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天津市红桥区2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析



2014-2015 学年天津市红桥区高一(上)期中数学试卷
一、选择题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. (4 分)在等比数列{an}中,已知 a1=1,a4=8,则 a6=() A.16 B.16 或﹣16 C.32 D.32 或﹣32 2. (4 分)在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=13,则 a5=() A.13 B.14

C.15

D.16

3. (4 分)如图是挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个 最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为()

A.84,4.84

B.84,1.6

C.85,1.6

D.85,4

4. (4 分)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a=2,b=2 ,A=30°,则 B 等 于() A.60° B.60°或 l20° C.30° D.30°或 l50° 5. (4 分)学校为了了解高二年级 1203 名学生对某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容 量为 40 的样本,考虑用系统抽样,则分段的间隔 k 为() A.40 B.30.1 C.30 D.12 6. (4 分)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项为 3,前 3 项和为 21,则 q 等于() A.6 B. 3 C. 2 D.1 7. (4 分)已知 A、B 两地的距离为 10km,B、C 两地的距离为 20km,现测得∠ABC=120°, 则 A、C 两地的距离为() A.10km B. km C.10 km D.10 km 8. (4 分)阅读如图给出的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 S 为()

A.﹣1007

B.1007

C.1008

D.﹣3022

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填在答题纸上的相应横线上) 9. (4 分)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 = x+ 中的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 10 万元时销售额为.
6 5 4 3 2

10. (4 分)用秦九韶算法计算多项式 f(x)=3x +4x +5x +6x +7x +8x+1 当 x=0.4 时的值时, 需要做乘法和加法的次数共次. 11. (4 分)已知首项 a1=1,公差 d=﹣2 的等差数列{an},当 an=﹣27 时,n=. 12. (4 分)已知 a,b,c 三个数成等比数列,若其中 a=2﹣ ,c=2+ ,则 b=.

13. (4 分)已知数列{an}中,a1=﹣20,an=an﹣1+2,那么|a1|+|a2|+…+|a19|+|a20|的值为. 14. (4 分)一船向正北方向匀速行驶,看见正西方向两座相距 5 海里的灯塔恰好与该船在 同一直线上,继续航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西 30°方向上,另一灯塔在南偏西 60°方向上,则该船的速度是海里/小时.

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 44 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (8 分) 根据如图所示的程序框图, 变量 a 每次赋值后的结果依次记作:a1、a2、a3…an….如 a1=1,a2=3…. (Ⅰ)写 a3、a4、a5; (Ⅱ)猜想出数列{an}的一个通项公式; (Ⅲ)写出运行该程序结束输出的 a 值. (写出过程)

16. (8 分)“你低碳了吗?”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话. 活 动组织者为了了解这则广告的宣传效果,随机抽取了 120 名年龄在[10,20) ,[20,30) ,…, [50,60)的市民进行问卷调查,由此得到的样本的频率分布直方图如图所示. (1)根据直方图填写频率分布统计表; (2)根据直方图,试估计受访市民年龄的中位数(保留整数) ; (3)按分层抽样的方法在受访市民中抽取 n 名市民作为本次活动的获奖者,若在[10,20)的 年龄组中随机抽取了 6 人,则 n 的值为多少? 分组 频数 频率 [10,20) 18 0.15 [20,30) 30 [30,40) [40,50) 0.2 [50,60) 6 0.05

17. (8 分)已知 a,b,c 是△ ABC 中角 A,B,C 的对边,S 是△ ABC 的面积.若 a +c =b +ac, (Ⅰ)求角 B; (Ⅱ)若 b=2,S= ,判断三角形形状. 18. (10 分)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a= (Ⅰ)求角 A、C; (Ⅱ)求边 c. 19. (10 分)设数列{an}满足:a1=3,an+l=3an,n∈N . (Ⅰ)求{an}的第 4 项 a4 及前 5 项和 S5; (Ⅱ)设数列{bn}满足:b1=1,bn﹣1= ﹣3 ?bn}为等差数列.
n *

