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福安二中高二第二学期期末数学(理科)试卷



扆山高二数学周末提纲 【前言:第 7 题和第 16 题为不等式内容,但难度均不大,同时为保证试卷完整,请同学们完整 前言: 题为不等式内容,但难度均不大, 同时为保证试卷完整, 作答. 作答.】

福安二中高二第二学期期末数学(理科) 福安二中高二第二学期期末数学(理科)试卷
姓名______学号_____得分_____ 姓名______学号____

_得分_____ ______学号_____得分 一、选择题:(本大题 12 题,每小题 5 分,共 60 分) 选择题: 在复平面内对应的点位于( 1.已知复数 z 满足 z = ?1 + 2i ,则复数 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 )

D.第四象限

(1,1)处的切线方程是 处的切线方程是( ) 2. 曲线 y = x 2 在(1,1)处的切线方程是( B. 2 x ? y ? 3 = 0 A. 2 x + y + 3 = 0 C. 2 x + y + 1 = 0 D. 2 x ? y ? 1 = 0 用反证法证明命题:“a,b∈N, 整除, 整除” 3. 用反证法证明命题:“a,b∈N,ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除” 假设的内容应为( 时,假设的内容应为( ) a、 B.a A. a、b 都能被 5 整除 B.a、b 都不能被 5 整除 a, C. a,b 不都能被 5 整除 D.a 不能被 5 整除 4.已知 ∫ f ( x)dx = 3 ,则 ∫ [ f ( x) + 6]dx = (
0 0 2 2

) D .18

A. 9

B. 12

C .15

有甲、 丙三项任务, 人承担, 人承担, 5. 有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担,从 10 人中选派 4 人承担这三项 任务的不同选法有 ( A.1260 种 ) B.2025 种 C.2520 种 D.5040 种

6. 设函数 f ( x) 在定义域内可导 , y=f(x) 的图象如右图所示 , 则导函数 y = f ′( x) 可能为 ( ).
y y x y x y y x

O A

O B

O C

x

O D

O

x

7.已知 a, b ∈ R ,且 ab < 0 ,则( A. a + b > a ? b B. a + b < a ? b

) C. a ? b < a ? b D. a ? b < a + b
2 2

值为( 8. 设 (2x + 2)4 = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 ,则 ( a0 + a2 + a4 ) ? ( a1 + a3 ) 值为( A. 16 B. -16
^ ^

)

C. 1

D. -1 )

9. 设有一个直线回归方程为 y = 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时 ( A. C. y 平均增加 1.5 个单位 y 平均减少 1.5 个单位

B. y 平均增加 2 个单位 D. y 平均减少 2 个单位

1

扆山高二数学周末提纲
2 10.甲乙两队进行排球比赛, 没有平局. 10.甲乙两队进行排球比赛,已知在一局比赛中甲队获胜的概率是 ,没有平局.若采用三 3 局两胜制比赛,即先胜两局者获胜且比赛结束,则甲队获胜的概率等于( 局两胜制比赛,即先胜两局者获胜且比赛结束,则甲队获胜的概率等于( )

A.

20 27

B.

4 9

C.

8 27

D.

16 27

? 1 ? 则数列 ? ( 的前 n 项和为 ( 1 1. 设函数 f ( x) = x m + ax 的导数 f ′( x) = 2 x + 1 , ? n ∈ N *) f ( n) ? ? A
n n ?1



B

n +1 n

C

n n +1

D

n+2 n +1
a 2 + b2 ,将此结论 2

12. 12.在 ?ABC 中,若 AC ⊥ BC , AC = b, BC = a ,则 ?ABC 的外接圆半径 r =

展到空间,可得出的正确结论是: 两两互相垂直, 拓 展到空间 , 可得出的正确结论是 : 在四面体 S ? ABC 中 , 若 SA、SB、SC 两两互相垂直 , SA = a, SB = b, SC = c ,则四面体 S ? ABC 的外接球半径 R = ( ). A.
a2 + b2 + c2 2

B.

a2 + b2 + c2 3

3

C.

a 3 + b3 + c3 3
ξ P

D. 3 abc

(本大题共 小题, 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题: ( 是一个离散型随机变量其分布列如下: 13. 设 ξ 是一个离散型随机变量其分布列如下: 则 q= .
-1 0.5 0 1? 1 q
2

3 q 2

14. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (0,σ 2 ) 且 P(?2 ≤ X ≤ 0) = 0.4 则 P( X > 2) = 15.规定复数集范围内的运算 规定复数集范围内的运算
z1 z3 z2 z4 = z1 z4 ? z2 z3 ,若



