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天津市滨海新区汉沽五中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析



天津市滨海新区汉沽五中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试 卷(理科)
一、选择题(每小题 4 分,共 12 小题 48 分) 1. (4 分)如果命题“p∨q”为假命题,则() A.p,q 均为假命题 B. p,q 中至少有一个真命题 C. p,q 均为真命题 D.p,q 中只有一个真命题 2. (4 分)经过点 A(1,2)且与直线 2x﹣3y+5=0 垂

直的直线方程为() A.2x﹣3y+4=0 B.3x+2y﹣7=0 C.2x﹣3y﹣7=0 D.3x+2y+4=0 3. (4 分)a=3 是直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a﹣1)y=a﹣7 平行且不重合的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.既非充分也非必要条件 4. (4 分)经过两点 A(4,2y+1) ,B(2,﹣3)的直线的倾斜角为 A.﹣1
2 2

,则 y=() D.2

B . ﹣3
2 2

C. 0

5. (4 分)圆 x +y =1 和圆 x +y ﹣6y+5=0 的位置关系是() A.外切 B.内切 C.外离 6. (4 分)直线 x+y+1=0 被圆 x +y =1 所截得的弦长为() A. B. 1 C.
2 2

D.内含

D.

7. (4 分)把球的大圆面积扩大为原来的 2 倍,那么体积扩大为原来的() A.2 倍 B. 2 倍 C. 倍 D.3 8. (4 分)边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成 90°的二面角,则 AC 的长为() A. B. C. D.a

9. (4 分)若 a、b 是异面直线,α、β 是两个不同平面,a?α,b?β,α∩β=l,则() A.l 与 a、b 分别相交 B. l 与 a、b 都不相交 C. l 至多与 a、b 中一条相交 D.l 至少与 a、b 中的一条相交 10. (4 分)已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦等于() A. B. C. D.

11. (4 分)已知 m,n 是不重合的两条直线,α,β 是不重合的两个平面.下列命题: ①若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β; ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β; ③若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α; ④若 m∥α,m?β,则 α∥β. 其中所有真命题的序号是() A.② B. ④ C.②④ D.①② 12. (4 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的 点,A1M=AN= ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是()

A.相交

B.平行

C.垂直

D.不能确定

二.填空题(每小题 4 分,共 6 小题 24 分) 13. (4 分)直线 x﹣y+1=0 的倾斜角是. 14. (4 分)直线过点(﹣3,﹣2)且在两坐标轴上的截距相等,则这条直线方程为. 15. (4 分)如图是一个几何体的本视图,则该几何体的表面积是.

16. (4 分)命题?x∈R,x +1≥1 的否定是. 17. (4 分)正方体的全面积是 24cm ,它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是 cm . 18. (4 分)若实数 x,y 满足 x +y =1,则
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2

的最小值是.

三、解答题(每小题 12 分,共 4 小题 48 分) 19. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,∠ACB=90°.以 AB,BC 为邻边作平行四边形 ABCD,连接 DA1 和 DC1. (Ⅰ)求证:A1D∥平面 BCC1B1; (Ⅱ)求证:AC⊥平面 ADA1.

20. (12 分)已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(﹣1,0)和 B(3,4) ,线段 AB 的垂直平分 线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD|=4 . (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程. 21. (12 分)如图,已知一四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,且侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2,E 是侧棱 PC 上的动点 (1)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (2)证明:BD⊥AE. (3)求二面角 P﹣BD﹣C 的正切值.

22. (12 分)如图,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,∠PAD=90°,且 PA=AD,E、 F 分别是线段 PA、CD 的中点. (Ⅰ)求证:PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求 EF 和平面 ABCD 所成的角 α 的正切; (Ⅲ)求异面直线 EF 与 BD 所成的角 β 的余弦.

天津市滨海新区汉沽五中 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 4 分,共 12 小题 48 分) 1. (4 分)如果命题“p∨q”为假命题,则() A.p,q 均为假命题 B. p,q 中至少有一个真命题 C. p,q 均为真命题 D.p,q 中只有一个真命题 考点: 专题: 分析: 解答: 故选 A 点评: 复合命题的真假. 规律型. 根据真值表,当 p,q 中都为假命题时,“p∨q”为假命题,就可得到正确选项. 解:∵当 p,q 中都为假命题时,“p∨q”为假命题 本题主要考查用连接词“或”连接得到的命题的真假的判断,要熟记真值表.