2

2

2

,b=

,B=45°,

,Tn=b1+b2?3+b3?3 +…+bn?3

2

n﹣1

,证明:数列{4Tn

2014-2015 学年天津市红桥区高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. (4 分)在等比数列{an}中,已知 a1=1,a4=8,则 a6=()

A.16 考点: 专题: 分析: 解答: 则q =
3

B.16 或﹣16

C.32

D.32 或﹣32

等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 由已知数据可得数列的公比,由通项公式可得所求. 解:设等比数列{an}的公比为 q, =8,解得 q=2,
2

∴a6=a4?q =8×4=32 故选:C 点评: 本题考查等比数列的通项公式,属基础题. 2. (4 分)在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=13,则 a5=() A.13 B.14 C.15 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意易得公差 d,然后由等差数列的通项公式可得. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, 则 a2+a3=2a1+3d=4+3d=13,解得 d=3, ∴a5=a1+4d=2+12=14 故选:B 点评: 本题考查等差数列的通项公式,属基础题. 3. (4 分)如图是挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个 最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为()

D.16

A.84,4.84

B.84,1.6

C.85,1.6

D.85,4

考点: 茎叶图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据茎叶图中的数据,结合题意,求出平均数与方差即可. 解答: 解:根据茎叶图中的数据,得; 去掉一个最高分 93 和一个最低分 79 后, 所剩数据的平均数是 = ×(84+84+86+84+87)=85 方差是 s = ×[(﹣1) +(﹣1) +1 +(﹣1) +2 ]=1.6. 故选:C. 点评: 本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了平均数与方差的计算问题,是基础题.
2 2 2 2 2 2

4. (4 分)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a=2,b=2 ,A=30°,则 B 等 于() A.60° B.60°或 l20° C.30° D.30°或 l50° 考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由 A 的度数求出 sinA 的值,然后再由 a 与 b 的值,利用正弦定理求出 sinB 的值,根 据 A 的度数及三角形的内角和定理确定出 B 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出满足 题意的 B 的度数. 解答: 解:由 a=2,b=2 ,A=30°, 根据正弦定理 = 得:

sinB=

=

=



又 B 为三角形的内角,且 A=30°, 得到 B∈(0°,150°) , 则 B 等于 60°或 120°. 故选 B. 点评: 此题考查了解三角形的知识,用到的知识有正弦定理,以及特殊角的三角函数值, 学生在做题时利用正弦定理求出 sinB 的值后,注意根据 A 的度数及三角形的内角和定理确定 出 B 的度数范围,从而利用特殊角的三角函数值求出满足题意的 B 的度数. 5. (4 分)学校为了了解高二年级 1203 名学生对某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容 量为 40 的样本,考虑用系统抽样,则分段的间隔 k 为() A.40 B.30.1 C.30 D.12 考点: 系统抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 由题意知了解 1203 名学生对学校某项教改试验的意见, 打算从中抽取一个容量为 40 的样本,1203 除以 40 不是整数,先随机的去掉 3 个人,再除以 40,得到每一段有 30 个人, 在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等. 解答: 解:了解 1203 名学生对学校某项教改试验的意见, 打算从中抽取一个容量为 40 的样本, ∵1203 除以 40 不是整数, ∴先随机的去掉 3 个人,再除以 40,得到每一段有 30 个人, 则分段的间隔 k 为 30. 故选 C. 点评: 本题考查系统抽样,系统抽样是对于样本中个体比较多,且个体之间没有明显的差 距,可以采用系统抽样,在抽样过程中,若出现总体数不能被样本容量整除,则要剔除几个个 体. 6. (4 分)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项为 3,前 3 项和为 21,则 q 等于()

A.6

B. 3

C. 2

D.1

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 由题意可得 S3=3+3q+3q =21,解方程验证可得. 2 解答: 解:由题意可得数列的前 3 项和为 S3=3+3q+3q =21, 2 ∴q +q﹣6=0,即(q﹣2) (q+3)=0, 解得 q=﹣3,或 q=2, ∵等比数列{an}的各项都为正数,∴q>0, ∴应取 q=2, 故选:C 点评: 本题考查等比数列的前 n 项和,涉及一元二次方程的求解,属基础题. 7. (4 分)已知 A、B 两地的距离为 10km,B、C 两地的距离为 20km,现测得∠ABC=120°, 则 A、C 两地的距离为() A.10km B. km C.10 km D.10 km 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理列出关系式,把 AB,BC,以及 cos∠ABC 代入求出 AC 的长即可. 解答: 解:∵AB=10km,BC=20km,∠ABC=120°, 2 2 2 ∴由余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB?BCcos∠ABC=100+400+200=700, 则 AC=10 km. 故选:D. 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关 键. 8. (4 分)阅读如图给出的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 S 为()