1 ? 2i i 为虚数单位, = x ? yi (其中 i 为虚数单位,x、 ?i 2

y 为实数) 则 x + y = 为实数) ,则 ,

______. ______.

的最大值等于___________ ___________. 16.已知 x, y > 0 ,且 x 2 + y 2 = 1 ,则 x + y 的最大值等于___________. 三,解答题(共 74 分) 解答题( (本小题 17. 本小题 12 分) ( 求( x ?
2

x

)10 的展开式中,第四项的二项式系数和第四项的系数,并求出展开式的常数项 的展开式中, 项的二项式系数和第四项的系数 并求出展开式的常数项 和第四项的系数,

新疆 王新敞
奎屯

2

扆山高二数学周末提纲 18 . ( 本 小 题 12 分 ) 已 知 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 a n =
f (n) = (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ? ? ? (1 ? a n ) , 1 (n ∈ N + ) , 记 (n + 1) 2

(1)计算 的值, 的表达式. (2)试用数学归纳法证明你的猜想. (1)计算 f (1), f (2), f (3) 的值,并猜想 f (n) 的表达式. (2)试用数学归纳法证明你的猜想. 你的猜想

在人寿保险业中,要重视某一年龄的投保人的死亡率, 19. (本小题满分 12 分)在人寿保险业中,要重视某一年龄的投保人的死亡率,经过随机 抽样统计, 0.60,试问: 抽样统计,得到某市一个投保人能活到 75 岁的概率为 0.60,试问: 的分布列; 个投保人, (1)若有 3 个投保人, 求能活到 75 岁的投保人数 ξ 的分布列; 岁的概率. 0.01) (2)3 个投保人中至少有 1 人能活到 75 岁的概率.(结果精确到 0.01)

20.( 为实数, 20.(本小题满分 12 分)已知 a 为实数,函数 f ( x) = ( x 2 + 1)( x + a) .
3 1]上的极大值和极小值 上的极大值和极小值; (1) 若 f ′(?1) = 0 ,求函数 y = f ( x) 在[- ,1]上的极大值和极小值; 2

(2)若函数 轴平行的切线, 的取值范围. (2)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围. 若函

3

扆山高二数学周末提纲 1 21.( 是虚数, 21.(本小题 13 分)设 z 是虚数, ω = z + 是实数,且 ? 1 < ω < 2 。 z 的实部的取值范围 范围; (1)求∣ z ∣的值及 z 的实部的取值范围; 1? z , 求证: u 是纯虚数; 求证: 纯虚数; ( 2) 设 u = 1+ z
的最小值. (3)求 ω ? u 2 的最小值.

22 . 本小题满分 13 分 ) 设曲线 y = (

ax 3 1 2 + bx + cx 在点 A( x, y ) 处的切线斜率为 k ( x) , 且 3 2

1 k (?1) = 0 .对一切实数 x ,不等式 x ≤ k ( x) ≤ ( x 2 + 1) 恒成立 (a ≠ 0) . 2

的值; (1) 求 k (1) 的值; (2) 求函数 k ( x) ; 求证: (3) 求证:
1 1 1 2n + +L+ > . k (1) k (2) k ( n) n+2

4

扆山高二数学周末提纲

福安二中高二(下)期末数学(理科)试卷答案
一、选择题:60 分 选择题: BDBDC 填空题: 二、填空题:16 分 13. 0.5 DBACA AA

;14. 0.1 ; 15.

5

;16.

2

三,解答题(共 74 分) 解答题( 17. (本小题 12 分)求 ( x ? 常数项

2 x

)10 的展开式中,第四项的二项式系数和第四项的系数,并求出展开式的

新疆 王新敞
奎屯

3 解:因为 T4 = T3+1 = ( ?1) 3 C10 ( x ) 7 (

2 x

)3 ,
3

所以第四项的二项式系数是 C10 = 120 ,第四项的系数是- C10 × 8 = ?960 …………………………6 分
3

r 设第 r+1 项为常数项,又 Tr +1 = C10 ( x )10 ? r ( ?

2 x

r ) r = (?2) r C10 x

10 ? 2 r 2

…9 分



10 ? 2r = 0 ? r = 5, 2

……………………………10 分 所以所求常数项为 180 ………………….12 分

5 ∴ T5+1 = C10 (?2) 5 = ?180.

