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三角函数的图象与性质知识点汇总



三角函数的图象与性质
一、知识网络

三、知识要点 (一)三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性 (2) (ⅰ)g(x)= g(x)为偶函数

奇函数:y=sinx,y=tanx;

偶函数:y=cosx.

型三角函数的奇偶性 (x∈R)

>由此得 同理, (ⅱ) 为 偶 函数

; 为奇函数 .


-1-

为 奇函 数

. 3、周期性 (1)基本公式 (ⅰ)基本三角函数的周期 cotx 的周期为 (ⅱ) . 型三角函数的周期 y=sinx,y=cosx 的周期为 ; y=tanx,y=

的周期为



的周期为 (2)认知 (ⅰ) 型函数的周期

.

的周期为



的周期为 (ⅱ) 的周期 的周期为 ;

.

的周期为 均同它们不加绝对值时的周期相同,即对 y= 该函数的周期不变.注意这一点与(ⅰ)的区别. (ⅱ)若函数为

. 的解析式施加绝对值后,

型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”.

(ⅲ)探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验――猜想――证明. (3)特殊情形研究

(ⅰ)y=tanx-cotx 的最小正周期为



(ⅱ)

的最小正周期为



-2-

(ⅲ)y=sin x+cos x 的最小正周期为

4

4

.

由此领悟“最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象. 4、单调性 (1)基本三角函数的单调区间(族) 依从三角函数图象识证“三部曲”: ①选周期:在原点附近选取那个包含全部锐角,单调区间完整,并且最好关于原点对称 的一个周期; ②写特解:在所选周期内写出函数的增区间(或减区间); ③获通解: 在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍, 即得这一函 数的增区间族(或减区间族) 循着上述三部曲,便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示:上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. (2)y= 型三角函数的单调区间

此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、 分解: u= 令 , 将所给函数分解为内、 外两层: (u) u= y=f , ;

②套用公式:根据对复合函数单调性的认知,确定出 f(u)的单调性,而后利用(1) 中公式写出关于 u 的不等式; ③还原、结论:将 u= 代入②中 u 的不等式,解出 x 的取值范围,并用集合或

区间形成结论. (二)三角函数的图象 1、对称轴与对称中心 (1)基本三角函数图象的对称性

(ⅰ) 正弦曲线 y=sinx 的对称轴为 对称中心为( ,0) .

; 正弦曲线 y=sinx 的

(ⅱ) 余弦曲线 y=cosx 的对称轴为

; 余弦曲线 y=cosx 的对称

中心

(ⅲ)正切曲线 y=tanx 的对称中心为 轴. 认知: ①两弦函数的共性: x= 为两弦函数 f(x)对称轴

; 正切曲线 y=tanx 无对称

为最大值或最小值; (
-3-

,0)为两弦函数 f(x)

对称中心

=0.

②正切函数的个性: ( (2) ,0)为正切函数 f(x)的对称中心 =0 或 不存在.

型三角函数的对称性(服从上述认知) 或 g(x)= 为最值(最大值或最小值); ( 的图象 ,0)为两弦函数 g(x)

(ⅰ)对于 g(x)= x= 为 g(x)对称轴 =0.

对称中心

(ⅱ) 对于 g (x) = =0 或 不存在.

的图象 (

, 为两弦函数 g 0) (x) 的对称中心

2、基本变换 (1)对称变换 (2)振幅变换(纵向伸缩)(3)周期变换(横向伸缩)(4)相位变换 (左右平移)(5)上、下平移 3、y= (1)五点作图法 (2)对于 A,T, 位置的距离; 2A:图像上最高点与最低点在 y 轴上投 影 间的距离. , 的认知与寻求: ①A:图像上最高点(或最低点)到平衡 的图象



:图象的相邻对称轴(或对称中心)间的距离;

:图象的对称轴与相邻对称中

心间的距离.

: 由 T=

得出.





解法一:运用“代点法”求解,以图象的最高点(或最低点)坐标代入为上策,若以图 象与 x 轴交点坐标代入函数式求 ,则须注意检验,以防所得 值为增根;

解法二:逆用“五点作图法”的过程(参见经典例题). 四、经典例题 例 1、求下列函数的值域:

(1)

(2)

(3)

-4-

(4)

(5)

(6)

分析:对于形如(1) (2) (3)的函数求值域,基本策略是(ⅰ)化归为 的值域;(ⅱ)转化为 sinx(或 cosx)的二次函数;对于(4)(5)(6)之类含有绝对值 2 的函数求值域,基本策略则是(ⅰ)在适当的条件下考察 y ; (ⅱ)转化为分段函数来处理; (ⅲ)运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化. 解:

(1)







即所求函数的值域为

.

