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山东省实验中学2014届高三第三次模拟考试 理科数学 Word版含解析



山东省实验中学 2014 届高三第三次模拟考试(打靶)数学 理试题(word 版)
【试卷综析】本卷为高三模拟训练卷,注重基础知识考查与基本技能训练,重点考查考纲要 求的知识与能力,覆盖全面,难度适中,全面的考查了学生的综合能力,对常用方法,解题 技巧,解题思路全面考查,对数量关系,空间形式,数形结合,类比,推广,特殊化等都有 涉及,注重通性通法,.完全符合高考题型和难

度,试题的题型比例配置与高考要求一致, 侧重于知识交汇点的考查是一份优质的考前训练卷 第 I 卷(选择题 共 5 0 分) 一、选择题:本大题共 1 0 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. 1.设集合 M ={x|x2 -x<0},N={x||x|<2},则 A.M I N= ? B.M U N'=R C. M U N=M D.M I N=M 【知识点】集合的概念;交集、并集的概念. 【 答 案 解 析 】 D 解 析 : 解 : 由 题 可 知 M ? ? x| 0 ? x ? 1 ? , N ?? x | ? 2 ? x ??2, 所 以

M ? N? M
【思路点拨】分别求出两个集合的取值范围,求交集与并集后找到正确选项. 2.复数 z=

2 ? 4i (i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是 1? i
D. (2,4)

A. (3,3) B. (-l,3) C. (3,-1) 【知识点】复数概念;复数分母实数化;复平面内的点. 【答案解析】B 解析:解: z ? 点的坐标是 ? ?1,3?

2 ? 4i ? 2 ? 4i ??1 ? i ? ? ? ?1 ? 3i ,所以 z 在复平面内对应的 1? i ?1 ? i ??1 ? i ?

【思路点拨】对复数进行分母实数化化简可得实部与虚部,即可求出对应点的坐标. 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是 A.y=log2 |x| B.y=cos 2x

2 x ? 2? x C.y= 2

D.y=lo g 2

2? x 2? x

【知识点】函数的奇偶性;函数的单调性. 【答案解析】A 解析:解:由题可知 C、D 为奇函数,排除 C、D, 再根据余弦函数的图像可知 y ? cos 2 x 在 ?1, 2 ? 上不单调, 所 以排除 B,y ? log2 x 在 ? ??,0? 上递减, 在 ? 0, ??? 上递增, 函数为偶函数,且在 ?1, 2 ? 上单调递增,所以 A 正确. 【思路点拨】分别对函数的奇偶性进行验证,对单调区间时行分 析即可得到正确选项. 4.如图,程序框图所进行的求和运算是
山东、北京、天津、云南、贵州、江西 1 六地区试卷投稿 QQ 2355394694

1 1 1 1 ? ? ?L ? 2 4 6 20 1 1 1 B. 1 ? ? ? L ? 3 5 19 1 1 1 C. 1 ? ? ? L ? 2 4 18 1 1 1 1 D. ? 2 ? 3 ? L ? 10 2 2 2 2
A. 【知识点】程序框图. 【答案解析】A 解析:解:由程序框图可知第一次运行 S ? 0 ? 按执行过程可知程序为

1 1 1 ,第二次运行 S ? ? , 2 2 4

1 1 1 ? ? 2 4 6

?

1 . 20

【思路点拨】可按程序框图进行运算,累计各次结果即可求出. 5.已知某几何体的三视图如下,则该几何体体积为

A. 4 ?

?
2

B. 4 ?

3? 2

C. 4 ?

5? 2

D. 4 ? ?

【知识点】三视图;圆柱的体积公式;长方体的体积公式. 【答案解析】C 解析:解:由题意可知几何体的体积为圆柱体积加长方体体积再减去 长方体等高的圆柱的体积, ? ?1 ? 3 ? 2 ? 2 ?1 ?
2

1 5? ? ?12 ?1 ? 4 ? 2 2

1 的与 2

【思路点拨】作出与三视图对应的几何体,按分割法求出各部分的体积. 6.函数 f(x)=sin( ? x ? ? ) (其中. ( ? >0, ? ? =sin ? x 的图象,则只要将 f(x)的图象 A.向右平移 B.向右平移

?
2

)的图象如图所示,为了得到 g(x)

?

