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二次函数基础训练--1 。2



二次函数基础
定义 图象平 移规律 顶 二 次 函 数 图 象 和 性 质 点 式

y ? a( x ? h)2 ? k

(a ? 0 )

图象特征 和性质 配方法 化为顶 点式

一般式 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )
2

图象特

征和性 质

图象特征和 性质 交点式

y ? a( x ? x1 )( x ? x2 )
与一般式的互 化

(a ? 0 ,? ? 0 )

解析式的确定方法 1.二次函数的定义: 顶点式: *交点式:

一般式: 存在的条件
2

2. 二次函数的图像和性质(A)顶点式: y ? a( x ? h) ? k (i)抛物线 y ? a ? x ? h ? ? k 有如下特征:
2

(a ? 0)

(1)对称轴是

顶点坐标是 , a ? 0 ,开口 值,当 x ? 值,当 x ? 时, y 最 时, y 最 = = 。 ,

(2)开口方向:当 a ? 0 时,开口 (3)最值:当 a ? 0 时, y 有最 当 a ? 0 时, y 有最 (4)增减性:当 a ? 0 时, x

时, y 随 x 增大而减小。

1

x
当 a ? 0 时,

时, y 随 x 增大而增大。 时, y 随 x 增大而增大。 时, y 随 x 增大而减小。

x x

(ii)顶点式 y ? a( x ? h)2 ? k ( a ? 0 )和 y ? ax2 图像关系,平移规律

y ? a? x ? h? ? k 图象是由 y ? ax 2 的图象向左( h
2

0)或向右( h

0 )平移

个单位,再向上( k

0)或向下( k

0)平移

个单位而得到的。

(B)一般式 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) (i)抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象特征和性质: (1) 开口方向: a ? 0 时,开口向上; a ? 0 时,开口向下。 (2) 对称轴方程: (3) 顶点坐标 : ( , ) 值,当 x ? 值,当 x ? 时, y 最 时, y 最 = = ,

(4) 最值:最值:当 a ? 0 时, y 有最 当 a ? 0 时, y 有最 (5) 增减性:当 a ? 0 时, x

时, y 随 x 增大而减小。

x
当 a ? 0 时,

时, y 随 x 增大而增大。 时, y 随 x 增大而增大。 时, y 随 x 增大而减小。 。

x x

(6) 开口大小: a 越大,开口

(ii)可以使用 法将二次函数一般式化为顶点式 (iii)二次函数与坐标轴的交点坐标 与 y 轴交点坐标 与 x 轴的交点坐标 (当 ? ? 0 时)*与 x 轴两交点 A、B 之间距离公式:AB= (iv)五点法画二次函数草图:此五点 是: 、 、 、 (v) a 、 b 、 c 的符号对二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 图象的影响。 a 看开口,b 看轴,c 与 y 轴相牵手,b?-4ac 与 x 轴是朋友, a、b 符号看对称轴的位置,对称轴在 y 轴左侧,a、b 符号相同,即左同; 对称轴在 y 轴右侧,a、b 符号相异,即右异; 当 b?-4ac>0 时,与 x 轴有两个交点, 当 b?-4ac=0 时,与 x 轴有一个交点, 当 b?-4ac<0 时,与 x 轴没有交点; 判断 a+b+c 的符号看 x=1 时对应的函数值 y 的位置, 判断 a-b+c 的符号时看 x=-1 时对应的函数值 y 的位置。 判断 4a+2b+c 的符号时看 x=2 时对应的函数值 y 的位置,
2





判断 4a-2b+c 的符号时看 x=-2 时对应的函数值 y 的位置 判断 2a±b 的符号时看对称轴 x=1 和 x=-1 的位置) (1) a 决定开口方向: (2) c 决定抛物线与 (i) 当 c (ii) 当 c (iii)当 c

a ? 0 ,开口向
轴交点位置。

, a ? 0 ,开口向



0 时 ? 抛物线与 y 轴交点在 x 轴上方。 0 时 ? 抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方。 0 时 ? 抛物线过原点。 时? ?