A.﹣1007

B.1007

C.1008

D.﹣3022

考点: 循环结构. 专题: 计算题;算法和程序框图. i+1 分析: 算法的功能是求 S=1﹣2+3﹣4+…+(﹣1) ×i 的值,根据条件确定跳出循环的 i 值, 利用并项求和的方法计算输出 S 的值.

解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=1﹣2+3﹣4+…+(﹣1) ∵跳出循环的 i 值为 2015,
2015

i+1

×i 的值,

∴输出 S=1﹣2+3﹣4+…+(﹣1) ×2014=﹣1007. 故选:A. 点评: 本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关 键. 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填在答题纸上的相应横线上) 9. (4 分)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 = x+ 中的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 10 万元时销售额为 103.1. 考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 首先求出所给数据的平均数,得到样本中心点,根据线性回归直线过样本中心点, 求出方程中的一个系数,得到线性回归方程,把自变量为 6 代入,预报出结果. 解答: 解:∵ = =3.5, = =42,

∵数据的样本中心点在线性回归直线上, = x+ 中的 为 9.4, ∴42=9.4×3.5+a, ∴ =9.1, ∴线性回归方程是 y=9.4x+9.1, ∴广告费用为 10 万元时销售额为 9.4×10+9.1=103.1, 故答案为:103.1. 点评: 本题考查线性回归方程的求法和应用,是一个基础题,本题解答关键是利用线性回 归直线必定经过样本中心点. 10. (4 分)用秦九韶算法计算多项式 f(x)=3x +4x +5x +6x +7x +8x+1 当 x=0.4 时的值时, 需要做乘法和加法的次数共 12 次. 考点: 算法的概念. 专题: 计算题. 分析: 把所给的多项式写成关于 x 的一次函数的形式,依次写出,得到最后结果,从里到 外进行运算,结果有 6 次乘法运算,有 6 次加法运算,本题也可以不分解,直接从最高次项的 次数直接得到结果. 6 5 4 3 2 解答: 解:∵f(x)=3x +4x +5x +6x +7x +8x+1 5 4 3 2 =(3x +4x +5x +6x +7x+8)x+1 4 3 2 =[(3x +4x +5x +6x+7)x+8]+1 ={{{[(3x+4)x+5]x+6}x+7}x+8}x+1
6 5 4 3 2

∴需要做 6 次加法运算,6 次乘法运算, ∴需要做乘法和加法的次数共 12 次, 故答案为 12. 点评: 本题考查秦九韶算法,考查在用秦九韶算法解题时一共会进行多少次加法和乘法运 算,是一个基础题,解题时注意最后加还是不加常数项,可以直接看出结果. 11. (4 分)已知首项 a1=1,公差 d=﹣2 的等差数列{an},当 an=﹣27 时,n=15. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知写出等差数列的通项公式,把 an=﹣27 代入通项公式求解 n 的值. 解答: 解:在等差数列{an}中, ∵a1=1,d=﹣2, ∴an=a1+(n﹣1)d=1﹣2(n﹣1)=﹣2n+3, 由 an=﹣27,得﹣2n+3=﹣27,解得 n=15. 故答案为:15. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,是基础的计算题. 12. (4 分)已知 a,b,c 三个数成等比数列,若其中 a=2﹣ 考点: 专题: 分析: 解答:
2