(2)由 ∴



注意到这里 x∈R,



∴ ∴所求函数的值域为[-1,1]. (3)这里 令 sinx + cosx = t 则有

且由

于是有

-5-





因此,所求函数的值域为 (4)注意到这里 y>0,且 函数的值域为 . ∵

. ∴ 即所求

(5)注意到所给函数为偶函数,又当 同理,当 亦有 . ∴所求函数的值域为 .

∴此时

(6) 令

则易见 f (x) 为偶函数, 且



是 f(x)的一个正周期. ①

只需求出 f(x)在一个周期上的取值范围.

当 x∈[0,

]时,

又注意到



∴x=

为 f(x)图象的一条对称轴 ②

∴只需求出 f(x)在[0,

]上的最大值.

而在[0, 递增④

]上,

递增.





∴由③④得 f(x)在[0,

]上单调递增.



即 .



于是由①、②、⑤得所求函数的值域为

点评:解(1)(2)运用的是基本化归方法;解(3)运用的是求解关于 sinx+cosx 与 sinxcosx 的函数值域的特定方法;解(4)借助平方转化;解(5)(6)则是利用函数性

-6-

质化繁为简,化暗为明.这一点在解(6)时表现得淋漓尽致. 例 2、求下列函数的周期: (1) ; (2) ;

(3)



(4)



(5)

分析: 与求值域的情形相似, 求三角函数的周期, 首选是将所给函数化为 +k 的形式,而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数,在不能利用已有认知的情况 下,设法转化为分段函数来处理.

解: (1)





∴所求最小正周期

.

(2)







∴所求周期

.

(3)







.注意到

的最小正周期为

, 故

所求函数的周期为

.

(4)

注意到 3sinx 及-sinx 的周期为 2 .

,又 sinx≥0 .

(或 sinx<0)的解区间重复出现的最小正周期为 2

∴所求函数的周期为 2

-7-

(5) 注意到 sin2x 的最小正周期 小正周期 ,这里 ,又 sinx≥0(或 sinx<0)的解区间重复出现的最 的最小公倍数为 则由 . ∴所求函数的周期 知, . 是 f(x)

点评:对于(5),令 的一个正周期.① 又 正周期. ② 于是由①②知,f(x)的最小正周期为



不是 f (x) 的最小

.

在一般情况下,探求上述一类分段函数的周期,仅考虑各段函 数的最小正周期的最小公倍数是不够的,还要考虑各分支中的条件 区间重复出现的最小正周期.双方结合,方可能获得正确结果.

请大家研究 周期,并总结自己的有关感悟与经验. 例 3、已知函数的部分图象, (1)求 解: (1)令 ,则由题意得 f(0)=1 的值; (2)求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.

的最小正





注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为

,故逆用“五点作图法” 得:

由此解得

∴所求



.

-8-

(2)由(1)得



,解得



∴函数 f(x)图象的对称轴方程为

;令







∴函数 f(x)图象的对称中心坐标为

.

点评:前事不忘,后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内 图象的列表、描点过程,便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式:

例 4、 (1)函数

的单调递增区间为



(2)若函数 为 。

上为单调函数,则 a 的最大值

(3) 函数

的图象的对称中心是



函数 (4)把函数 对称,则 m 的最小正值为

的图象中相邻两条对称轴的距离为



的图象向左平移 m(m>0)个单位,所得的图象关于 y 轴 。

(5)对于函数

,给出四个论断:

①它的图象关于直线 x=

对称;

②它的图象关于点(

,0)对称;

③它的周期为



④它在区间〔-

,0〕上单调递增.

-9-

以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它 是 。 分析: (1)这里 递增且 的递增区间 的正号递减区间

∴应填

(2)由 f(x)递增得

易见,

由 f(x)递减得

当 k=0 时,

注意到

而不会属于其它减区间,

故知

这里 a 的最大值为

.

(3)(ⅰ)令

∴所给函数图象的对称中心为 (

, 0)



(ⅱ) ①

解法一(直接寻求) 在①中令
- 10 -

则有



又在②中令 k=0 得



令 k=1 得

∴所求距离为



解法二(借助转化):注意到所求距离等于函数的最小周期的一半,又由①得这一函数 的最小正周期为

T=

,故所求距离为

.

(4)这里

将这一函数图象向左平移 m(m>0)个单位,所得图象的

函数解析式为



则由题设知 f x) ( 为偶函数

f -x) (x) ( =f

∴所求 m

的最小值为

.

(5)为使解题的眉目清晰,首先需要认定哪个论断必须作为条件,哪个论断只能作为 结论,哪个论断既可作为条件,又可作为结论;一般地,独自决定图象形状的论断必须作为 条件,既不能决定形状,也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里,③必须作为条件, 而④只能作为结论.于是这里只需考察 ①、③ ②、④与②、③ ①、④这两种情形. (ⅰ)考察①、③ ②、④是否成立. 由③得 ,故 ;又由①得

注意到 ②、④成立. (ⅱ)考察②、③

. ∴在①、③之下,

,易知此时

①、④是否成立.

