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高中数学专题之集合的概念与运算



第一讲
【考点透视】 1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2.了解空集和全集的意义.

集合的概念与运算

3.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. 4.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈P}, 要紧紧抓

住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题. 5.注意空集 ? 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如 A ? B,则有 A= ? 或 A≠ ? 两 种可能,此时应分类讨论. 【例题解析】 题型 1. 正确理解和运用集合概念 理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键. 例 1.已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则 M∩N=( ) A.(0,1),(1,2) B.{(0,1),(1,2)}C.{y|y=1,或 y=2} D.{y|y≥1}
2 2

思路启迪:集合 M、N 是用描述法表示的,元素是实数 y 而不是实数对(x,y),因此 M、N 分别表示函数 y=x +1(x∈R), y=x+1(x∈R)的值域,求 M∩N 即求两函数值域的交集. 解:M={y|y=x +1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}.
2

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选 D.
? x ? 1, y ? x 2 ? 1, ? x ? 0, 点评:①本题求 M∩N,经常发生解方程组 ? 或? 得? ? ? y ? 2. ? y ? x ? 1. ? y ? 1,

从而选 B 的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事 实上 M、N 的元素是数而不是点,因此 M、N 是数集而不是点集.②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始, 要注意区分{x|y=x +1}、{y|y=x +1,x∈R}、{(x,y)|y=x +1,x∈R},这三个集合是不同的. 例 2.若 P={y|y=x ,x∈R},Q={y|y=x +1,x∈R},则 P∩Q 等于( ) A.P B.Q C.
2 2 2 2 2 2

D.不知道
2

思路启迪:类似上题知 P 集合是 y=x (x∈R)的值域集合,同样 Q 集合是 y= x +1(x∈R)的值域集合,这样 P∩Q 意义就明确了. 解: 事实上, P、 Q 中的代表元素都是 y, 它们分别表示函数 y=x ,y= x +1 的值域, 由 P={y|y≥0},Q={y|y≥1}, 知Q
2 2

P,

即 P∩Q=Q.∴应选 B. 例 3. 若 P={y|y=x ,x∈R},Q={(x,y)|y=x ,x∈R},则必有( )
2 2

A.P∩Q= ?

B.P

Q

C.P=Q

D.P

Q
2

思路启迪:有的同学一接触此题马上得到结论 P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的 y=x ,x∈R 相同,而没有注意到 构成两个集合的元素是不同的,P 集合是函数值域集合,Q 集合是 y=x ,x∈R 上的点的集合,代表元素根本不是同一类
2

事物. 解:正确解法应为: P 表示函数 y=x 的值域,Q 表示抛物线 y=x 上的点组成的点集,因此 P∩Q= ? .∴应选 A.
2 2

例 4 若 A ? {x | x 2 ? 1},B ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B = ( A.{3} 思路启迪:? A ? {x | 解:应选 D. 点评:解此类题应先确定已知集合. 题型 2.集合元素的互异性 B.{1} C. ?

) D.{-1}

x ? ?1, x ? 1},B ? {x | x ? ?1, x ? 3},? A ? B ? ??1?.

集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而 导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识. 例 5. 若 A={2,4, a -2 a - a +7},B={1, a +1, a -2 a +2,- 1 ( a -3 a -8), a + a +3 a +7},且 A∩B={2,
3 2 2 2 3 2

2

5},则实数 a 的值是________. 解答启迪:∵A∩B={2,5},∴ a -2 a - a +7=5,由此求得 a =2 或 a =±1. A={2,4,5},集合 B 中的元素是什么,它是
3 2

否满足元素的互异性,有待于进一步考查. 当 a =1 时, a -2 a +2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去 a =1. 当 a =-1 时,B={1,0,5,2,4},与 A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去 a =-1. 当 a =2 时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时 A∩B={2,5},满足题设. 故 a =2 为所求. 例 6. 已知集合 A={ a , a +b, a +2b},B={ a , a c, a c }.若 A=B,则 c 的值是______. 思路启迪:要解决 c 的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集 合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式. 解:分两种情况进行讨论. (1)若 a +b= a c 且 a +2b= a c ,消去 b 得: a + a c -2 a c=0,
a =0 时,集合 B 中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故 a ≠0.
2 2 2 2