?
12

6

个单位 个单位

山东、北京、天津、云南、贵州、江西

2

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C.向左平移 D.向左平移

?
6

个单位 个单位

?

12

【知识点】y=Asin(ω x+φ )的图象变换;识图与运算能力. 【答案解析】A 解析:解:由图知, T ? 又

?
3

? ? ? ? ? , ? ? 2 ?? ?
? ?

?
3

1 4

7 1 ? ? ? ? ? ?T ? ? 12 3 4

T?

2?

?

? ? ?? ? 2

又 A=1,

∴ f ? x ? ? sin ? 2 x ?

??

? ,g(x)=sin2x, 3?

∵ f ?x?

? ?

??

? ? ?? ?? ? ? sin ?2 ? x ? ? ? ? ? sin 2 x ? g ? x ? 6? 6 ? 3? ? ?
? ?

∴为了得到 g(x)=sin2x 的图象,则只要将 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

??

? 的图象向右平移 3?

? 个单位长度. 6
【思路点拨】由 T ?

1 4

7? ? ? ,可求得其周期 T,继而可求得ω ,再利用函数 12 3

y=Asin(ω x+φ )的图象变换及可求得答案. 7.下列四个图中,函数 y=

101n x ? 1 的图象可能是 x ?1

【知识点】函数的图象变换及函数性质;排除法、特殊值法;定义域、值域、单调性、奇偶 性以及特殊点的函数值. 【答案解析】C 解析:解:∵ y ?

10 ln x 10 ln x ? 1 是奇函数,向左平移一个单位得 y ? ∴ x x ?1

y?

10 ln x ? 1 图象关于(-1,0)中心对称,故排除 A、D, x ?1

当 x<-2 时,y<0 恒成立,排除 B. 故选:C

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3

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【思路点拨】 .根据 y ?

10 ln x ? 1 10 ln x 的图象由奇函数 y ? 左移一个单位而得,结合对 x ?1 x

称性特点判断. 8.两名学生参加考试,随机变量 x 代表通过的学生数,其分布列为

那么这两人通过考试的概率最小值为 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

【知识点】概率;相互独立事件;分布列. 【答案解析】 B 解析:解:设第一个学生通过的概率为 P 1 ,第二个学生为 P 2 ,所以

5 1 1 1 1 P ,P ,? P , P2 ? 所以通过概率最小值为 1?P 2 ? 1P 2 ? 1 ? 6 6 2 3 3
【思路点拨】按题意可设出两人分别通过的概率,知只有一人通过的概率,两人都通过的概 率,根据关系式可求出两人分别通过的概率. 9. 设△ABC 中, AD 为内角 A 的平分线, 交 BC 边于点 D, AB ? 3, AC ? 2 , ∠BAC=60o, 则 AD · BC = A. ?

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

8 5

B.

9 5

C. ?

9 5

D.

8 5

【知识点】角平分线定理;向量的计算;余弦定理. 【答案解析】C 解析:解:由图可知向量的关系,根据角平分线定理可得

3 AD ? AB ? BC ,根据余弦定理可知 BC ? 7 ,所以 5
2 3 3 21 ? ? AD ? BC ? ? AB ? BC ? ? BC ? AB ? BC ? BC ? AB ? AC ? AB ? 5 5 5 ? ?

?

?

? AB ? AC ? AB ?
C 2

2

21 21 9 ? 3 ? 2 ? cos 60? ? 9 ? ? ? 5 5 5

D

A

j
3 B

【思路点拨】可根据角平分线定理和余弦定理,可求出 BC , BC 的模等向量,再通过向量

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4

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的计算法则对向量进行转化. 10.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f (x)+ f ? (x)>l,f (0)=4,则不等式 ex f(x)>ex +3(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( A. ? 0, ?? ? C. ? ??, 0 ? U ? 0, ?? ? ) B. ? ??, 0 ? U ? 3, ?? ? D. ? 3, ?? ?

【知识点】导数;函数的单调性与导数;解不等式. 【 答 案 解 析 】 A 解 析 : 解 : 由 题 意 可 知 不 等 式 为 ex f ? x ? ? ex ? 3 ? 0 , 设

g? x ? ? xe ?f

? ?x

x

e ? 3 ?? ? g ?

x ? x ? x ? e? f ?x ?

?e

x f ?x x ? ? ?? e

?

e ?? ? f? x 1 ? ?

? f0 x ?

