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2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)正弦定理和余弦定理的应用(含解析)



2016 届高考数学一轮复习教学案 正弦定理和余弦定理的应用

[知识能否忆起] 1.实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角: 在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下方的角叫俯角 (如图 1).

(2)方位角: 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α (如图 2). (3)方向角: 相对于某一正方向的水平角(如图 3) ①北偏东 α °即由指北方向顺时针旋转 α °到达目标方向. ②北偏西 α °即由指北方向逆时针旋转 α °到达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似.

(4)坡度: ①定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图 4,角 θ 为坡角). ②坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图 4,i 为坡比).

2.解三角形应用题的一般步骤 (1)审题,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型; (3)选择正弦定理或余弦定理求解; (4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、近似计算要求. [小题能否全取] 1. 从 A 处望 B 处的仰角为 α , 从 B 处望 A 处的俯角为 β , 则 α, β 之间的关系是( A.α >β C.α +β =90° 答案:B 2.若点 A 在点 C 的北偏东 30°,点 B 在点 C 的南偏东 60°,且 AC=BC,则点 A 在点 B.α =β D.α +β=180° )

B 的(

) B.北偏西 15° D.北偏西 10°

A.北偏东 15° C.北偏东 10°

解析:选 B 如图所示, ∠ACB=90°, 又 AC=BC, ∴∠CBA=45°, 而 β=30°, ∴α =90°-45°-30°=15°. ∴点 A 在点 B 的北偏西 15°. 3.(教材习题改编)如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB =105°,则 A、B 两点的距离为( A.50 2 m ) B.50 3 m

C.25

2 m

25 2 D. m 2

解析:选 A 由正弦定理得 50× 1 2 4. (2011·上海高考)在相距 2 千米的 A、 B 两点处测量目标点 C, 若∠CAB=75°, ∠CBA =60°,则 A、C 两点之间的距离为________千米. 解析:如图所示,由题意知∠C=45°, 2 2 =50 2(m).

AC·sin ∠ACB AB= = sin B

AC 2 由正弦定理得 = , sin 60° sin 45°
∴AC= 2 2 答案: 6 3 · = 2 2 6.

5.(2012·泰州模拟)一船向正北航行,看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一 条直线上. 继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏东 60°, 另一灯塔在船的南偏东 75°, 则这艘船每小时航行________海里. 解析: 如图, 由题意知在△ABC 中, ∠ACB=75°-60°=15°, B=15°, ∴AC=AB=8. 在 Rt△AOC 中,OC=AC·sin 30°=4. 4 ∴这艘船每小时航行 =8 海里. 1 2 答案:8

解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦 定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这 时需作出这些三角形, 先解够条件的三角形, 然后逐步求解其他三角形, 有时需设出未知量, 从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

测量距离问题

典题导入 [例 1] 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示, 城建部门 欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的 底座形状分别为△ABC、 △ABD, 经测量 AD=BD=7 米, BC=5 米,

AC=8 米,∠C=∠D.
(1)求 AB 的长度; (2)若不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由). [自主解答] (1)在△ABC 中,由余弦定理得 cos C=

AC2+BC2-AB2 82+52-AB2
2AC·BC = 2×8×5

,①

在△ABD 中,由余弦定理得 cos D=

AD2+BD2-AB2 72+72-AB2
2AD·BD = 2×7×7

,②

由∠C=∠D 得 cos C=cos D. 解得 AB=7,所以 AB 的长度为 7 米.

(2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下: 1 1 易知 S△ABD= AD·BDsin D,S△ABC= AC·BCsin C, 2 2 因为 AD·BD>AC·BC,且∠C=∠D, 所以 S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低.

若环境标志的底座每平方米造价为 5 000 元,试求最低造价为多少? 解:因为 AD=BD=AB=7,所以△ABD 是等边三角形, ∠D=60°,∠C=60°. 1 故 S△ABC= AC·BCsin C=10 2 3, 3=50 000 3≈86 600 元.

所以所求的最低造价为 5 000×10

由题悟法 求距离问题要注意: (1)选定或确定要求解的三角形,即所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若 有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 以题试法 1.如图所示,某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度, 在河段的一岸边选取两点 A、 B, 观察对岸的点 C, 测得∠CAB=105°, ∠CBA=45°,且 AB=100 m. (1)求 sin ∠CAB 的值;

(2)求该河段的宽度. 解:(1)sin ∠CAB=sin 105° =sin(60°+45°) =sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45° = 3 2 1 2 × + × = 2 2 2 2 6+ 4 2 .

(2)因为∠CAB=105°,∠CBA=45°, 所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=30°. 由正弦定理,得 = , sin ∠ACB sin ∠CAB 则 BC=

AB

BC

AB·sin 105°
sin 30°

=50(

6+

2)(m).