(3) a 、 b 共同决定对称轴的位置 (i) a 、 b (ii) a 、 b (iii) b 0

b 2a b 时? ? 2a b ?? 2a

0 ? 对称轴在 y 轴左侧。 0 ? 对称轴在 y 轴右侧。 0 ? 对称轴为 y 轴。

? 抛物线的顶点在 y 轴上。
(4) a 、 b 、 c 共同决定抛物线与 x 轴交点个数。 (i) ? ? b ? 4ac ? 0 ? 抛物线与 x 轴有
2

个交点。 个交点。 轴上。

(ii) ? ? b ? 4ac ? 0 ? 抛物线与 x 轴有
2

? 抛物线顶点在 ? 抛物线的最值为
2 (iii) ? ? b ? 4ac

0 ? 抛物线与 x 轴无交点。

*(C)交点式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 , ? ? 0 ) (i) x1 、 x2 为抛物线与 x 轴交点的 3. 二次函数解析式的确定 坐标。 (ii)对称轴方程为 x ?

基本原则是:

(1)根据题目条件选定适当的表达式(即三种表达式中的一种) (2)若已知抛物线的顶点,设 轴一交点和对称轴方程) ,设 (3)要力争使解题过程中待定的系数最 一、能力提高 式,若已知抛物线与 x 轴两个交点坐标(或与 x 式 。

1.二次函数 y ? x 2 ? (m ? 2) x ? 与 x 轴的两交点在 x 轴正半轴上,则 m 的取值范 (m ? 3) 围是 ;

2.若 a 、b 、c 为△ABC 的三边,且二次函数 y ? x 2 ? 2(a ? b) x ? c 2 ? 2ab 的顶点在 x 轴 上,则△ABC 为 三角形;

3

3.抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于正半轴 C 点,且 AC = 20, BC = 15,∠ACB = 90°,则此抛物线的解析式为 ;

4.一次函数 y ? kx ? b 的图象过点( m ,1)和点( ? 1 , m ) ,其中 m > 1,则二次函数

y ? a( x ? b) 2 ? k 的顶点在第
c )在( b
B
2

象限;

5. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象开口向上, 顶点在第四象限内, 且与 y 轴的交点在 x 轴 下方,则点 p ( a, A A 第一象限 ) 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 ( )

6. 已知函数 y ? ax ? bx ? c?a ? 0? 的图象如图所示, 则下列判断不正确的是
2

abc ? 0

B

b ? 4ac ? 0 C

2a ? b ? 0

D 4a ? 2b ? c ? 0
2

7.已知点 A(1, y1 ) 、B( ? 2 , y 2 ) 、C( ? 2, y3 )在函数 y ? 2? x ? 1? ?

1 上,则 y1 、 y 2 、 2

y3 的大小关系是( A y1 > y 2 > y3 B
A



y1 > y3 > y 2 C
x?2
C

y3 > y1 > y 2
x?4

D

y 2 > y1 > y3


8. 已知 (2, 5) (4, 5) 是抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 上的两点, 则这个抛物线的对称轴为 (

x??

a b

B

D

x?3
( )

9.直线 y ? ax ? b(ab ? 0) 不经过第三象限,那么 y ? ax2 ? bx 的图象大致为 y O A x
2

y O B x

y O C x

y O D ( y O x ) x

10. 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 图象如图所示, 下面结论正确的是 A C

a < 0, c < 0, b 2 > 4 ac a > 0 , c > 0 , b 2 > 4 ac

B D

a > 0, c < 0, b 2 > 4 ac a > 0 , c < 0 , b 2 < 4 ac

11.已知反比例函数 y ?

k 的图象如图所示,则二次函数 x
( )

y ? 2kx 2 ? x ? k 2 的图象大致为

y
3题

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

4

12.在同一坐标系中,作出函数 y ? kx2 和 y ? kx ? 2(k ? 0) 的图象,只可能是(
y O x -2 A -2 B C y O x O -2 D x y y 2 O x



13.已知二次函数已知函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,则下列关系式中成立的是 ( A C
y



b ?1 2a b 1? ? ?2 2a 0??