2. (4 分)经过点 A(1,2)且与直线 2x﹣3y+5=0 垂直的直线方程为() A.2x﹣3y+4=0 B.3x+2y﹣7=0 C.2x﹣3y﹣7=0 D.3x+2y+4=0 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 设经过点 A (1, 2) 且与直线 2x﹣3y+5=0 垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c=0, 把A (1, 2)代入,能求出结果. 解答: 解:设经过点 A(1,2)且与直线 2x﹣3y+5=0 垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c=0, 把 A(1,2)代入,得: ﹣3﹣4+c=0,解得 c=7. ∴经过点 A(1,2)且与直线 2x﹣3y+5=0 垂直的直线方程为 3x+2y﹣7=0. 故选:B.

点评: 本题考查直线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线与直线垂直的 性质的合理运用. 3. (4 分)a=3 是直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a﹣1)y=a﹣7 平行且不重合的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.既非充分也非必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题;规律型. 分析: 两个方面分析本题,分别当 a=3 时,判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重 合时,求 a 的范围. 解答: 解:当 a=3 时,两直线分别为:3x+2y+9=0,3x+2y+4=0, ∴两直线斜率相等,则平行且不重合. 若两直线平行且不重合,则 ∴a=3 综上所述,a=3 是两直线平行且不重合的充要条件. 故选 C. 点评: 本题以直线为载体,考查四种条件.判定两条直线位置关系的时候,注意到直线一 般式系数满足的关系式.

4. (4 分)经过两点 A(4,2y+1) ,B(2,﹣3)的直线的倾斜角为 A.﹣1 B . ﹣3 C. 0

,则 y=() D.2

考点: 直线的倾斜角. 分析: 首先根据斜率公式直线 AB 的斜率 k,再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率,进 而求出 a 的值. 解答: 解:因为直线经过两点 A(4,2y+1) ,B(2,﹣3) 所以直线 AB 的斜率 k= 又因为直线的倾斜角为 , =y+2

所以 k=﹣1, 所以 y=﹣3. 故选:B. 点评: 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及由两点求直线的斜率,此题属于基础题 型. 5. (4 分)圆 x +y =1 和圆 x +y ﹣6y+5=0 的位置关系是() A.外切 B.内切 C.外离 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题.
2 2 2 2

D.内含

分析: 根据题意先求出两圆的圆心和半径,根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和,得出 两圆相外切. 解答: 解:圆 x +y ﹣6y+5=0 的标准方程为:x +(y﹣3) =4, 所以其表示以(0,3)为圆心,以 2 为半径的圆, 所以两圆的圆心距为 3,正好等于两圆的半径之和, 所以两圆相外切, 故选 A. 点评: 本题考查两圆的位置关系,由两圆的圆心距等于两圆的半径之和,得出两圆相外切. 6. (4 分)直线 x+y+1=0 被圆 x +y =1 所截得的弦长为() A. B. 1 C. D.
2 2 2 2 2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的方程可得圆心坐标和半径,再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d,即可求出弦长为 2
2 2

,运算求得结果. ,

解答: 解:圆 x +y =1 的圆心 O(0,0) ,半径等于 1,圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d= 故直线 x+y+1=0 被圆 x +y =1 所截得的弦长为 2
2 2

=



故选 D. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于 中档题. 7. (4 分)把球的大圆面积扩大为原来的 2 倍,那么体积扩大为原来的() A.2 倍 B. 2 倍 C. 倍 D.3 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 直接应用公式化简可得球的半径扩大的倍数,然后求出体积扩大的倍数. 解答: 解:解:设原球的半径 R, ∵球的大圆的面积扩大为原来的 2 倍, 则半径扩大为原来的 倍, ∴体积扩大为原来的 2 倍. 故选 B. 点评: 本题考查球的表面积、体积和球的半径的关系,是基础题. 8. (4 分)边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成 90°的二面角,则 AC 的长为() A. B. C. D.a

考点: 与二面角有关的立体几何综合题.

专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知得∠AOC=90°,AO=CO= 解答: 解:由已知得 AB=AD=CB=CD=a, ∠BAD=∠BCD=∠AOC=90°, ∴AO=CO= ∴AC= 故选:D. = , =a. = ,由此能求出 AC= =a.