∴c -2c+1=0,即 c=1,但 c=1 时,B 中的三元素又相同,此时无解. (2)若 a +b= a c 且 a +2b= a c,消去 b 得:2 a c - a c- a =0, ∵ a ≠0,∴2c -c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0,又 c≠1,故 c=- 1 .
2 2 2

2

2

点评:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正. 例 7.已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x - a x+ a -1=0},且 A∪B=A,则 a 的值为______. 思路启迪:由 A∪B=A ? B ? A 而推出 B 有四种可能,进而求出 a 的值. 解: ∵ A∪B=A, ? B ? A, ∵ A={1,2},∴ B= ? 或 B={1}或 B={2}或 B={1,2}. 若 B= ? ,则令△<0 得 a ∈ ? ; 若 B={1},则令△=0 得 a =2,此时 1 是方程的根; 若 B={2},则令△=0 得 a =2,此时 2 不是方程的根,∴ a ∈ ? ; 若 B={1,2}则令△>0 得 a ∈R 且 a ≠2,把 x=1 代入方程得 a ∈R,把 x=2 代入方程得 a =3. 综上 a 的值为 2 或 3. 点评:本题不能直接写出 B={1, a -1},因为 a -1 可能等于 1,与集合元素的互异性矛盾,另外还要考虑到集合 B 有 可能是空集,还有可能是单元素集的情况. 题型 3.要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法 集合与集合之间的关系问题,是我们解答数学问题过程中经常遇到,并且必须解决的问题,因此应予以重视.反 映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的.因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回 到元素与集合的关系中去. 例 8.设集合 A={ a | a =3n+2,n∈Z},集合 B={b|b=3k-1,k∈Z},则集合 A、B 的关系是________. 解:任设 a ∈A,则 a =3n+2=3(n+1)-1(n∈Z), ∴ n∈Z,∴n+1∈Z.∴ a ∈B,故 A ? B . 又任设 b∈B,则 b=3k-1=3(k-1)+2(k∈Z), ∵ k∈Z,∴k-1∈Z.∴ b∈A,故 B ? A 由①、②知 A=B. 点评:这里说明 a ∈B 或 b∈A 的过程中,关键是先要变(或凑)出形式,然后再推理. 例 9 若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有( ) A . A?C B .C ? A C . A?C D . A?? ② ①
2 2

[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算. 解:由 A ? B ? B ? C 知, A ? B ? B, A ? B ? C ? A ? B ? C ,故选 A. 例 10.设集合 A ? {1, 2} ,则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合 B 的个数是( ) A . 1 B .3 C .4 D . 8

[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题,同时考查了等价转化思想. 解: A ? {1, 2} , A ? B ? {1, 2,3} ,则集合 B 中必含有元素 3,即此题可转化为求集合 A ? {1, 2} 的子集个数问题,所以满足

题目条件的集合 B 共有 22 ? 4 个.故选 C. 例 11. 记关于 x 的不等式 x ? a ? 0 的解集为 P ,不等式 x ? 1 ≤ 1 的解集为 Q .
x ?1

(错误!未找到引用源。 )若 a ? 3 ,求 P ; (错误!未找到引用源。 )若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围. 思路启迪:先解不等式求得集合 P 和 Q . 解: (错误!未找到引用源。 )由 x ? 3 ? 0 ,得 P ? ? x ?1 ? x ? 3? .
x ?1

(错误!未找到引用源。 ) Q ? ? x x ? 1 ≤ 1? ? ? x 0 ≤ x ≤ 2? . 由 a ? 0 ,得 P ? ? x ?1 ? x ? a? ,又 Q ? P ,所以 a ? 0 , 即 a 的取值范围是 (2, ? ?) . 题型 4. 要注意空集的特殊性和特殊作用 空集是一个特殊的重要集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.显然, 空集与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍等于这个集合.当题设中隐含有空集参与的集合关系时, 其特殊性很容易被忽视的,从而引发解题失误. 例 12. 已知 A={x|x -3x+2=0},B={x| a x-2=0}且 A∪B=A,则实数 a 组成的集合 C 是________. 解:由 x -3x+2=0 得 x=1 或 2.当 x=1 时, a =2,当 x=2 时, a =1. 这个结果是不完整的,上述解答只注意了 B 为非空集合,实际上,B= ? 时,仍满足 A∪B=A,当 a =0 时,B= ? , 符合题设,应补上,故正确答案为 C={0,1,2}. 例 13.已知集合 A ? ? x | x ? a ≤ 1? , B ? ? x x 2 ? 5 x ? 4 ≥ 0? .若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是 思路启迪:先确定已知集合 A 和 B. 解: A ? ? x | x ? a ≤ 1? ? ? x a ? 1 ? x ≤ a + 1? , B ? ? x x 2 ? 5 x ? 4 ≥ 0? ? ? x x ≥ 4, x ? 1?.
3) . ? a ? 1 ? 4, a ? 1 ? 1.? 2 ? x ? 3. 故实数 a 的取值范围是 (2,
2 2