所以函数 g ? x ? 在定义域上单调递增, 又因为 g ? 0 ? ? 0 , 所以 g ? x ? ? 0 的解集为 x ? 0 【思路点拨】把不等式转化成函数问题,利用函数的导数判断函数的单调性,根据函数性质 可求出解集.

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查,所得样 本的频率分布直方图如图所示,由图可知,这一批电 子元件中使用寿命在 100~300 h 的电子元件的数量与 使用寿命在 300~600 h 的电子元件的数量的比是 。 【知识点】样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图;频率=组距×矩形的高.

1 解析:解:解:由于已知的频率分布直方图中组距为 100, 4 1 3 , 寿命在 100~300 小时的电子元件对应的矩形的高分别为: 2000 2000
【答案解析】 则寿命在 100~300 小时的电子元件的频率为: 100 ? ?

3 ? ? 1 ? ? ? 0.2 ? 2000 2000 ?

1 1 3 , , 400 250 2000 1 1 3 ? ? ) ? 0.8 则寿命在 300~600 小时子元件的频率为: 100 ? ( 400 250 2000
寿命在 300~600 小时的电子元件对应的矩形的高分别为: 则寿命在 100~300 小时的电子元件的数量与寿命在 300~600 小时的电子元件的数量的比大 约是

0.2 1 ? 0.8 4

【思路点拨】由已知中的频率分布直方图,我们易求出寿命在 100~300 小时的电子元件的 数量与寿命在 300~600 小时的电子元件的频率,进而总体分布与样本分布之间的关系,即
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可得到寿命在 100~300 小时的电子元件的数量与寿命在 300~600 小时的电子元件的数量的 比. 12. ( x 2 ? ) n 的展开式中,常数项为 15,则 n 的值为 【知识点】二项展开式的特定项问题;二项展开式的通项公式. 【答案解析】6 解析:解:设第 Tr ?1 项为常数项,则
r 2 n ?3 r r 4 2 Tr ?1 ? ? ?1? Cn x ?2n ? 3r ? 0?Cn ? 15 C6 ? C6 ? 15?n ? 6, r ? 4 r

1 x



【思路点拨】 利用二项式系数和公式列出方程, 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通 项,令 x 的指数为 0 求出 n 的值. 13.椭圆

x2 y 2 ? (a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B 左、右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|, a 2 b2


|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 【知识点】椭圆的基本性质;离心率. 【答案解析】

x2 y 2 5 解析:解:因为椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右顶点分别为 A、B,左 a b 5

右 焦 点 分 别 为

F1 , F2 , 若 |AF1| , |F1F2| , |F1B| 成 等 比 数 列
5 5

AF1 ? a ? c, F1F2 ? 2c, F1B ? a ? c , ? a ? c ?? a ? c ? ? 4c 2 ? a 2 ? 5c 2 ? e ?

【思路点拨】直接利用椭圆的定义,结合|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,即可求出椭圆的 离心率

? y ? 1, ? 14. 已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z=x-y 的最小值为一 1, 则实数 m 等于____. ? x ? y ? m. ?
【知识点】线性规划;约束条件;求目标函数的最值问题. 【 答 案 解 析 】 5 解 析 : 解 : 画 出 x , y 满 足 的 可 行 域 如 下 图 :

(2,3) (1,1) (4,1)

可得直线 y=2x-1 与直线 x+y=m 的交点使目标函数 z=x-y 取得最小值,

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6

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故?

? y ? 2x ?1 ?x ? y ? m

m ?1 2m ? 1 ,y? 3 3 m ? 1 2m ? 1 ? ? ?1 代入 x-y=-1 得 3 3
解得 x ? m=5 【思路点拨】由目标函数 z=x-y 的最小值为-1,我们可以画出满足条件 ?

y ?1 ? y ? 2x ?1 ?

的可行域,根据目标函数的解析式形式,分析取得最优解的点的坐标,然后根据分析列出一 个含参数 m 的方程组,消参后即可得到 m 的取值. 15.己知 a∈R,若关于 x 的方程 x ? x ? a ?
2

1 ? | a |? 0 有实根,则 a 的取值范围是 4



【知识点】绝对值不等式的解法及其几何意义;零点分段法求解. 【答案解析】 ?0, ? 解析:解:方程即 a ? ? a ? ? x ? x ? ?0, ? , 4 4 4
2

? 1? ? ?

1

? 1? ? ?