点评: 本题考查线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 9. (4 分)若 a、b 是异面直线,α、β 是两个不同平面,a?α,b?β,α∩β=l,则() A.l 与 a、b 分别相交 B. l 与 a、b 都不相交 C. l 至多与 a、b 中一条相交 D.l 至少与 a、b 中的一条相交 考点: 平面的基本性质及推论. 分析: 对于 A,a∥l,b∩l=A;对于 B,l 与 a、b 都平行,所以 a,b 平行,与异面矛盾;对 于 C,l 可以与 a、b 都相交,交点为不同点即可;对于 D,由 A,B,C 的分析,可知正确. 解答: 解:对于 A,a∥l,b∩l=A,满足题意,故 A 不正确; 对于 B,l 与 a、b 都不相交,则 l 与 a、b 都平行,所以 a,b 平行,与异面矛盾,故 B 不正确; 对于 C,l 可以与 a、b 都相交,交点为不同点即可,故 C 不正确; 对于 D,由 A,B,C 的分析,可知正确 故选 D. 点评: 本题的考点是平面的基本性质及推论,考查基本性质的运用,解题时需要一一判断. 10. (4 分)已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦等于() A. B. C. D.

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 计算题;压轴题.

分析: 根据正三棱柱及线面角的定义知,取 A1C1 的中点 D1,∠B1AD1 是所求的角,再由 已知求出正弦值. 解答: 解:取 A1C1 的中点 D1,连接 B1D1,AD1, 在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,B1D1⊥面 ACC1A1, 则∠B1AD1 是 AB1 与侧面 ACC1A1 所成的角, ∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等, ∴ ,

故选 A. 点评: 本题主要考查了线面角问题,求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线,再求 线面角的正弦值,是基础题. 11. (4 分)已知 m,n 是不重合的两条直线,α,β 是不重合的两个平面.下列命题: ①若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β; ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β; ③若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α; ④若 m∥α,m?β,则 α∥β. 其中所有真命题的序号是() A.② B. ④ C.②④ D.①② 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;推理和证明. 分析: 由题设条件,对于四个命题分别用空间中线面,面面位置关系判断即可得出正确命 题的序号. 解答: 解:①若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β 是假命题,因为 m?β 时题设条件也是成立的; ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β 是真命题,垂直于同一直线的两个平面是平行的; ③若 m∥α, m⊥n, 则 n⊥α 是假命题, 这是因为当 m∥α 时, 面 α 内也存在与 m 垂直的直线, 故 n?α 也是可能的,所以是假命题; ④若 m∥α,m?β,则 α∥β 是假命题,因为一个平面中的一条线平行于另一个平面,那么这 两个平面可能平行也可能相交,故假命题. 综上,仅有②是真命题. 故选 A. 点评: 本题以空间中线面、面面的位置关系为背景考查命题真假的判断,这是命题这一章 知识命题时常的类型,解答的关键是背景知识掌握的比较熟练主能正确,准确答题. 12. (4 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的 点,A1M=AN= ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是()

A.相交

B.平行

C.垂直

D.不能确定

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 综合题. 分析: 由于 CD⊥平面 B1BCC1,所以 垂直即可,而 因此可以证明. 解答: 解:∵正方体棱长为 a,A1M=AN= ∴ ∴ = ( = 又∵ 且 ∴ ? ⊥ + = = + + , + = = )+ . , + + ( + + ) , 与 和 是平面 B1BCC1 的法向量,因此只需证明向量 和 又可以作为一组基底表示向量 与 ,

均垂直,而

是平面 B1BCC1 的法向量, =( , + )? =0,

∴MN∥平面 B1BCC1. 故选 B 点评: 本题考查线面平行的判定,在适当条件下,可以用向量法证明,只需证明该直线的 一个方向向量与该平面的一个法向量垂直即可. 要注意的是这两个向量必须用同一组基底来表 示. 二.填空题(每小题 4 分,共 6 小题 24 分) 13. (4 分)直线 x﹣y+1=0 的倾斜角是 45°. 考点: 直线的倾斜角. 分析: 把已知直线的方程变形后,找出直线的斜率,根据直线斜率与倾斜角的关系,即直 线的斜率等于倾斜角的正切值,得到倾斜角的正切值,由倾斜角的范围,利用特殊角的三角函 数值即可求出倾斜角的度数.

解答: 解:由直线 x﹣y+1=0 变形得:y=x+1 所以该直线的斜率 k=1, 设直线的倾斜角为 α,即 tanα=1, ∵α∈(0,180°) , ∴α=45°. 故答案为:45°. 点评: 此题考查了直线的倾斜角,以及特殊角的三角函数值.熟练掌握直线倾斜角与斜率 的关系是解本题的关键,同时注意直线倾斜角的范围. 14. (4 分)直线过点(﹣3,﹣2)且在两坐标轴上的截距相等,则这条直线方程为 2x﹣3y=0 或 x+y+5=0. 考点: 直线的一般式方程;直线的截距式方程. 分析: 当直线过原点时,求出斜率,斜截式写出直线方程,并化为一般式.当直线不过原 点时,设直线的方程为 x+y+m=0,把(﹣3,﹣2)代入直线的方程,求出 m 值,可得直线方 程. 解答: 解:当直线过原点时,斜率 k= = ,故直线的方程为 y= x 即 2x﹣3y=0.