如图所示,过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,则 CD 的长就是该河 段的宽度.在 Rt△BDC 中,

CD=BC·sin 45°=50( 6+ 2)×
所以该河段的宽度为 50( 3+1)m.

2 =50( 2

3+1)(m).

测量高度问题

典题导入 [例 2] (2012·九江模拟)如图,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶 上一建筑物 CD(CD 所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为 α , 从 A 处向山顶前进 l 米到达 B 后,又测得 CD 对于山坡的斜度为 β, 山坡对于地平面的坡角为 θ . (1)求 BC 的长; (2)若 l=24,α =15°,β=45°,θ =30°,求建筑物 CD 的高度.

[自主解答] (1)在△ABC 中,∠ACB=β -α , 根据正弦定理得 = , sin ∠BAC sin ∠ACB 所以 BC=

BC

AB

lsin α
β -α

. 24×sin 15° =12( sin 30°

(2)由(1)知 BC=

lsin α
β-α



6-

2)米.

π π 2π 3 在△BCD 中,∠BDC= + = ,sin ∠BDC= , 2 6 3 2 根据正弦定理得 = , sin ∠BDC sin ∠CBD 所以 CD=24-8 3米.

BC

CD

由题悟法 求解高度问题应注意: (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线 与水平线的夹角; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想 的运用. 以题试法 2. (2012·西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度, 在 C 点测得塔顶 A 的仰 角是 45°, 在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°, 并测得水平面上的∠BCD=120°, CD=40 m, 求电视塔的高度. 解:如图,设电视塔 AB 高为 x m, 则在 Rt△ABC 中,由∠ACB=45°得 BC=x.在 Rt△ADB 中,∠ADB =30°,

则 BD=

3 x.

在△BDC 中,由余弦定理得,

BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos 120°,
即( 3x)2=x2+402-2·x·40·cos 120°,

解得 x=40,所以电视塔高为 40 米.

测量角度问题

典题导入 [例 3] (2012·太原模拟)在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东

45°方向,相距 12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏 东 75°方向前进,若侦察艇以每小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45°+α 方向拦截蓝方的 小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值.

[自主解答] 如图,设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇,

则 AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°. 根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°, 解得 x=2. 故 AC=28,BC=20.

根据正弦定理得 = , sin α sin 120° 20sin 120° 5 3 解得 sin α = = . 28 14 5 3 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角 α 的正弦值为 . 14 由题悟法 1.测量角度,首先应明确方位角,方向角的含义. 2.在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,通过这 一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题, 解题中也要注意体会正、 余弦定理综合 使用的特点. 以题试法 3.(2012·无锡模拟)如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的 高度分别为 20 m、50 m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD 的大小是________. 解析:∵AD2=602+202=4 000,AC2=602+302=4 500. 在△CAD 中,由余弦定理得 cos ∠CAD= 答案:45°

BC

AC

AD2+AC2-CD2
2AD·AC



2 ,∴∠CAD=45°. 2

1.在同一平面内中,在 A 处测得的 B 点的仰角是 50°,且到 A 的距离为 2,C 点的俯 角为 70°,且到 A 的距离为 3,则 B、C 间的距离为( )

A. C.

16 18

B. D.

17 19

解析:选 D ∵∠BAC=120°,AB=2,AC=3. ∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos ∠BAC =4+9-2×2×3×cos 120°=19. ∴BC= 19.

2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某 人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°,沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( A.50 m C.120 m B.100 m D.150 m )

解析:选 A 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60°,AC=h,

AB=100,BC= 3h,
根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即 h2+50h-5 000=0,即

(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 3.(2012·天津高考) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b =5c,C=2B,则 cos C=( 7 A. 25 7 C.± 25 ) 7 B.- 25 24 D. 25

解析:选 A 由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B,由正弦定理及 8b=5c 得 cos

B=

sin C

2 sin B



?4? 4 7 = ,所以 cos C=cos 2B=2cos2 B-1=2×? ?2-1= . 2b 5 25 ?5?
c

4.(2013·厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 其中 a 为最大边,如果 sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角 A 的取值范围为( )

? π? A.?0, ? ? 2? ?π π? C.? , ? ? 6 3?

?π π? B.? , ? ? 4 2? ?π π? D.? , ? ? 3 2?