利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解) 可得实数 a 的取值范围为 ?0, ? 故答案为: ?0, ? . 4 4 【思路点拨】方程进行移项,然后再根据利用绝对值的几何意义进行求解 【典型总结】 此题考查绝对值不等式的解法及其几何意义, 解题的关键是利用零点分段法进 行求解,此类题目是高考常见的题型 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 (2c- a)cosB- bcos A=0. (I)求角 B 的大小 (II)求 3 sin A ? sin(C ?

? 1? ? ?

? 1? ? ?

?
6

) 的取值范围

【知识点】正弦定理;三角函数的化一公式;三角函数的最值. 【答案解析】( Ⅰ) B ?

?
3

(Ⅱ) (1, 2]

解析 :解: ( Ⅰ) (2sin C ? sin A ) cos B ? sin B cos A ? 0 即 sin C (2cos B ? 1) ? 0

sin C ? 0 ? cos B ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B ?

?
3

1 ? ,? B ? 2 3

,? 3 sin A ? sin(C ?

?
6

) ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ?

?
6

)

A ? (0,

2? ? ? 5? ? ) ? A ? ? ( , ) , 2sin( A ? ) ? (1, 2] 3 6 6 6 6
7

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3 sin A ? sin(C ? ) 的取值范围 (1, 2] 6
【思路点拨】 ( Ⅰ) 利用正弦定理把边转化为角度的正弦值,整理即可通过三角函数的值求得 角度; (Ⅱ)把 B ?

?

?
3

带入已知式子去掉C,用化一公式整理为 2 sin( A ?

?
6

) ,由A的范围求得

2 sin( A ?

?
6

) 的取值范围即可.

17. (本小彝阐盼 12 分)力综合治理交通拥堵状况,缓解机动车过快增长势头,一些大城市 出台了“机动车摇号上牌”的新规.某大城市 2014 年初机动车的保有量为 600 万辆,预 计此后每年将报废本年度机动车保有量的 5%,且报废后机动车的牌照不再使用,同时 每年投放 10 万辆’的机动车牌号,只有摇号获得指标的机动车才能上牌,经调研,获得 摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌. (I)问:到 2018 年初,该城市的机动车保有量为多少万辆; (II)根据该城市交通建设规划要求,预计机动车的保有量少于 500 万辆时,该城市交通 拥堵状况才真正得到缓解.问:至少需要多少年可以实现这一目标。 (参考数据:0.954= 0.81,0.955= 0.77,lg 0.75=-0.13,lg 0.95=--0.02) 【知识点】数列的应用;对数的运算. 【答案解析】(Ⅰ) 542万辆(Ⅱ)8年 解析 :解:(Ⅰ)设 2012 年年初机动车保有量为 a1 万辆,以后各年年初机动车保有量依次为

a2 万辆, a3 万辆, ……,每年新增机动车 10 万辆,则 a1 =600, an ?1 ? 0.95an ? 10 .
又 an ?1 ? 200 ? 0.95(an ? 200), 且 a1 -200=600-200=400,

? 数列 ?an ? 200? 是以 400 为首项,0.95 为公比的等比数列.
?an ? 200 ? 400 ? 0.95n ?1, 即 an ? 400 ? 0.95n ?1 ? 200. ? 2016 年初机动车保有量为

a5 ? 400 ? 0.954 ? 200 ? 524 万辆.
(Ⅱ)由题可知,

an ? 400 ? 0.95n ?1 ? 200 ? 500 ,即 0.95n ?1 ? 0.75 ,? n ?

lg 0.75 ? 1 ? 7.5 , lg 0.95

故至少需要 8 年时间才能实现目标. 【思路点拨】(I)可根据题意构造数列,利用数列的通项可求值; (II)根据通项列出不等关 系,利用对数求解. 18. (本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= 5 ,BC=4,A1 在 底面 ABC 的射影是线段 BC 的中点 O.

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(I)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1C1C,并求出 AE 的长; (II)求二面角 A1—B1C—C1 的余弦值. 【知识点】线面垂直;勾股定理;空间坐标系;法向量;向量的运算. 【答案解析】(Ⅰ) AE ?