新疆 王新敞 奎屯

18.(本小题 12 分) 已知数列 {a n } 的通项公式 a n =

1 (n ∈ N + ) ,记 f (n) = (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ? ? ? (1 ? a n ) , (n + 1) 2

(1)计算 f (1), f (2), f (3) 的值,并猜想 f (n) 的表达式(2)试用数学归纳法证明你的猜想.
解:(1) f (1) =

3 2 4 5 , f ( 2) = = , f (3) = ……………………4 分 4 3 6 8 n+2 猜测可得: f ( n) = ……………………. 6分 2n + 2 1+ 2 3 (2)证明:(1) n = 1 时, f (1) = = ,猜想成立 ………………… 2 ×1 + 2 4 k+2 (2) 假设 n = k 时, f ( k ) = 成立 2k + 2
则 n = k + 1 时, f ( k + 1) = (1 ? a1 )(1 ? a 2 )...(1 ? a k )(1 ? a k +1 ) = f ( k ).(1 ? a k +1 ) =

7分

k + 2 (k + 1)(k + 3) k+2 1 ? [1 ? ]= ? 2 2k + 2 2(k + 1) (k + 1 + 1) ( k + 2) 2 k +3 (k + 1) + 2 = 2k + 4 2(k + 1) + 2
5

=

………………

10 分

扆山高二数学周末提纲
∴ n = k + 1 时,猜想也成立 ∴ 对 n ∈ N , f ( n) =
+

………………

11 分

n+2 成立……………………………… 12 分 2n + 2

19. (本小题满分 12 分)在人寿保险业中,要重视某一年龄的投保人的死亡率,经过随机抽样统计, 得到某市一个投保人能活到 75 岁的概率为 0.60,试问: (1)若有 3 个投保人, 求能活到 75 岁的投保人数 ξ 的分布列 (2)3 个投保人中至少有 1 人能活到 75 岁的概率.(结果精确到 0.01) 解: (1) ξ 的可能取值为 0,1,2,3, …………1 分

8 3 3 36 , P (ξ = 1) = C1 × (1 ? ) 2 = , 3 125 5 5 125 3 54 3 3 3 27 2 3 P (ξ = 2) = C3 ( ) 2 × (1 ? ) = . P (ξ = 3) = × × = , 5 5 125 5 5 5 125 P (ξ = 0) =
能活到 75 岁的投保人数 ξ 的分布列如下:

……5 分

ξ
P

……8 分
0 1 2 3

8 125

36 125

54 125

27 125

(2)3 个投保人中至少有 1 人能活到 75 岁的概率 P = 1 ? (1 ? 0.6) 3 = 1 ? 0.064 ≈ 0.94 ……11 分 答: 3 个投保人中至少有 1 人能活到 75 岁的概率是 0.94………12 分 20.(本小题满分 12 分)已知 a 为实数,函数 f ( x) = ( x 2 + 1)( x + a ) . (1) 若 f ′(?1) = 0 ,求函数 y = f ( x) 在[-

3 ,1]上的极大值和极小值; 2

(2)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围. 解:(Ⅰ)∵ f ′(?1) = 0 ,∴ 3 ? 2a + 1 = 0 ,即 a = 2 .
2 ∴ f ′( x ) = 3 x + 4 x + 1 = 3( x + )( x + 1) .

1 3

… 2分

1 由 f ′( x) > 0 ,得 x < ?1 或 x > ? ; 3 1 由 f ′( x) < 0 ,得 ?1 < x < ? . 3

… 4分

3 1 1 因此,函数 f ( x) 的单调增区间为 (? , 1) , (? , ;单调减区间为 (?1, ) . ? 1) ? 2 3 3 1 1 50 f ( x) 在 x = ?1 取得极大值为 f (?1) = 2 ; f ( x) 在 x = ? 取得极小值为 f (? ) = . 3 3 27 (Ⅱ) ∵ f ( x) = x3 + ax 2 + x + a ,∴ f ′( x) = 3x 2 + 2ax + 1 . ∵函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,∴ f ′( x) = 0 有实数解. … 10 分 ∴ D = 4a 2 ? 4 × 3 × 1 ≥ 0 ,∴ a 2 ≥ 3 ,即 a ≤ ? 3 或 a ≥ … 7分

3 .

