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全国高中数学联赛模拟试题10



全国高中数学联赛模拟试题(十)
(命题人:杨建忠 审题人:李潜)

第一试
一、选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
1、设集合 M={?2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射 f:M→N 使对任意的 x∈M,都 有 x+f(x)+xf(x)是奇数,则这样的映射 f 的个数是 (A)45 (B)27 (C)15 (D

)11 2、已知 sin2?=a,cos2?=b,0<?< ①

? ?? ? ,给出 tan?? ? ? 值的五个答案: 4 4? ?

b a 1? b 1? a ; ② ; ③ ; ④ ; 1? a 1? b a b a ? b ?1 ⑤ . a ? b ?1 其中正确的是: (A)①②⑤ (B)②③④ (C)①④⑤ (D)③④⑤ 3、若干个棱长为 2、3、5 的长方体,依相同方向拼成棱长为 90 的正方体, 则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 (A)64 (B)66 (C)68 (D)70 4、递增数列 1,3,4,9,10,12,13,?,由一些正整数组成,它们或者是 3 的幂, 或者是若干个 3 的幂之和,则此数列的第 100 项为 (A)729 (B)972 (C)243 (D)981

? n ? 1? 5 9 4m?1 5、 C1 , [x]表示不超过 x 的最大整数) n ? C n ? C n ? ? ? C n (其中 m ? ? ? 4 ? ?

的值为 (A) 2 n cos
n? 4

(B) 2 n sin

n? 4

1? n? ? (C) ? 2 n ?1 ? 2 n cos ? 2? 4 ?

1? n? ? (D) ? 2 n?1 ? 2 n sin ? 2? 4 ?

6、一个五位的自然数 abcde称为“凸”数,当且仅当它满足 a<b<c,c>d >e(如 12430,13531 等) ,则在所有的五位数中“凸”数的个数是 (A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134

二、填空题: (每小题 9 分,共 54 分)
1、过椭圆
x2 y2 ? ? 1 上任意一点 P, 作椭圆的右准线的垂线 PH (H 为垂足) , 3 2

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并延长 PH 到 Q,使得 HQ=?PH(?≥1) .当点 P 在椭圆上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取值范围是 . 2、已知异面直线 a、b 所成的角为 60°,过空间一点 P 作与 a、b 都成角? (0<?<90°)的直线 l,则这样的直线 l 的条数是 f(?)= . 3、不等式

?1 ?

4x 2 1 ? 2x

?

2

? 2 x ? 9 的解集为



4、设复数 z 满足条件|z?i|=1,且 z≠0,z≠2i,又复数?使得 实数,则复数??2 的辐角主值的取值范围是 5、设 a1,a2, ? ,a2002 均为正实数,且

? ? 2i z ? 为 ? z ? 2i .

1 1 1 1 ? ??? ? ,则 2 ? a1 2 ? a 2 2 ? a 2002 2

a1a2?a2002 的最小值是 . 6、在一个由十进制数字组成的数码中,如果它含有偶数个数字 8,则称它为 “优选”数码(如 12883,787480889 等) ,否则称它为“非优选”数码 (如 2348756,958288 等) ,则长度不超过 n(n 为自然数)的所有“优 选”数码的个数之和为 .

三、 (20 分)
已知数列{an}是首项为 2,公比为 (1) 用 Sn 表示 Sn+1; (2) 是否存在自然数 c 和 k,使得
1 的等比数列,且前 n 项和为 Sn. 2

S k ?1 ? c >2 成立. Sk ? c

四、 (20 分)
设异面直线 a、b 成 60°角,它们的公垂线段为 EF,且|EF|=2,线 段 AB 的长为 4,两端点 A、B 分别在 a、b 上移动.求线段 AB 中点 P 的 轨迹方程.

五、 (20 分)
已知定义在 R+上的函数 f(x)满足 (i)对于任意 a、b∈R+,有 f(ab)=f(a)+f(b); (ii)当 x>1 时,f(x)<0; (iii)f(3)=?1. 现有两个集合 A、B,其中集合 A={(p,q)|f(p2+1)?f(5q)?2>0,p、q∈ R+},集合 B={(p,q)|f(
p 1 )+ =0,p、q∈R+}.试问是否存在 p、q,使 2 q

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A ? B ? ? ,说明理由.

第二试
一、 (50 分)
如图,AM、AN 是⊙O 的切线,M、N 是切点,L 是劣弧 MN 上异于 M、N 的点,过点 A 平行于 MN 的直线分别交 ML、NL 于点 Q、P.若
S⊙O ? 2? 3 S △POQ ,求证:∠POQ=60°.

M

P

O N

L

A

Q

二、 (50 分)
已知数列 a1=20,a2=30,an+2=3an+1?an(n≥1) .求所有的正整数 n, 使得 1+5anan+1 是完全平方数.

三、 (50 分)
设 M 为坐标平面上坐标为(p· 2002,7p· 2002)的点, 其中 p 为素数. 求 满足下列条件的直角三角形的个数: (1) 三角形的三个顶点都是整点,而且 M 是直角顶点; (2) 三角形的内心是坐标原点.

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参考答案
第一试
一、选择题: 题号 答案 二、填空题:
?0,0? ? ? ? 30? ?1, ? ? 30? ? ? 2、 f ?? ? ? ?2,30? ? ? ? 60? ; ?3, ? ? 60? ? ? ?4,0? ? ? ? 90?

1 A

2 C

3 B

4 D

5 D

6 B

? 3 ? 1、 ? ,1? ?; 3 ? ?

? 1 ? ? 45 ? 3、 ?? ,0 ? ? ? 0, ? ; ? 2 ? ? 8?

4 ? ? 4、 ?? ? arctan , ? ? ; 3 ? ?

5、4002

2002



1 ? 10n ?1 8 n ?1 142? ?. 6、 ? ? ? 2? 7 63 ? ? 9 ?
(2)不存在.

三、 (1) S n ?1 ?

1 Sn ? 2 ; 2

四、

x2 ? y2 ? 1. 9

五、不存在.

第二试
一、证略; 二、n=3. 三、 p≠2,7,11,13 时,324 个;p=2 时,162 个;p=7,11,13 时,180 个.

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