B D

0??

b ?2 2a b ? ?1 2a

O

2

x

14. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示, 则下列结论中正确的是: y A a?0 b?0 c?0 B a?0 b?0 c?0 C a?0 b?0 c?0 D a?0 b?0 c?0 0 x





2 15 .二次函数 y ? ax ? bx ? c 与一次函数 y ? ax ? c 在同一直角坐标系中图象大致是



) y y y y

0

x

0

x

0

x

0

x

A

B

C

D

16.如图,抛物线顶点坐标是 P(1,3) ,函数 y 随自变量 x 的增大而减小的 x 的取值范围 是( A ) x >3 B

x <3

C

x >1

D

x <1

5

16 题图

17.己知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图所示,则下列

结论: (1) a ? b ? c ? 0 (2)方程 ax2 ? bx ? c ? 0 两之各大于零(3) y 随 x 的增大而增 大 (4) 一次函数 y ? x ? bc 的图象一定不过第二象限, 其中正确的个数是
y





O

1

x

A

1个

B

2个

C

3个

D

4个

2 18.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,则 abc ,b ? 4ac ,2a ? b ,a ? b ? c 这

y

18题

-1

O

1

x

四个式子中,值为正数的有( A. 4个 B. 3个

) C. 2个 D. 1个 )

19.在同一坐标系中函数 y ? ax ? b , y ? ax2 ? bx(ab ? 0) 的图象大致是 (
y y y y

O x

O

x

O

x

O

x

20.已知二次函数 y ? x 2 ? (m ? 1) x ? m ? 1 . (1) (2) 求证:不论 m 为何实数值,这个函数的图象与 x 轴总有交点.

m 为何实数值时,这两个交点间的距离最小?这个最小距离是多少?


21.抛物线 y ? x 2 ? x ? 1 在直线 y ? x ? 2 下方的 x 的取值范围是
6

二次函数基础 2
【中考要点】 (1)二次函数基本性质 (2)充分理解二次函数与一元二次方程的关系 【知识要点】一、二次函数的图像与基本性质: 1、二次函数:一般地,形如 y ? ax2 ? bx ? c ( a, b, c 为常数, a ? 0 )的函数称 为 x 的二次函数,其中 x 为自变量, y 为因变量, a, b, c 分别为二次函数的二次 项、一次项和常数项系数 2、 解析式: (1)一般式: y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )

b 2 4ac ? b2 (2)顶点式:对一般式进行配方,得: y ? a( x ? ) ? , 2a 4a

令h ? ?

b 4ac ? b 2 ,k ? ,则: y ? a( x ? h)2 ? k ( a ? 0 ). 2a 4a

(3)交点式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 , x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的 横坐标 (只有当抛物线与 x 轴有交点时才可以写成交点式) 3、图像性质:二次函数图像主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标 轴的交点、单调性和最值等方面. 若二次函数解析式为 y ? ax2 ? bx ? c (或 y ? a( x ? h)2 ? k )( a ? 0 ),则:

?a ? 0 ? 向上 b (1)开口方向: ? , (2)对称轴: x ? ? (或 x ? h ) , 2a ?a ? 0 ? 向下
(3)顶点坐标: (?
b 4ac ? b2 , ) (或 ( h, k ) ) , 2a 4a

4ac ? b 2 (4)单调性及最值: a ? 0 时有最小值 (或 k ) (如图 1) ; 4a
7

a ? 0 时有最大值

4ac ? b 2 (或 k ) (如图 2) 4a

(5)与坐标轴的交点:①与 y 轴的交点: (0, c) ; ②与 x 轴的交点:使方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (或 a( x ? h)2 ? k ? 0 )成立的 x 值. 总结:函数图像与系数关系: ① a 决定抛物线的开口方向; a 决定抛物线的开口大小: a 越大,抛物线开 口越小; a 越小,抛物线开口越大. 注:几条抛物线的解析式中,若 a 相等,则其形状相同,即若 a 相等,则开口及 形状相同,若 a 互为相反数,则形状相同、开口相反. ② b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.(对称轴为: x ? ? b )
2a

当 b ? 0 时,抛物线的对称轴为 y 轴;当 a , b 同号时,对称轴在 y 轴的左侧; 当 a , b 异号时,对称轴在 y 轴的右侧. ③ c 的大小决定抛物线与 y 轴交点的位置. (抛物线与 y 轴的交点为 (0, c) ) 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点为原点; 当 c ? 0 时,交点在 y 轴的正半轴; 当 c ? 0 时,交点在 y 轴的负半轴. 4、图像平移: (1)具体步骤:先利用配方法把二次函数化成 y ? a( x ? h)2 ? k 的形式,确定其 顶点 ( h, k ) ,然后做出二次函数 y ? ax 2 的图像,将抛物线 y ? ax 2 平移,使其顶 点平移到 ( h, k ) .具体平移方法如下图所示:

(2)具体平移 规律: 在原有函 数的基础上“右移减,左移加; k 值正上移,负下移”. 二、一元二次方程与二次函数的关系

8

一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 当函数值 y ? 0 时的特殊 情况. 即:当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,抛物线 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )与 x 轴的两个交点的 横坐标 x1 , x2 是对应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两根.因此有: ? ? 0 ? 一元二次方程有两个不相等的实数根 ? 抛物线与 x 轴有两个交点; ? ? 0 ? 一元二次方程有两个相等的实数根 ? 抛物线与 x 轴只有一个交点;

?a ? 0, y恒大于0 ? ? 0 ? 一元二次方程无实数根 ? 抛物线与 x 轴无交点 ? ? ?a ? 0, y恒小于0
【典例分析】 1.二次函数的图像是一条( A、直线 B、双曲线

) C、抛物线 D、以上都有可能 )

2.抛物 y ? ( x ? 3) 2 ? 5 的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是( A、开口向上;x=-3; (-3,5) C、开口向下;x=3; (-3,-5)

B、开口向上;x=3; (3,5) D、开口向下;x=-3; (3,-5) ) D、x=-1 且 x=2 )

3.若函数 y ? x 2 ? x ? 2 的函数值为0,则 ( A、x =-1 B、x=-2

C、x=-1 或 x=2

4.抛物线 y ? 2 x 2 ? bx ? c 的顶点坐标是(-1, -2), 则 b 与 c 的值分别是 ( A、-1,-2 B、4,-2 C、-4,0 2 5.二次函数 y=2x -8x+1 的最小值是 A、7 B、-7 C、9 D、-9 2 2 6.要从抛物线 y=x -3 得到 y=x 的图象,则抛物线 y=x2-3 必须 A、向上平移 3 个单位 B、向下平移 3 个单位 ( ( D、4,0 ) )

C、向左平移 3 个单位 D、向右平移 3 个单位 2 7.不论 x 为何值时,y=ax +bx+c 恒为正值的条件是 A、 a>0,△>0 B、 a>0,△>0 C、 a>0,△<0 D、 a<0,△< 8.二次函数 y ? 2( x ? 1) 2 ? 1 的图象的对称轴是直线 9.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的顶点坐标_________.

(

)



10.若二次函数 y=mx2-(m-2)x-1 的图象与 x 轴的交点 A(a, 0)B(b, 0), 且 a+b=ab, 则 m=_______. 11.函数 y= (x+3)2+2 的图象可以通过把 y= x2 的图象向______平移______个单

位,再向______平移______个单位而得到.

9

12.抛物线 y= -

x2+3 的开口_________当 x________时,其 y 随 x 的增大而增大.

13.要使函数 y=6x2+x-2 的值大于零,则 x 的取值范围应是_________________. 14.吉利工业园某工厂 2005 年的产值是 35 万元,计划 2007 年的产值达到y(万 元) ,已知连续两年产值平均增加率都为 x,求 y 与 x 的函数关系式

15.有一个抛物线形拱桥,其最大高度为 16m,跨度为 40m,现把它的示意图放在 平面直角坐标系中如图,求抛物线的解析

16.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过一次函数 y= -

x+3 的图象与 x 轴、y

轴的交点,并且经过点(1,1).求这个二次函数的解析式,并把解析式化成 y=a(x+h)2+k 的形式。

17.已知二次函数的顶点坐标为(3,-1),且其图象经过点(4,1),求此二次函数的 解析式.

18.已知抛物线 y ? ?

1 2 4 5 x ? x? , 3 3 3

求:(1)把它配方成 y ? a( x ? h) 2 ? k 形式; (2)写出它的顶点 M 的坐标、对称轴和最值; (3)求出图象与 x 轴的交点坐标 A、B; (4)作出函数图象;根据图象指出 x 取什么值时 y>0; (5)求△AMB 面积.

10



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