当直线不过原点时,设直线的方程为 x+y+m=0,把(﹣3,﹣2)代入直线的方程得 m=5, 故求得的直线方程为 x+y+5=0, 综上,满足条件的直线方程为 2x﹣3y=0 或 x+y+5=0. 故答案为:2x﹣3y=0 或 x+y+5=0. 点评: 本题考查求直线方程的方法,待定系数法求直线的方程是一种常用的方法,体现了 分类讨论的数学思想. 15. (4 分)如图是一个几何体的本视图,则该几何体的表面积是 28+12 .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知该几何体是一平放的直三棱柱,利用数据判断出底面为正三角形,再 利用表面积公式计算. 解答: 解:由三视图可知该几何体为上部是一平放的直三棱柱. 底面三角形为等腰三角形,底边长为 2 ,腰长为 2;棱柱长为 6. S 底面= S 侧面=cl=6×(4+2 =4 )=24+12

所以表面积是 28+12 . 故答案为:28+12 . 点评: 本题考查三视图求几何体的体积,考查计算能力,空间想象能力,三视图复原几何 体是解题的关键 16. (4 分)命题?x∈R,x +1≥1 的否定是?x0∈R,
2



考点: 专题: 分析: 解答:

全称命题;四种命题. 规律型. 全称命题的否定是特称命题,直接写出结果即可. 解:∵全称命题的否定是特称命题,
2

∴命题?x∈R,x +1≥1 的否定是:?x0∈R, 故答案为:?x0∈R, .



点评: 本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的关系,基本知识的考查,注意命题的 否定与否命题的区别. 17. (4 分) 正方体的全面积是 24cm , 它的顶点都在一个球面上, 则这个球的表面积是 12πcm . 考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 设球的半径为 R,则正方体的对角线长为 2R,正方体的棱长为 a,利用正方体的表 面积求出与球的半径的等式,然后求出球的表面积. 解答: 解:设球的半径为 R,则正方体的对角线长为 2R, 2 2 依题意知 4R =3a =12 2 即 R =3, 2 2 ∴S 球=4πR =4π?3=12π (cm ) . 故答案为:12π. 点评: 本题考查球的表面积,球的内接体问题,考查计算能力,是基础题.
2 2 2 2

18. (4 分)若实数 x,y 满足 x +y =1,则

的最小值是 .

考点: 简单线性规划;直线的斜率. 专题: 常规题型. 分析: 先根据约束条件画出圆:x +y =1,设 z=
2 2

,再利用 z 的几何意义求最值,只需

求出过定点 P(1,2)直线是圆的切线时,直线 PQ 的斜率最大,从而得到 z 值即可. 解答: 解:先根据约束条件画出可行域, 设 z= ,

将最小值转化为过定点 P(1,2)的直线 PQ 的斜率最小,

当直线 PQ 是圆的切线时,z 最小, 设直线 PQ 的方程为:y﹣2=k(x﹣1)即 kx﹣y+2﹣k=0. 则: ,∴k= .

∴最小值为: 故答案为: .

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属基础题.巧妙识别目标函数的几何意义是研究规划问题的基础. 三、解答题(每小题 12 分,共 4 小题 48 分) 19. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,∠ACB=90°.以 AB,BC 为邻边作平行四边形 ABCD,连接 DA1 和 DC1. (Ⅰ)求证:A1D∥平面 BCC1B1; (Ⅱ)求证:AC⊥平面 ADA1.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)线面平行的判定定理即可证明; (Ⅱ)线面垂直的判定定理即可证明.

解答: (本小题共 13 分) 证明: (Ⅰ)连结 B1C,∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中 A1B1∥AB 且 A1B1=AB, 由 ABCD 为平行四边形得 CD∥AB 且 CD=AB ∴A1B1∥CD 且 A1B1=CD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ∴四边形 A1B1CD 为平行四边形,A1D∥B1C﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ∵B1C?平面 BCC1B1,A1D?平面 BCC1B1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ∴A1D∥平面 BCC1B1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) (Ⅱ)∵平行四边形 ABCD 中,AC⊥BC, ∴AC⊥AD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ∵AA1⊥平面 ABC,AC?平面 ABC ∴AA1⊥AC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) 又∵AD∩AA1=A,AA1?平面 ADA1,AD?平面 ADA1, ∴AC⊥平面 ADA1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