由③得

,故



- 11 -

又由②得

注意到

.

∴在②、③之下,

,易知此时①、④成立. ②、④与②、③ ①、④. ; .

于是综合(ⅰ)(ⅱ)得正确的命题为①、③ 点评:对于(4)利用了如下认知:

对于(5),认定哪个论断必须作为条件,哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解 题过程的关键,请大家注意领悟和把握这一环节.

例 5、 已知 取得最大值 2. (1)求 f(x)的表达式;

的最小正周期为 2, 当

时,(x) f

(2)在闭区间

上是否存在 f(x)图象的对称轴?如果存在,求出其方程;

如果不存在,说明理由. 分析:出于利用已知条件以及便于考察 f(x)的图象的对称轴这两方面的考虑,先将 f (x)化为 +k 的形式,这是此类问题的解题的基础.

解:

(1)去



, ①

,即

则有

由题意得

② 又由①知

, 注意到这里 A>0 且 B>0,

取辅助角



- 12 -

则由②得



(2)在③中令

解得 x=k+

解不等式 k=5.



注意到

,故由④得

于是可知,在闭区间

上有且仅有一条对称轴,这一对称轴的方程为

. +k 的形

点评:对于最值,对称轴和对称中心等问题,f(x)一经化为 式,解题便胜券在握.

例 6、 已知点 的图象上. 若定义在非零实数集上的奇函数 g(x)在(0,+∞)上是增函数,且 g(2)=0.求当 g[f (x)]<0 且 x∈[0, ]时,实数 a 的取值范围. 的图象上 得: ,

分析:由点 A、B 都在函数 ∴b=a,c=1-a.

∴ 此时,由 g[f(x)]<0 且 x∈[0,

∴ ]解出 a 的范围,一方面需要利用 g(x)的单调性

脱去“f”,另一方面又要注意借助换元进行转化:化生为熟,化繁为简.因此,下一步的首 要工作是考察并利用 g(x)的单调性.

解:由分析得 ∵定义在非零实数集上的奇函数 g(x)在(0,+∞)上是增函数,且 g(2)=0, ① ∴g(x)在(-∞,0)上是增函数,且 g(-2)=0② ∴由①②知,当 x<-2 或 0<x<2 时,g(x)<0③ 又设 at+(1-a), . ] g[h(t)]<0,且 . ∴由③得,当 .则 h(t)=

∴g[f(x)]<0 且 x∈[0, 时,h(t)<-2 或 0<h(t)<2④

注意到 h (t) =at+ (1-a) ∴由 h (t) <-2 得 h (1) <-2(a<0)或 h(
- 13 -

)<-2(a>0),

由 0<h(t)<2 得 取值范围为 .

,解得

.于是综上可知,所求 a 的

点评: 在这里, 由③到④的转化, 是由“抽象”向“具体”的转化, 此为解题关键环节. 在下面的求解中,对 0<h(t)<2 亦可通过分类讨论来完成. 对于 h(t)=at+(1-a) (1)h(t)>0, ⑤得,h(1)>0,显然成立; 当 a<0 时,h(t)在 ; 当 a=0 时,h(t)显然满足 1<h(t)<2. -1<a≤0 ⑥ ⑦当 a>0 时,h(t)在 ; 上递减 ∴由⑦得, h(1)<2,显然满足条件; 当 a=0 时, 上递增,∴由⑦得, 因此由 h(t)>0, 得 - 上递减 ∴由⑤得,h( )>0 ( -1)a+1>0 , 0<h(t)<2 h(t)>0 且 h(t)<2 上递增, ∴由

⑤ 当 a>0 时,h(t)在

(2)h(t)<2, h( )<2 当 a<0 时, h(t)在 h(t)=1,显然满足条件. 因此由⑦得 ⑧

于是综合(1)(2)知,由 0<h(t)<2 推出

五、高考真题 (一)选择题 1、(湖北卷)若 ( )

A.

B.

C. 的熟悉,故考虑从认知

D. 的范围入手,

分析:注意到我们对 去了解 的范围.








- 14 -

应选 C. 2、函数

的部分图象如图,则(



A.

B.

C.

D.

分析:由图象得

. ∴

, ∴

又 f(1)=1,∴ (二)、填空题 1、(湖北卷)函数 为

注意到

,∴

应选 C.

的最小正周期与最大值的和

。 分析:对于含有绝对值的三角函数的周期或值域,基本策略是化为分段函数,分段寻求 周期或范围,而后综合结论.