,c=2+

,则 b=±



等比数列的性质. 计算题;等差数列与等比数列. 利用等比数列的性质,代入计算可得结论. 解:∵a,b,c 三个数成等比数列,

∴b =ac, ∵a=2﹣ ,c=2+ , 2 ∴b =(2﹣ ) (2+ )=2, ∴b=± . 故答案为:± . 点评: 本题考查等比数列的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 13. (4 分)已知数列{an}中,a1=﹣20,an=an﹣1+2,那么|a1|+|a2|+…+|a19|+|a20|的值为 200. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 求出 an 的通项公式,讨论 an 的取值符号即可得到结论. 解答: 解:∵an=an﹣1+2, ∴数列{an}是公差 d=2 的等差数列, 则 an=﹣20+2(n﹣1)=2n﹣22, 由 an=2n﹣22≥0,解得 n≥11, 由 an=2n﹣22<0,解得 1≤n<11, 则|a1|+|a2|+…+|a19|+|a20|=﹣a1﹣a2﹣…﹣a10+a11+…+a20=S20﹣ 2S10= ﹣2[10× ]

=﹣400+380﹣2(﹣200+90)=﹣20+220=200, 故答案为:200 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和的计算,根据通项公式判断 an 的取值 符号是解决本题的关键. 14. (4 分)一船向正北方向匀速行驶,看见正西方向两座相距 5 海里的灯塔恰好与该船在 同一直线上,继续航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西 30°方向上,另一灯塔在南偏西 60°方向上,则该船的速度是 15 海里/小时. 考点: 向量在物理中的应用;解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 作出图形,求得线段 BD=AB=5 海里,然后解直角三角形求得线段 DC,即可得到 速度. 解答: 解:根据题意得:AB=5 海里,∠ADC=60°,∠BDC=30°,DC⊥AC, ∴∠DBC=60°,∠BDA=∠A=30°,∴BD=AB=5 海里, ∵DC⊥AC,∴在 Rt△ BDC 中,DC=BD×sin∠DBC=5 ∵从 C 到 D 行驶了半小时,∴速度为 故答案为:15. × = ,

÷ =10 海里/小时

点评: 本题考查解三角形的应用,考查学生的计算能力,属于基础题. 三、解答题(本大题共 5 个小题,共 44 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (8 分) 根据如图所示的程序框图, 变量 a 每次赋值后的结果依次记作:a1、a2、a3…an….如 a1=1,a2=3…. (Ⅰ)写 a3、a4、a5; (Ⅱ)猜想出数列{an}的一个通项公式; (Ⅲ)写出运行该程序结束输出的 a 值. (写出过程)

考点: 数列的概念及简单表示法;循环结构. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)根据程序框图,即可写 a3、a4、a5; (Ⅱ)由(Ⅰ)猜想出数列{an}的一个通项公式; (Ⅲ)根据程序框图,写出运行该程序结束输出的 a 值. 解答: 解: (Ⅰ)a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,a5=31﹣﹣﹣﹣(3 分) n (Ⅱ)猜想:an=2 ﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) (Ⅲ)当 n=11 时,a>2014,输出 a=2047.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 点评: 本题考查算法知识,考查数列{an}的一个通项公式,正确理解程序框图是关键. 16. (8 分)“你低碳了吗?”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话. 活 动组织者为了了解这则广告的宣传效果,随机抽取了 120 名年龄在[10,20) ,[20,30) ,…, [50,60)的市民进行问卷调查,由此得到的样本的频率分布直方图如图所示. (1)根据直方图填写频率分布统计表; (2)根据直方图,试估计受访市民年龄的中位数(保留整数) ; (3)按分层抽样的方法在受访市民中抽取 n 名市民作为本次活动的获奖者,若在[10,20)的 年龄组中随机抽取了 6 人,则 n 的值为多少? 分组 频数 频率 [10,20) 18 0.15 [20,30) 30 [30,40) [40,50) 0.2 [50,60) 6 0.05