5 30 (Ⅱ) 5 10

解析 :解: (Ⅰ)证明:连接 AO,再 ?AOA1 中,作 OE ? AA1 于点 E,因为 AA1 / / BB1 ,所以

OE ? BB1 ,
因 为 A1 O ? 平面 所 以 B C? 平面 A B, C 所 以 B C? A 1 A, O

O , E所 以

OE ? 平面BB1C1C
又 AO ?

AB 2 ? BO 2 ? 1, AA1 ? 5, 得 AE ?

AO 2 5 . ? AA1 5

(Ⅱ)如图,分别以 OA,OB, OA1 所在直线为 x,y,z 轴 ,

建立空间直角坐标系,则 A (1, 0, 0) ,

B (0, 2,0),C (0, ?2,0), A1 (0,0, 2)
由 AE ?

1 4 2 A A1 ,得点 E 的坐标是 ( , 0, ) , 5 5 5

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由(Ⅰ)知平面 B1CC 1 的一个法向量为 OE ? ( , 0, ) 设平面 A1B1C 的法向量是 n ? (x , y , z ) , 由?

4 5

2 5

? ? n ? AB ? 0 ? ?n ? A1C ? 0

得?

?x ? 2 y ? 0 可取 n ? (2,1, ?1) , ? y ?z ?0
OE ? n OE ? n ? 30 . 10

所以 cos ? OE , n ??

【思路点拨】由图证明线面垂直,求线段长,建立空间坐标系,求法向量找到二面角的余弦 值. 19. (本小题满盼 12 分)从集合{1,2,4,8,16,32,64}的所有非空真子集中等可能地取出一个. (I)求所取的子集中元素从小到大排列成等比数列的概率; (Ⅱ)记所取出的子集的元素个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 【知识点】古 典 概 型 及 其 概 率 计 算 公 式 ; 离 散 型 随 机 变 量 的 期 望 与 方 差 . 【答案解析】(Ⅰ)

19 441 (Ⅱ) E ? ? 126 126
7

解析 :解: (Ⅰ)非空真子集的个数为 n= 2 ? 2 ? 126 ,符合条件的子集有:三元素 9 个,四 元素 5 个,五元素 3 个,六元素 2 个,故 m=9+5+3+2=19, ? P ? (Ⅱ) ? 的可能取值为 1,2,3,4,5,6, P (? ? 1) ?

m 19 ? n 126

1 C7 C2 7 21 ? , P (? ? 2) ? 7 ? , 126 126 126 126

P (? ? 3) ?

C 73 35 ? 126 126

,

P (? ? 4) ?

C 74 35 ? 126 126

,

P (? ? 5) ?

C 75 21 ? 126 126

,

C 76 7 P (? ? 6) ? ? ,分布列为: 126 126

?
P

1

2

3

4

5

6

7 126

21 126

35 126

35 126

21 126

7 126

E ? ? 1?

7 21 35 35 21 7 441 ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ? 6? ? 126 126 126 126 126 126 126
7

【思路点拨】(Ⅰ) 集合{1,2,4,8,16,32,64}非空真子集的个数为 2 ? 2 ? 126 ,而 满 足 条 件 集 合 有 19 个 , 根 据 古 典 概 型 公 式 得 到 结 果 . (Ⅱ) 所 取 出 的 非 空 子 集 的 元 素 个 数 为 ξ , 由 题 意 知 ξ 的 可 能 取 值 是 1,2,3,4,5,6, 类 似 于 第 一 问 得 到 各 值 对 应 的 概 率 , 写 出 分 布 列 ,算 出 期 望 .

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20. (本小题满分 13 分)己知函数 f ( x) ? 1n(ax ? 1) ? x ? x ? ax .
3 2

(I)若 x ?

2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; 3

(II)若 y= f ( x) 在[l,+ ? )上为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a= -1 时,方程 f (1 ? x) ? (1 ? x)3 ?

b 有实根,求实数 b 的取值范围. x

【知识点】函 数 与 方 程 的 综 合 运 用 ; 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ; 函 数 在 某 点 取 得 极值的条件. 【答案解析】(Ⅰ) a=0 (Ⅱ) 0 ? a ?