6

扆山高二数学周末提纲
因此,所求实数 a 的取值范围是 (?∞, 3 ] U [ 3 , ∞) . ? + 21.(本小题 13 分)设 z 是虚数, ω = z +
… 12 分

1 是实数,且 ? 1 < ω < 2 。 z 1? z (1)求∣ z ∣的值及 z 的实部的取值范围。 (2)设 u = , 求证: u是实数 1+ z
(3)求 ω ? u 的最小值。
2

解: 1)设 z = a + bi ( a, b ∈ R, b ≠ 0) ,则 ω = a + bi + (

1 a + bi

a b + (b ? 2 )i ,Q ω 为实数, b ≠ 0 ,∴ a 2 + b 2 = 1 ,即|z|=1.……… 3 分 2 2 a +b a +b 1 ∴ ω = 2a .Q ?1 < ω < 2 ,∴ z 的实部的取值范围为 (? ,1) .………….5 分 2 1? z b 1 =? (2) u = i ,Q a ∈ (? ,1) , b ≠ 0 ,∴ u 为纯虚数……………… 8 分 1+ z a +1 2 2 b 1? a2 1 2 (3)当 ω ? u = 2a + = 2a + = 2[(a + 1) + ] ? 3 ≥ 2 × 2 ? 3 = 1, 2 2 a +1 (a + 1) (a + 1) 1 Q a ∈ (? ,1) ,即 a = 0 时取到等号,∴ ω ? u 2 的最小值是 1.………….. 12 分 2 =a+
2

ax 3 1 2 22. (本小题满分 13 分)设曲线 y = + bx + cx 在点 A(x, y )处的切线斜率为 k(x),且 k (-1)=0.对 3 2
一切实数 x,不等式 x≤k (x)≤

1 2 ( x + 1) 恒成立( a ≠0). 2 1 1 1 2n + +L+ > k (1) k (2) k (n) n + 2

(1) 求 k (1)的值;(2) 求函数 k (x)的表达式;(3) 求证: 解: (1)由 x ≤ k ( x ) ≤

1 2 ( x + 1)得1 ≤ k (1) ≤ 1 ,所以 k (1) = 1 ……………2 分 2
2

(2) k ( x ) = y ′ = ax + bx + c ( a ≠ 0) ,由 k (1) = 1 , k ( ?1) = 0 得…………3 分

?a + b + c = 1 1 1 ? a + c = , b = …………………………………………4 分 ? 2 2 ?a ? b + c = 0
又 x ≤ k ( x) ≤

1 2 1 ( x + 1) 恒成立,则由 ax 2 ? x + c ≥ 0(a ≠ 0) 恒成立得 2 2

? ?a > 0 ? 1 1 ? ?? = ? 4ac ≤ 0 ? a = c = ,…………………………………………6 分 4 4 ? 1 ? ?a + c = 2 ?
同理由 (

1 1 1 ? a ) x 2 + x + ? c ≥ 0 恒成立也可得: 2 2 2
7

a=c=

1 ……………………………………7 分 4

扆山高二数学周末提纲 1 1 1 2 1 1 综上 a = c = , b = ,所以 k ( x ) = x + x + ………………8 分 4 2 4 2 4
(3) k ( n) =

n 2 + 2n + 1 (n + 1) 2 1 4 = ? = k (n) (n + 1) 2 4 4
1 1 1 n + 2 +L+ > 2 2 2n + 4 2 3 (n + 1)

要证原不等式式,即证

因为

1 1 1 1 > = ? 2 (n + 1)(n + 2) n + 1 n + 2 (n + 1)

1 1 1 1 1 1 1 =1? 1 = n 所以 1 + 1 + L + > ? + ? +L+ ? 2 2 2 2 n + 2 2n + 4 2 3 3 4 n +1 n + 2 2 3 ( n + 1)
所以

2n 1 1 1 + +L+ > ……………………………………………………………12 分 k (1) k (2) k ( n) n + 2

本小问也可用数学归纳法求证。证明如下: 由 k ( n) =

n 2 + 2n + 1 (n + 1) 2 1 4 = = ? 4 4 k (n) (n + 1) 2
2 ,左边>右边,所以 n = 1 ,不等式成立 3 1 1 1 2m + +L > k (1) k (2) k (m) m + 2

1. 当 n = 1 时,左边=1,右边=

2. 假设当 n = m 时,不等式成立,即

当 n = m + 1 时,左边=

1 1 1 1 2m 4 2m 2 + 4m + 4 + +L+ + > + = k (1) k (2) k (m) k (m + 1) m + 2 (m + 2) 2 ( m + 2) 2



2m 2 + 4m + 4 2(m + 1) 4 ? = >0 2 m+3 ( m + 2) (m + 2) 2 (m + 3) 1 1 1 1 2(m + 1) + +L+ + > k (1) k (2) k (m) k (m + 1) (m + 1) + 3 1 1 1 2n + +L+ > k (1) k (2) k (n) n + 2

所以

即当 n = m + 1 时,不等式也成立综上得

8



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