例 14. 已知集合 A={x|x +(m+2)x+1=0,x∈R},若 A∩ R? = ? ,则实数 m 的取值范围是_________. 思路启迪:从方程观点看,集合 A 是关于 x 的实系数一元二次方程 x +(m+2)x+1=0 的解集,而 x=0 不是方程 的解,所以由 A∩ R? = ? 可知该方程只有两个负根或无实数根,从而分别由判别式转化为关于 m 的不等式,并 解出 m 的范围. 解:由 A∩ R? = ? 又方程 x +(m+2)x+1=0 无零根,所以该方程只有两个负根或无实数根,
?? ? ? m ? 2 ?2 ? 4 ? 0, 或△=(m+2)2-4<0.解得 m≥0 或-4<m<0,即 m>-4. ? ? ? ? ? ? m ? 2 ? ? 0,
2 2

2

点评:此题容易发生的错误是由 A∩ R? = ? 只片面地推出方程只有两个负根(因为两根之积为 1,因为方程无零根), 而把 A= ? 漏掉,因此要全面准确理解和识别集合语言. 例 15.已知集合 A={x|x -3x-10≤0}, 集合 B={x|p+1≤x≤2p-1}. 若B
2

A, 则实数 p 的取值范围是________.

解:由 x -3x-10≤0 得-2≤x≤5. 欲使 B
?2 ? p ? 1 A,只须 ? ? ?3 ? p ? 3. ∴ p 的取值范围是-3≤p≤3. ? ?2 p ?1 ? 5

2

上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论,即 B= ? 时,符合题设. 应有:①当 B≠ ? 时,即 p+1≤2p-1 由B p≥2.

A 得:-2≤p+1 且 2p-1≤5.由-3≤p≤3.∴ 2≤p≤3. p<2.

②当 B= ? 时,即 p+1>2p-1 由①、②得:p≤3.

点评:从以上解答应看到:解决有关 A∩B= ? 、A∪B= ? ,A 题过程中要全方位、多角度审视问题. 题型 5.要注意利用数形结合解集合问题

B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解

集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象 化、明朗化,然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解. 例 16.设全集 U={x|0<x<10,x∈N },若 A∩B={3},A∩CUB={1,5,7},CUA∩CUB={9},则集合 A、B 是________. 思路启迪:本题用推理的方法求解不如先画出文氏图,用填图的方法来得简捷,由图不难看出. 解:A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.
*

例 17.集合 A={x|x +5x-6≤0},B={x|x +3x>0},求 A∪B 和 A∩B.
2 2

解:∵ A={x|x -5x-6≤0}={x|-6≤x≤1},

2

B={x|x +3x>0}={x|x<-3,或 x>0}. 如图所示, ∴ A∪B={x|-6≤x≤1}∪{x|x<-3,或 x>0}=R. A∩B={x|-6≤x≤1}∩{x|x<-3,或 x>0}={x|-6≤x<-3,或 0<x≤1}. 点评:本题采用数轴表示法,根据数轴表示的范围,可直观、准确的写出问题的结果. 例 18.设 A={x|-2<x<-1,或 x>1},B={x|x + a x+b≤0},已知 A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x≤3},求 a 、b 的值.
2

2

思路启迪:可在数轴上画出图形,利用图形分析解答. 解:如图所示,设想集合 B 所表示的范围在数轴上移动,

显然当且仅当 B 覆盖住集合{x|-1<x<3},才能使 A∪B={x|x>-2},且 A∩B={x|1<x≤3}. 根据二次不等式与二次方程的关系,可知-1 与 3 是方程 x + a x+b=0 的两根, ∴ a =-(-1+3)=-2, b=(-1)×3=-3. 点评:类似本题多个集合问题,借助于数轴上的区间图形表示进行处理,采用数形结合的方法,会得到直观、明了的 解题效果. 【专题训练】 一.选择题: 1.设 M={x|x +x+2=0}, a =lg(lg10),则{ a }与 M 的关系是( ) A、{ a }=M B、M ? ? {a} C 、{ a } ? ?M D、M ? { a }
2 2