考点: 频率分布直方图;分层抽样方法;众数、中位数、平均数. 专题: 图表型. 分析: (1)利用统计中, 求出表中的 M,利用频数和为 120 及频率分布

直方图中频率=纵坐标×组距求出 a 的值进行计算即得. (2)由频率分布直方图估计样本数据的中位数,规律是:中位数,出现在概率是 0.5 的地方. (3)令在[10,20)的年龄组中在所有市民中所占的比例等于抽到的在[10,20)的年龄组中 与样本容量的比,列出方程,求出 n 的值. 解答: 解: (1)由分组[20,30)内的频率是 0.025×10=0.25, 知频率分布统计表中第二行的空格中填 0.25, 由分组[40,50)内的频率是 0.2, 知频率分布统计表中第四行的空格中填 0.2×120=24, 根据样本容量 120 得出分组[30,40)内的频数是 42, 根据频率和为 1 得出此组的频率为 0.35, 作出频率分布统计表如图. (2)受访市民年龄的中位数为: 30+ (3)由 ,解得 n=40. =30+ ≈33;

点评: 本小题主要考查频率分布直方图、中位数、分层抽样方法等基础知识.在解决频率 分布直方图的问题时,要注意直方图中的纵坐标,直方图中求频率等于纵坐标乘以组距. 17. (8 分)已知 a,b,c 是△ ABC 中角 A,B,C 的对边,S 是△ ABC 的面积.若 a +c =b +ac, (Ⅰ)求角 B; (Ⅱ)若 b=2,S= ,判断三角形形状.
2 2 2

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)△ ABC 中,由条件利用余弦定理可得 cosB= ,由此求得 B 的值. (Ⅱ)根据 S= ac?sinB= 断三角形形状. 解答: 解: (Ⅰ)△ ABC 中,∵a +c =b +ac,∴cosB= (Ⅱ)∵S= ac?sinB=
2 2 2 2 2

,可得 ac=4.再由 b=2,可得 a +c =8,得 a=b=c,由此可得判

2

2

= ,∴B=60°.

,可得 ac=4.

又 b=2,∴a +c =8,得 a=b=c, 故三角形为等边三角形. 点评: 本题主要考查余弦定理的应用,根据三角函数的值求角,属于基础题. 18. (10 分)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a= (Ⅰ)求角 A、C; (Ⅱ)求边 c. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)由条件利用正弦定理求得 sinA= 求得 C 的值. (Ⅱ)由条件分类讨论,分别根据 c= 计算求得结果. ,可得 A 的值,再利用三角形内角和公式 ,b= ,B=45°,

解答: 解: (Ⅰ)∵B=45°<90°且 asinB<b<a,∴△ABC 有两解. 由正弦定理得 sinA= = = ,

则 A 为 60°或 120°. (Ⅱ)①当 A=60°时,C=180°﹣(A+B)=75°, c= = = .

②当 A=120°时,C=180°﹣(A+B)=15°, c=c= ═ = ; .

故在△ ABC 中,A=60°,C=75°,c= 或 A=120°,C=15°,c= .

点评: 本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式,体现了分类讨论的数学思想,属于中 档题.

19. (10 分)设数列{an}满足:a1=3,an+l=3an,n∈N . (Ⅰ)求{an}的第 4 项 a4 及前 5 项和 S5; (Ⅱ)设数列{bn}满足:b1=1,bn﹣1= ﹣3 ?bn}为等差数列. 考点: 数列递推式;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)根据条件得到数列{an}为等比数列,即可得到结论; (Ⅱ)根据等差数列的定义,即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)因为 an+l=3an,又 a1=3,所以 因此{an}是首项为 3,公比为 3 的等比数列, 所以 an=3 ,a4=3 ,=81,Sn=
2 n﹣1 n 4 n

*

,Tn=b1+b2?3+b3?3 +…+bn?3

2

n﹣1

,证明:数列{4Tn

=3,

,S5=



(Ⅱ)证明:Tn=b1+b2?3+b3?3 +…+bn?3 ,① 2 n﹣2 Tn﹣1=b1+b2?3+b3?3 +…+bn﹣1?3 ,② n﹣1 Tn﹣Tn﹣1=bn?3 , n n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 所以 4Tn﹣3 ?bn﹣(4Tn﹣1﹣3 ?bn﹣1)=4?3 ?bn﹣3?3 ?bn+?3 ?bn﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 =?3 ?bn+?3 ?bn﹣1=?3 ?(bn+bn﹣1)=1, n 所以,数列{4Tn﹣3 ?bn}为等差数列. 点评: 本题主要考查等差数列和等比数列的判断,考查学生的计算能力.



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