的高考对函 数知识的考查占一定的比例,可以说是常考常新,对 2001 年 -2005 年高考数学湖南省理科试卷函数在选择题、填空题、 解答题和间接使用函数解题中所占分值的统计达 45% 。 1.4 教育功能 通过函数解决数学问题或者说通过函数建模来解决生 活中的实际问题,都可培养学生分析问题,解决问题的能力。 “正是通过一些问题的解决,研究者锻炼其钢铁意志,发现新 的方法和新的观点,达到更为广阔和自由的世界”。函数基础 知识的学习培养了学生运算能力、 逻辑思维能力和解决问题 的一般能力。函数的应用更是培养学生的创造能力,树立学 生正确的价值观和数学观,有利于培养学生服务社会的思想 情感。

1 高中函数的教学功能分析
1.1 知识功能 在前面我们说过,函数占据了高中学生大量的时间,因为 它的内容比较多,函数的内容丰富,是构成知识网络的骨架, 它辐射到了数列、不等式、三角、复数、几何等数学分支, 形成了高中函数的的一条主线。因此,把函数的概念和性质 把握好,运用好,以函数为主线串联其他各知识点,拓宽思路, 提高思维层次。 1.2 应用功能 1.2.1 实际问题的数学建模 数学建模问题存在我们的周围和日常生活之中。例如, 如何收集数据解决人们关心的问题,如红绿灯的切换时间、 环保措施的效果等 , 这些现象常常含有变化着的量以及各 种数量的关系通常可以通过建立函数模型进行有效的研究。 收稿日期:2009-01-23 向为中学数学教学。 修订日期:2009-03-27

2 高中函数的教学策略
2.1 重视函数概念教学 函数概念的培养在小学已经开始了,进入中学,随着代数 式、 方程的研究已渗透这一观念。 任何一个含有字母的代数 式,就可以看作它所含字母的函数。刚升入高一的学生他们 只是大体地描述函数的外在特征,很少深入到抽象层面:函 数是对应关系。把函数作为“变化过程”的描述和作为“对应 关系 ” 的描述本是认识函数概念的不同的侧面 , 不能说前者 比后者更好。 接受函数的抽象表示也是一个难点,笔者在某一非重点 中学的普通班实习时第一次讲函数的抽象表示时,介绍完函 数的定义后,给出了通常的表示方法 y = f ( x) 。 但是,竟有多 29

作者简介:周庆海(1970-) ,男, 中教一级,研究方

个学生问:“老师, f 和 x 是不是乘的关系?”由此可见他们 虽背了定义,但没有理解函数的真实意义。于是,在第二个班 讲时,笔者没有直接说“通常我们把 y 是 x 的函数表示为:

2.4.1 运用函数图象提高数形结合能力 函数图象是函数及其性质的几何反映,它具有直观、明 了的特点 , 在教学中 , 应先从简单函数的图象着手 , 使学生弄 清函数解析式与图象的关系,图象在坐标中的位置,图象的性 质,进而过渡到研究比较的复杂的函数的图象及其性质,加深 学生对函数及性质的理解。借助于图象来研究,解决有关函 数问题是数形结合的一个重要方面。 2.4.2 在解题训练中强化化归思想 2.4.3 运用方程思想提高转化能力 函数与方程是中学数学思想方法的两大支柱 , 而且相互 作用 , 利用好函数与方程 , 可以是复杂问题简单化 , 思想自然 流畅。 总之,函数教学应把形成学生的数学思想和发展学生的 数学能力渗透到教学这个环节中去,通过分析、对比,发现、 综合等方法 ,使学生顺利掌握函数知识 ,达到教学的目的, 提 高教学效果。 2.5 注意现代化信息技术的作用 在教学过程中应创设一些知识情境,借助现代化教学手 段多媒体进行教学,应用信息技术时要根据教学需要、学生 需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用,并且运用要适 度,掌握分寸,避免过量信息钝化学生的思维。教师可以借助 于几何画板、图形计算器、office 软件等现代化教学工具辅 助教学 , 鼓励学生上机操作 ,观察函数图象的变化过程 ,引导 学生交流与讨论,更好的掌握函数。

y = f ( x) ”, 而是先说 “ f 代表自变量和因变量之间的对应
关系,对于定义域内任意的 x (这时先在黑板上写下‘ x ’), , 通过对应 f (在黑板上写出‘ f () ’,刚才的 x 被括号括在内) 对应出唯一的一个