1? 5 (Ⅲ) (??, 0] 2

解析 :解: (Ⅰ) f ?(x ) ?

a x [3ax 2 ? (3 ? 2a )x ? (a 2 ? 2)] ? 3x 2 ? 2x ? a ? ax ? 1 ax ? 1

2 2 为 f(x)的极值点, ? f ?( ) ? 0 3 3 2 2 2 2 ? 3( a ) + (3-2a ) ? (a 2 ? 2) ? 0 且 a ? 1 ? 0 ? a ? 0 又当 a=0 时, f ?(x ) ? x (3x ? 2) , 3 3 3 2 从而 x ? 为 f(x)的极值点成立. 3 x ?
(Ⅱ)因为 f(x)在 [1, ??) 上为增函数,所以

x [3ax 2 ? (3 ? 2a )x ? (a 2 ? 2)] ? 0 在 [1, ??) 上 ax ? 1

恒成立.若 a=0,则 f ?(x ) ? x (3x ? 2) ,? f(x ) 在 [1, ??) 上为增函数不成立; 若 a ? 0 ,由 ax ? 1 ? 0 对 x ? 1 恒成立知 a ? 0 . 所以 3ax 2 ? (3 ? 2a)x ? (a 2 ? 2) ? 0 对 x ? [1, ??) 上恒成立.
2 2 令 g (x ) ? 3ax ? (3 ? 2a)x ? (a ? 2) ,其对称轴为 x ?

1 1 ? , 3 2a

因为 a ? 0 ,所以

1 1 1 ? ? ,从而 g(x)在 [1, ??) 上为增函数,所以只要 g(1) ? 0 即可,即 3 2a 3

?a 2 ? a ? 1 ? 0 ,所以

1? 5 1? 5 1? 5 ?a ? ,又因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? . 2 2 2
b b 2 可得 ln x ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? x x

3 (Ⅲ)若 a ? ?1 时,方程 f (1 ? x ) ? (1 ? x ) ?

2 2 3 即 b ? x ln x ? x (1 ? x ) ? x (1 ? x ) ? x ln x ? x ? x 在 x ? 0 上有解

即求函数 g (x ) ? x ln x ? x ? x 的值域.
2 3

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b ? x (ln x ? x ? x 2 ) 令 h (x ) ? ln x ? x ? x 2 ,由 h ?(x ) ?

1 (2x ? 1)(1 ? x ) ? 1 ? 2x ? x x

? x)>0 , 从 而 h(x) 在 (0,1) 上 为 增 函 数 ; 当 x ? 1 时 , x ? 0? 当 0 ? x ? 1 时 , h (
h ?(x ) ? 0 ,
从而 h(x)在 (1, ??) 上为减函数.

? h (x ) ? h (1) ? 0 ,而 h(x)可以无穷小, ? b 的取值范围为 (??, 0]
【思路点拨】( I ) 根 据 极 值 点 的 信 息 , 要 用 导 数 法 , 所 以 先 求 导

f ?(x ) ?

a 2 2 ? 3x 2 ? 2x ? a ,则 x ? 为f(x)的 极 值 点 , 则 有 f ?( ) ? 0从 而 求 得 结 ax ? 1 3 3
3

果 .(II )由 f( x )在 [1,+ ∞ )上 为 增 函 数 , 则 有 f ′( x )≥ 0,x ∈ [1,+ ∞ )上 恒 成 立 求 解 . ( III ) 将 a=-1 代 入 , 方 程 f (1? x ) ? (1? x ) ? ,可 转 化 为 b=xlnx+x -x ,x
2 3

b x

> 0 上 有 解 , 只 要 求 得 函 数 g ( x ) =xlnx+x -x 的 值 域 即 可 . 21. (本小题满分 14 分)已知点 H(一 3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满足 HP.PM ? 0, PM ? ?

2

3

3 MQ 2

(I)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C; (II)过定点 D(m,0) (m>0)作直线 l 交轨迹 C 于 A、B 两点,E 是 D 点关于坐标原 点.O 的对称点,求证:∠AED=∠BED: (Ⅲ)在( II)中,是否存在垂直于 x 轴的真线 l ' 被以 AD 为直径的圆截得的弦长恒 为定值?若存在求出 l ' 的方程;若不存在,请说明理由。 【知识点】直 线 与 圆 锥 曲 线 的 关 系 ; 轨 迹 方 程 【答案解析】 ( I ) y ? 4x ? x ? 0? (II ) 略 ( III ) 当 m>1 时,满足条件的直线 l ? 存在,
2

其方程为 x=m-1;当 0<m ? 1 时,满足条件的直线 l ? 不存在. 解析:解: ( I ) 设 M ? x, y ? , P ? 0, y? ? , Q ? x?, 0 ?