解析:选 D 由题意得 sin2A<sin2B+sin2C, 再由正弦定理得 a2<b2+c2,即 b2+c2-a2>0. 则 cos A=

b2+c2-a2
2bc

>0,

π ∵0<A<π,∴0<A< . 2 π 又 a 为最大边,∴A> . 3

?π π? 因此得角 A 的取值范围是? , ?. ?3 2?
5.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50°方向直线航行,30 分 钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处 观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B、C 两点间的距离是( A.10 C.20 2 海里 2 海里 B.10 D.20 3 海里 3 海里 )

解析:选 A 如图所示,由已知条件可得,∠CAB=30°,∠ABC=105°, ∴∠BCA=45°. 1 又 AB=40× =20(海里), 2 20 BC ∴由正弦定理可得 = . sin 45° sin 30° 1 20× 2 ∴BC= =10 2 2

2(海里).

6.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的 高度为海拔 18 km,速度为 1 000 km/h,飞行员先看到山顶的 俯角为 30°,经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75°,则山顶的 海拔高度为(精确到 0.1 km)( A.11.4 C.6.5 ) B.6.6 D.5.6

1 50 000 解析:选 B ∵AB=1 000×1 000× = m, 60 3

AB 50 000 ∴BC= ·sin 30°= m. sin 45° 3 2
50 000 ∴航线离山顶 h= ×sin 75°≈11.4 km. 3 2 ∴山高为 18-11.4=6.6 km. 7.(2012·南通调研)“温馨花园”为了美化小区, 给居民提供更好的 生活环境,在小区内的一块三角形空地上(如图,单位:m)种植草皮, 已知这种草皮的价格是 120 元/m2,则购买这种草皮需要________元. 1 解析:三角形空地的面积 S= ×12 2 000 元. 答案:27 000 8.(2012·潍坊模拟)如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北 偏东 30°的方向,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处, 此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°的方向,且与它相距 8 的航速是________n mile/h. 解析:设航速为 v n mile/h, 1 在△ABS 中 AB= v,BS=8 2 2,∠BSA=45°, 2 n mile.此船 3×25×sin 120°=225,故共需 225×120=27

1 8 2 2

v

由正弦定理得 = ,则 v=32. sin 30° sin 45° 答案:32 9.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台 顶部测得俯角分别为 45°和 60°,而且两条船与炮台底部连线成 30°角,则两条船相距 ________m. 解析:如图,OM=AOtan 45°=30(m),

ON=AOtan 30°=

3 ×30=10 3

3(m),

在△MON 中,由余弦定理得, 3 2

MN=


900+300-2×30×10 3(m).



300=10 3

答案:10

10.如图,在△ABC 中,已知∠B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD= 10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cos∠ADC=

AD2+DC2-AC2
2AD·DC



100+36-196 1 =- ,∴∠ADC=120°, 2×10×6 2

∴∠ADB=60°. 在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得 = , sin ∠ADB sin B ∴AB=

AB

AD

AD·sin ∠ADB
sin B



10sin 60° = sin 45°

10×

3 2 2 =5 6.

2 11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测 仪器的垂直弹射高度:A、B、C 三地位于同一水平面上,在 C 处进行 该仪器的垂直弹射,观测点 A、B 两地相距 100 米,∠BAC=60°,在

A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚

秒. 在 A 地测得该仪器至最高点 17

2

H 时的仰角为 30°,求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播速度为 340 米/秒)
2 解:由题意,设 AC=x,则 BC=x- ×340=x-40, 17 在△ABC 中,由余弦定理得

BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cos ∠BAC,
即(x-40)2=x2+10 000-100x,解得 x=420. 在△ACH 中,AC=420,∠CAH=30°,∠ACH=90°, 所以 CH=AC·tan ∠CAH=140 3. 3米.

答:该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140

12.(2012·兰州模拟)某单位在抗雪救灾中, 需要在 A, B 两地之间 架设高压电线, 测量人员在相距 6 km 的 C, D 两地测得∠ACD=45°, ∠ADC=75°,∠BDC=15°,∠BCD=30°(如图,其中 A,B,C,D 在同一平面上),假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际 所需电线长度大约应该是 A,B 之间距离的 1.2 倍,问施工单位至少应该准备多长的电线? 解:在△ACD 中,∠ACD=45°,CD=6,∠ADC=75°, 所以∠CAD=60°. 因为 = , sin ∠CAD sin ∠ACD

CD

AD

所以 AD=

CD×sin ∠ACD
sin ∠CAD



2 2 3 =2 6.



2 在△BCD 中,∠BCD=30°,CD=6,∠BDC=15°, 所以∠CBD=135°. 因为 = , sin ∠CBD sin ∠BCD 1 6× 2 CD×sin ∠BCD 所以 BD= = =3 sin ∠CBD 2 2 又因为在△ABD 中,∠BDA=∠BDC+∠ADC=90°, 所以△ABD 是直角三角形. 所以 AB=

CD

BD

2.

AD2+BD2=

6

2+

2

2=

42.