(1)注意到 sin2x 的最小正周期 期 ,而 的最小公倍数为

,而 sinx≥0 的解区间重复出现的最小正周 ,故所求函数的最小正周期为 .

(2)由分段函数知,y 的最大值为 2、(辽宁卷) 个实数 a, 是正实数,设



于是由(1)(2)知应填

. .若对每

的元素不超过两个, 且有 a 使

含 2 个元素, 则

- 15 -

的取值范围是



分析:



注意到有 a 使 注意到

含有两个元素, ∴相邻两 的元素不超过两个, ∴相间的两个

值之差 值之差



② ∴由①、②得 .

点评: 对于(1),在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后,还要考察各分 支中“不等式的解区间”重复出现的周期,二者结合才能得出正确结论. 对于(2),这里的 相邻两个 值之差 决定于 f(x)在一个周期图象的左端点横坐标,由此便于认识

的意义.

(三)解答题

1、若函数

的最大值为 2,试确定常数 a 的值. +k 的形式,而后便

分析:鉴于过去的经验,首先致力于将 f(x)化为 会一路坦途.

解:





由已知得

. 点评:本题看似简单,但考察多种三角公式,亦能体现考生的基本能力.

2、 设函数 (1)求

y=f x) ( 图象的一条对称轴是直线 ;(2)求函数 y=f(x)的单调增区间;(3)证明直线 5x-2y+c=0 与
- 16 -

.

函数 y=f(x)的图象不相切. 分析:对于(3),由于 f(x)为三角函数,故需要利用导数的几何意义来解决直线与 图象的相切或不相切问题.其中,要证直线l与y=f(x)的图象不相切,只需证直线l的 斜率不属于 y=f(x)图象上点的切线斜率的取值集合.

解: 1) ( ∵

为函数

图象的对称轴, ∴







.

(2)由(1)知 时,y=f(x)递增,

, 当

∴所求函数 f(x)的增区间为

.

(3)∵ ∴y=f(x)图象上点的切线的斜率范围为[-2,2].

而直线 5x-2y+c=0



∴直线 5x-2y+c=0 与函数

的图象不相切.

点评: 有导数及其几何意义奠基, 便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不相 切问题.此题(3)的解题思路,值得大家仔细领会与品悟. 3、已知函数 是 R 上的偶函数,其图象关于点 M



)对称,且在区间

上是单调函数,求

的值. 的值;已知函数图象关 的

分析:在此类三角函数问题中,已知函数的周期可直接确定 于某直线 (或某点) 对称, 则只能导出关于

的可能取值, 此时要进一步确定

值,还需要其它条件的辅助;而已知函数在某区间上单调的条件,一般只在利用函数图象对 称性寻出 的可能取值之后,用它来进行认定或筛选.

解:由 f(x)为偶函数得 f(-x)=f(x)(x∈R)

- 17 -





故有

由 f(x)图象关于点 M



)对称得

令 x=0 得



由此解得

当 k=0 时,

,此时

当 k=1 时,

当 k≥2 时,

, 故此时

因此,综合以上讨论得 点评:对于正弦函数 y=



. ∴所求 +k 或余弦函数 y=

,而



. +k,在单

调区间“完整”的一个周期 T,恰是增减区间的长度各为

;而在任何一个周期 T 上,增

区间(或减区间)的长度均不超过

.因此,若区间

的长度大于

,则函数在区



上不会是单调函数.

- 18 -

4、设函数 f(x)=xsinx(x∈R). (1)证明: ,其中 k 为正整数.

(2)设 (3) f 设 (x) (0, 在 +∞) 内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 ,

证明: 分析:注意到正弦函数为 f(x)的成员函数之一,试题中又指出 f(x)的极值点,故 需应用导数研究极值的方法与结论.可见,解(2)(3),均需要从 f'(x)切入. 证明: (1) ∵f(x)=xsinx(x∈R) ∴

(2) ① 显然 cosx=0 不是①的解,故由①得 x=-tanx

令 ② ,

②,即有

于是



= (3)设 是 的一个正整数根,即 ,则由直线 y=x 与曲线

y=-tanx 的位置关系知:对每一个

,存在

,使

,注意到

g(x)=x+tanx 在

上是增函数,且

∴g(x)



又 cosx 在

内符号不变,

∴(x+tanx)cosx=sinx+xcosx=
- 19 -



与在

内异号,

∴所有满足 由题设



都是 f(x)的极值点.

为方程 x=-tanx 的全部正根.且 ,

∴ 再注意到



④ 而 ∴由④得 ∴1+ ⑤

于是由③、⑤得, 点评: 在这里应注意对 (2) (3) 、 中极值点的区别.对于 (2) , 即可;对于(3)中的 左右两边异号. 不仅要满足 只需满足 在点 x=

,还需认定

- 20 -



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