2.已知全集 U =R,A={x|x- a |<2},B={x|x-1|≥3},且 A∩B= ? ,则 a 的取值范围是( ) A、 [0,2] A、 M ? ?N B、 (-2,2)
2

C、 (0,2]
2

D、 (0,2)

3.已知集合 M={x|x= a -3 a +2, a ∈R},N={x|x=b -b,b∈R},则 M,N 的关系是( ) B、M ? ?N C、M=N D、不确定

4.设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则 A∪B 中的元素个数是( ) A、11 B、10 C、16 D、15

5.集合 M={1,2,3,4,5}的子集是( ) A、15
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B、16
2 4

C、31 )
4 2

D、32

6 集合 M={x|x= kx ? ? ,k∈Z},N={x|x= k? ? ? ,k∈Z},则(
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A M=N
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B M N
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C M N
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D M∩N= ?
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7. 已知集合 A={x|x -4mx+2m+6=0,x∈R},若 A∩R ≠ ? ,求实数 m 的取值范围. 8. 命题甲:方程 x +mx+1=0 有两个相异负根;命题乙:方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根,这两个命题有且 只有一个成立,求 m 的取值范围. 9 已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}且 B≠ ? ,若 A∪B=A,则(
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2



2

2

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)

A -3≤m≤4
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B -3<m<4
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C 2<m<4
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D 2<m≤4
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10.集合 M= ? x x 2 ? 2 x ? a ? 0, x ? R ? ,且 ? ? M .则实数 a 的取值范围是( ) ? A. a ? -1 B. a ? 1 C. a ? -1 D.a ? 1

11.满足{ a ,b} U M={ a ,b,c,d}的所有集合 M 的个数是( )

A. 7

B. 6

C. 5

D. 4

12.若命题 P:x ? A ? B ,则 ? P 是( ) A. x ? A ? B B. x ? A 或 x ? B C. x ? A 且 x ? B D. x ? A ? B

13.已知集合 M={ a 2 , a }.P={- a ,2 a -1} ;若 card(M ? P)=3,则 M ? P= ( ) A.{-1} B.{1} C.{0} D.{3}

14.设集合 P={3,4,5}.Q={4,5,6,7}.令 P*Q= ?? a, b ? a ? p, b ? Q? ,则 P*Q 中元素的个数是 ( ) A. 3 二.填空题: 15.已知 M={ m | m ? 4 ? Z },N={x| x ? 3 ? N} ,则 M∩N=__________.
2 2

B. 7

C. 10

D. 12

16. 非空集合 p 满足下列两个条件: (1) p? 2, 3, 4, 5}, (2) 若元素 a ∈p, 则 6- a ∈p, 则集合 p 个数是__________. ? {1, 17.设 A={1,2} ,B={x|x ? A}若用列举法表示,则集合 B 是
2007 b ? 2 18.含有三个实数的集合可表示为 ? ? b2008 ? ?a, ,1? ? ?a , a ? b, 0? ,则 a

. .

?

a ?

三.解答题: 19.设集合 A={(x,y)|y= a x+1},B={(x,y)|y=|x|},若 A∩B 是单元素集合,求 a 取值范围. 20.设 A={x|x +px+q=0}≠ ? ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若 A∩M= ? ,A∩N=A,求 p、q 的值. 21.已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求 M∩N. 22.已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -mx+2=0},且 A∩B=B,求实数 m 范围. 23.已知全集 U =R,且 A ? ? x x 2 ? x ? 12 ? 0? , B ? ? x x 2 ? 4 x ? 5 ? 0? ,求 ? CU A? ? ? CU B ? . 24.已知集合 A ? ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0? , B ? ? x x 2 ? ax ? b ? 0? , 且 A ? B ? R, A ? B ? x 3 ? x ? 4? , A ? B ? R, A ? B ? ? x 3 ? x ? 4? ,求 a ,b 的值.
2 2 2 2