6 所以电线长度至少为 l=1.2×AB= 6 答:施工单位至少应该准备长度为

42 5

(单位:km)

42 5

km 的电线.

1.某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上,小山的高 BC 为 35 m,在地面上有一点 A,测得 A,C 间的距离为 91 m,从 A 观测电视 发射塔 CD 的视角(∠CAD)为 45°,则这座电视发射塔的高度 CD 为 ________米. 解析:AB= 912-352=84,

5 1+ 12 17 BC 35 5 CD+35 tan∠CAB= = = .由 =tan(45°+∠CAB)= = ,得 CD=169. AB 84 12 84 5 7 1- 12

答案:169 2.2012 年 10 月 29 日,超级风暴“桑迪”袭击美国东部,如图,在 灾区的搜救现场,一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现 一个生命迹象,然后向右转 105°,行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹 象,这时它向右转 135°后继续前行回到出发点,那么 x=________. 解析:∵由题知,∠CBA=75°,∠BCA=45°, ∴∠BAC=180°-75°-45°=60°,

x 10 10 6 ∴ = .∴x= m. sin 45° sin 60° 3
10 6 答案: m 3 3.(2012·泉州模拟)如图, 当甲船位于 A 处时获悉, 在其正东方向相 距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时 把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里的 C 处的乙船. (1)求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离; (2)设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援,其方向与 CA―→成 θ 角,求 f(x)=sin2θ sin x + 3 cos2θ cos x(x∈R)的值域. 4 解:(1)连接 BC,由余弦定理得

BC2=202+102-2×20×10cos 120°=700.
∴BC=10 7,即所求距离为 10 7海里.

sin θ sin 120° (2)∵ = , 20 10 7 3 . 7 4 7

∴sin θ =

∵θ 是锐角,∴cos θ =

.

f(x)=sin2θ sin x+
2

3 3 3 cos2θ cos x= sin x+ cos x 4 7 7



π? 3 ? sin?x+ ?, 7 ? 6? 3 2 , . 7 ? ? 3? ?

? 2 ? ∴f(x)的值域为?- ?

7

1.如图,甲船以每小时 30

2海里的速度向正北方航行,乙船按固定

方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时两船相距 10 里.问:乙船每小时航行多少海里? 解:如图,连接 A1B2 由已知 A2B2=10 2, 2海

A1A2=30 2×
∴A1A2=A2B2.

20 =10 60

2,

又∠A1A2B2=180°-120°=60°, ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2.

由已知,A1B1=20, ∴∠B1A1B2=105°-60°=45°, 在△A1B2B1 中,由余弦定理得
2 2 B1B2 2=A1B1+A1B2-2A1B1·A1B2·cos 45°

=202+(10 ∴B1B2=10

2)2-2×20×10 2.



2 =200, 2

10 2 因此,乙船的速度为 ×60=30 20

2(海里/时).

2.如图,扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图,其中圆心角∠AOB 2π 为 ,半径 OA 为 1 km.为了便于游客观光休闲,拟在观光区内铺设一条 3 从入口 A 到出口 B 的观光道路, 道路由弧 AC、 线段 CD 及线段 DB 组成, 其中 D 在线段 OB 上,且 CD∥AO.设∠AOC=θ . (1)用 θ 表示 CD 的长度,并写出 θ 的取值范围; (2)当 θ 为何值时,观光道路最长? 解:(1)在△OCD 中,由正弦定理,得 = = sin ∠COD sin ∠DCO sin ∠CDO 所以 CD= 2

CD



OD

CO

2

, 3

? 2π ? 1 2 sin? -θ ?=cos θ + sin θ ,OD= sin θ , 3 ?3 3 3 ?
2 sin θ <1, 3

因为 OD<OB,即

所以 sin θ <

3 π ,所以 0<θ < , 2 3

所以 CD=cos θ +

? π? 3 sin θ ,θ 的取值范围为?0, ?. 3 ? 3?

(2)设观光道路长度为 L(θ ), 则 L(θ )=BD+CD+弧 CA 的长 =1- 2 3 sin θ +cos θ + 1 1 sin θ +θ 3

=cos θ -

? π? sin θ +θ +1,θ ∈?0, ?, 3 ? 3?
3 cos θ +1, 3

L′(θ )=-sin θ -

? π? 3 由 L′(θ )=0,得 sin?θ + ?= , ? 6? 2 ? π? π 又 θ ∈?0, ?,所以 θ = , 6 ? 3?
列表: θ

? π? ? 0, ? ? 6?
+ 增函数

π 6 0 极大值

?π π? ? , ? ? 6 3?
- 减函数

L′(θ ) L(θ )

π π 所以当 θ = 时,L(θ )达到最大值,即当 θ = 时,观光道路最长. 6 6



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