y (在黑板刚才的式子前写下‘ y = ’)”,

这样就写出了表达式 y = f ( x) 。事实上 , 这一改进很有效 , 再也没有出现第一个班那样的怪问题。 为何前者会有那样的错误呢?其原因在于:一是,学生 对对应关系认识不足;二是,函数的形式化并不是用一个“记 作”就能让人接受的;三是,从变量到到函数抽象的符号表示 突然跨了多个抽象层次。 难怪学生产生了理解的障碍。 后一 种书写次序主要是突出了 f 是对应关系这个特征,而且与定 义的描述次序相同,所以这样写的顺序顺应了学生意义建构 的模式,学生更好理解。 2.2 加强函数建模教学 数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。 许 多函数建模的问题存在于我们的周围和日常生活之中。 例如 我国的人口增长; 飞机在空中飞行的路线; 地球绕着太阳的 运动等。通过函数建模,有利于学生形成正确的价值观和数 学观,函数建模教学强调合作学习和团队精神,通过解决实际 问题有利于培养学生服务社会的思想情感。 2.3 改进函数解题指导 2.3.1 重视定义域对函数的制约作用 例如在函数奇偶性教学时 , 着重强调奇偶性定义中的 “ 对 于 函 数 定 义 域 内 的 任 意 一 个 x , 都 有 f ( x) = ? f (? x), ( f ( x) = f (? x)) ” 的重要性 , 使学生在利用 函数的奇偶性定义判断函数的奇偶性时,若不注意函数(或 等式)成立时变量的取值范围 , 则往往造成错误。如:对

3 结束语
本文讨论了高中函数教学的功能和高中函数的教学策 略,其目的是让师生对函数有进一步认识后,充分认识函数周 围的相关知识,作出有针对性的教学和学习,把各知识点进行 网络的联接,对函数有个完整的理解。与本文还一些相关问 题,如:教材改版后函数的增删问题;函数 D 的奇偶性并不 是在介绍函数定义的时候就给出的问题; 导数出现后整个函 数教学结构安排的问题以及函数的应用程度等等问题有待 进一步研究。

f ( x) = sin 2 x ? 2 , 在形式上虽有 f ( x) = f (? x ) , 但由于
在实数集内不满足函数定义(其定义域内为空集) 。所以

f ( x) 不是偶函数;又如: f ( x) = 3 x , ( x ∈ (?1,1]) ,形式上
有 f ( ? x) = ? f ( x) 成立 , 但由于 x = 1 时 , ? x = ?1 ? ( ?1,1] , 故它不是奇函数。奇、偶函数的定义域必是对称的。这样就 为学生判断函数的奇偶性提供了依据,加深了学生对函数奇 偶性的理解。 2.3.2 重视函数性质的运用 函数的性质包括函数的单调性、 奇偶性、 周期性以及函 数图象的某些几何性质等。 在函数概念的教学基础上, 对函 数的上述性质进行归纳整理,使之条理化,并在教学中通过 具体事例的分析, 挖掘题目中蕴涵的函数性质, 使解题过程 变得简洁, 同时加强数学变换思想的教学, 以提高学生分析 问题解决问题的能力。 另外在求函数的值域、解方程、解不等式中很多题目, 通过构建函数模型,利用函数的单调性,题目也迎刃而解。同 样,如果利用好了函数的奇偶性、周期性也会让看起来没有 一点眉目的题目变得豁然开朗。 2.4 30 在函数教学中渗透数学思想方法

参考文献:
[1]陆书环,傅海伦. 数学教学论[M]. 北京:科学出版社, 2004. [2] 肖学平 . 智慧的阶梯——论数学思想方法的教与学 [M]. 北京:国防大学出版社,2002. [3] 高中数学课程标准研制组 . 普通高中数学课程标准 [M]. 北京:北京师范大学出版社,2003. [4] 贾丕珠 . 函数学习的六个层次 [J]. 数学教育学报 ,2004, (8):79-81. [5] 徐稼红 . 计算机辅助函数教学的新途径 [J]. 数学教育学 报,2004, (8):82-84. [6] 杜生堂 . 高中函数教学中的几个问题 [J]. 甘肃教育学院 学报,1995, (1):56-60. (责任编校:刘志壮)



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