【参考答案】 1. C 2. A
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3. C

4. C
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5. D
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6. C 解析 对 M 将 k 分成两类 k=2n 或 k=2n+1(n∈Z), M={x|x=nπ + ? ,n∈Z}∪{x|x=nπ + 3? ,n∈Z},
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4

4

对 N 将 k 分成四类,k=4n 或 k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),

N={x|x=nπ + ? ,n∈Z}∪{x|x=nπ + 3? ,n∈Z}∪{x|x=nπ +π ,n∈Z}∪{x|x=nπ + 5? ,n∈Z}
2
4

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4

7.解:设全集 U ={m|△=(-4m) -4(2m+6)≥0}={m|m≤-1 或 m≥ 3 }.
2

2

若方程 x -4mx+2m+6=0 的二根为 x1、x2 均非负,
则 m ?U ? 3 ? ? x1 ? x2 ? 4m ? 0 ? m ? , 2 ? x x ? 2m ? 6 ? 1 2
2

2

因此,{m|m≥ 3 }关于 U 补集{m|m≤-1}即为所求. 8.解:使命题甲成立的条件是:
??1 ? m 2 ? 4 ? 0, ? m ? 2. ∴ 集合 A={m|m>2}. ? ? x1 ? x2 ? ? m ? 0

使命题乙成立的条件是:△2=16(m-2) -16<0,∴1<m<3.∴ 集合 B={m|1<m<3}. 若命题甲、乙有且只有一个成立,则有: (1)m∈A∩CRB,(2)m∈CRA∩B. 若为(1),则有:A∩CRB={m|m>2}∩{m|m≤1 或 m≥3}={m|m≥3}; 若为(2),则有:B∩CRA={m|1<m<3}∩{m|m≤2}={m|1<m≤2}; 综合(1)、(2)可知所求 m 的取值范围是{m|1<m≤2,或 m≥3}. 9.D 解析 ∵A∪B=A,∴B ? A,又 B≠ ? ,
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? m ? 1 ? ?2 ? ∴ ?2 m ? 1 ? 7 ,即 2<m≤4 ?m ? 1 ? 2m ? 1 ?
10.C 11.D 12.B 13.D

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14.B

二.填空题: 15. ? ; 16. 7 ; 17. {?,{1},{2},{1, 2}} ; 18.-1.

三.解答题: 19. a ≥1 或 a ≤-1,提示:画图.
p ? ?8, 或 ? p ? ?20, 或 ? p ? ?14, 20. ? ? ? ? q ? 16,
? ?q ? 10,

?q ? 40.

21.解:在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征.M、N 均为数集,不能误认为是点集,从而解 方程组。其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化.M={y|y=x +1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈ R}.∴ M∩N=M={y|y≥1}. 22.解:化简条件得 A={1,2},A∩B=B ? B ? A. 根据集合中元素个数集合 B 分类讨论,B= ? ,B={1}或{2},B={1,2}. 当 B= ? 时,△=m -8<0.∴ 当 B={1}或{2}时, ?
2 2

?2 2 ?m?2 2



?? ? 0 ,m 无解. ?1 ? m ? 2 ? 0或4 ? 2m ? 2 ? 0

当 B={1,2}时, ?

?1 ? 2 ? m, ∴ m=3. ?1? 2 ? 2.

综上所述,m=3 或 ? 2 2 ? m ? 2 2 .

23.解 : A ? ? x ?3 ? x ? 4? , B ? ? x x ? ?1或>5? , ? CU A ? ? x x ? ?3 或x ? 4? , CU B ? ?x ?1 ? x ? 5? ,? (CU A) ? (CU B) ? ?x 4 ? x ? 5?.
24. 解: A ? ? x x ? 1或x ? 3?, ∵ A ? B ? R . ∴ ? x ?1 ? x ? 3? 中元素必是 B 的元素. 又∵ A ? B ? x 3 ? x ? 4 , ∴ x 3 ? x ? 4 中的元素属于 B, 故 B ? ? x ?1 ? x ? 3 或3 ? x ? 4? ? ? x ?1 ? x ? 4? . 而 B ? x x ? ax ? b ? 0 . ∴-1,4 是方程 x
2

?

?

?

?

?

?

2

? ax ? b ? 0 的两根,

∴a=-3,b=-4.

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