点评: 本题考查线面平行与线面垂直的判定. 20. (12 分)已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(﹣1,0)和 B(3,4) ,线段 AB 的垂直平分 线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD|=4 . (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题. 分析: (1)直接用点斜式求出直线 CD 的方程; (2)根据条件得知|PA|为圆的半径,点 P 在直线 CD 上,列方程求得圆心 P 坐标,从而求出 圆 P 的方程. 解答: 解: (1)直线 AB 的斜率 k=1,AB 中点坐标为(1,2) ,…(3 分) ∴直线 CD 方程为 y﹣2=﹣(x﹣1)即 x+y﹣3=0 …(6 分) (2)设圆心 P(a,b) ,则由点 P 在直线 CD 上得: a+b﹣3=0 ①…(8 分) 又直径|CD|= ,∴ 2 2 ∴(a+1) +b =40 ②…(10 分)

由①②解得



∴圆心 P(﹣3,6)或 P(5,﹣2)…(12 分) 2 2 2 2 ∴圆 P 的方程为(x+3) +(y﹣6) =40 或(x﹣5) +(y+2) =40…(14 分) 点评: 此题考查直线方程的点斜式,和圆的标准方程. 21. (12 分)如图,已知一四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,且侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2,E 是侧棱 PC 上的动点 (1)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (2)证明:BD⊥AE. (3)求二面角 P﹣BD﹣C 的正切值.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间角. 分析: (1)四棱锥 P﹣ABCD 的体积 V= ,由此能求出结果.

(2)连结 AC,由已知条件条件出 BD⊥AC,BD⊥PC,从而得到 BD⊥平面 PAC,不论点 E 在何位置,都有 AE?平面 PAC,由此能证明 BD⊥AE. (3)以 C 为原点,CD 为 x 轴,CB 为 y 轴,CP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法 能求出二面角 P﹣BD﹣C 的正切值. 解答: (1)解:∵四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 且侧棱 PC⊥底面 ABCD,PC=2, ∴四棱锥 P﹣ABCD 的体积: V= = = . (2)证明:连结 AC,∵ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC, ∵PC⊥底面 ABCD,且 BD?平面 ABCD, ∴BD⊥PC, ∵不论点 E 在何位置,都有 AE?平面 PAC, ∴BD⊥AE. (3)解:以 C 为原点,CD 为 x 轴,CB 为 y 轴,CP 为 z 轴,

建立空间直角坐标系, 由题意知 P(0,0,2) ,B(0,1,0) ,D(1,0,0) , ∴ 设平面 PBD 的法向量 , , ,



,取 x=2,得



由题意知



设二面角 P﹣BD﹣C 的平面角为 θ, 则 cosθ=cos< >= = ,

∴tanθ=2 . ∴二面角 P﹣BD﹣C 的正切值为 2



点评: 本题考查四棱锥的体积的求法,考查异面直线垂直的证明,考查二面角的正切值的 求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 22. (12 分)如图,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,∠PAD=90°,且 PA=AD,E、 F 分别是线段 PA、CD 的中点. (Ⅰ)求证:PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求 EF 和平面 ABCD 所成的角 α 的正切; (Ⅲ)求异面直线 EF 与 BD 所成的角 β 的余弦.

考点: 用空间向量求直线间的夹角、距离;异面直线及其所成的角;直线与平面平行的判 定;直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: (Ⅰ)根据两个平面垂直的性质定理可得 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连接 AF,则∠AFE 即为 α.直角三角形 EAF 中,根据 tanα= (Ⅲ)建立空间坐标系,求得得 A、B、D、F、E 的坐标,可得, cosβ= 运算求得结果. 和 的坐标,求得

的值,可得异面直线 EF 与 BD 所成的角的余弦值.

解答: 解: (Ⅰ)证明:由于平面 PAD⊥平面 ABCD,且 AD 是平面 ABCD 和平面 PAD 的 交线, PA 在平面 PAD 内,∠PAD=90°, 根据两个平面垂直的性质定理可得 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连接 AF,则∠AFE 即为 α.

直角三角形 EAF 中,tanα=

=

=



(Ⅲ) 设正方形的边长为 2, 以 A 为原点, 以 AB 所在直线为 x 轴, 以 AD 所在的直线为 y 轴, 以 AP 所在的直线为 z 轴,建立空间坐标系, 可得 A(0,0,0) 、B(2,0,0) 、D(0,2,0) 、F(1,2,0) 、E(0,0,1) , ∴ =(1,2,﹣1) 、 =(﹣2,2,0) ,∴cosβ= = = ,

故异面直线 EF 与 BD 所成的角的余弦为



点评: 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用,求直线和平面成的角、异面直线 成的角的方法,体现了转化的数学思想,属于中档题.



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