3 PM ? ? MQ, HP ? PM ? 0 2

3 ? x? ? x, ? y ? , ? 3, y? ? ? ? x, y ? y? ? ? 0 2 1 1 ? x? ? x, y? ? ? y,3x ? yy? ? y?2 ? 0 ? y 2 ? 4 x ? x ? 0 ? 所以动点 M 的轨迹 C 是以 ? 0, 0 ? 3 2 ? ? x, y ? y ? ? ? ?
为顶点,以 ?1,0 ? 为焦点的抛物线(除去原点). (II ) ①当直线 L 与 x 轴垂直时,根据抛物线的对称性,有

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?AED ? ?BED
②当 L 与 x 轴不垂直进,依题意可设直线 L 的方程为

y ? k ? x ? m?? k ? 0, m ? 0? , A? x1, y1 ? B ? x2 , y2 ? , 则 A、B 两点的坐标满足方程组
? 4 ? y ? k ? x ? m? 2 消去 x 并整理得 ky ? 4 y ? 4km ? 0 ? y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ?4m 设直线 AE ? 2 k ? ? y ? 4x ? x ? 0?

1 1 2 y1 y2 ? y2 y12 ? m ? y1 ? y2 ? y1 y2 4 ? ?4 和 BE 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 ? k2 ? x1 ? m x2 ? m x ? 1 ? m ?? x2 ? m ?

1 4 ? 4m 1 ? ?4m ? ? y1 y2 ? y1 ? y2 ? ? m ? y1 ? y2 ? ? ?? 4 ?k? k ?0 ?4 ? ? x1 ? m ?? x2 ? m ? ? x1 ? m ?? x2 ? m ?

?tan ?AED ? tan ?180? ??BED? ? 0?tan ?AED ? tan ?BED
??AED ? ?BED 综合①②可知 ?AED ? ?BED 2 ( III )假设存在满足条件的直线 l ? ,其方程为 x ? a ,AD 的中点为 O? , l ? 与 AD 为直径的 2
圆相交于点 F、G,FG 的中点为 H,则 O?H ? FG , O? 点的坐标为 ?

0 ? ?AED ?

?

, 0 ? ?BED ?

?

? x1 ? m y1 ? , ?, 2? ? 2

O?F ?

1 1 AD ? 2 2

? x1 ? m ?

2

? y12 ?

1 2

? x1 ? m ?

2

? 4 x1
2

O?H ? a ?

x1 ? m 1 2 2 ? 2a ? x1 ? m ? FH ? O?F ? O?H 2 2

1? 1 2 2 ? ? 2a ? x1 ? m ? ? ? a ? m ? 1? x1 ? a ? m ? a ? ? x1 ? m ? ? 4 x1 ? ? ? 4 4

? FG ? ? 2 FH
2
2

?

2

? 4? ?? a ? m ? 1? x1 ? a ? m ? a ? ? ? 令 a ? m ? 1 ? 0, 得 a ? m ? 1 此时

FG ? 4 ? m ? 1? ,当 m-1>0 即 m>1 时 FG ? 2 m ? 1 (定值) ,所以当 m>1 时,满足条件
的直线 l ? 存在,其方程为 x=m-1;当 0<m ? 1 时,满足条件的直线 l ? 不存在. 【思路点拨】 (I) 设 M ( x,y ) ,P ( 0,y' ) ,Q ( x',0 ) 则 可 得 HP ? (3, ?

y 3y ), PM ? (x , ), 2 2

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由 HP ? PM ? 0 代 入 整 理 可 求 点 M 的 轨 迹 C; ( II ) 要 证 明 ∠ AED= ∠ BED, 根 据 直 线 的 倾 斜 角 与 斜 率 的 关 系 , 只 要 证 K A E =-K B E 即 可 ; 分两种情况讨论: ( 1 ) 当 直 线 l 垂 直 于 x 轴 时 , 根 据 抛 物 线 的 对 称 性 , 有 ∠ AED= ∠ BED; ( 2 ) 当 直 线 l 与 x 轴 不 垂 直 时 , 利 用 直 线 的 斜 率 进 行 转 换 即 得 ; ( III ) 假 设 存 在 满 足 条 件 的 直 线 , 根 据 垂 径 定 理 得 性 质 可 知 , 要 使 弦 长 为 定 值 , 则只要圆心到直线的距离为定值即可.

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