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(2015版)导数题型归类第四讲:构造证明的根


2015 版导数题型归类
第四讲 构造证明不等式 一、学习目标 1.了解常见的构造类型:移项构造、变型构造、替换构造等。 2.掌握常见的替换构造的根。 二、重难点 重点:替换的根 难点:怎么看出替换的根 三、引入 构造除了常见的移项和变形构造以外,还有一类构造需要替换字母或是式子转换为基本 的不等关系,那么这类构造的根在哪里? 四、过程 【知识点】构造替换的常用根: e ? x ? 1, 当且仅当 x=0 时,取等号。
x

变形: A组 1) e
?x

? 1? x

2) x ? ln(x ? 1) 3) x ? 1 ? ln x B组

1 ? 1? x x 1 5) ln x ? 1 ? x 6) x ln ? x ? 1
4) ln 例题 1.(2011 年湖北高考)已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1, x ? (0,??) , 1)求函数 f(x)的最大值 2)若数列 ?an ?, ?bn ?都是正项数列,且 a1b1 ? a2b2 ?, , , , , , ,?anbn ? b1 ? b2 ?, , , , , ,?bn 求证:
b3 bn b1 b2 a1 ? a2 ? a3 ?, , , , , ,?an ?1

1

【巩固练习】 1.(2010 年全国)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 1)若 xf ' ( x) ? x 2 ? ax ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围 2)证明: (x-1)f(x) ? 0

【知识二】常见的构造方式: 不等式的构造灵活多变, 技巧性特别强, 有些证明又特别复杂, 是同学们最头疼的问题, 往往不知道从何处入手,苦苦冥想也找不到突破口。 1,直接构造:就是把证明的不等式,直接处理为一个函数,然后通过求极值最值等等明。 例题. 设 a ? 0 证明:,当 x>0 时, ln x ? 2a ln x ? x ? 1 ? 0 恒成立
2

2,等价构造:对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构, 根据结构构造函数。 例题.求证: ln x ?

1 2 ? e x ex

2

3,特征构造:根据所证不等式的特征,展开联想,适当构造。 例题.(2010 辽宁)已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax2 ? 1 1)当 a ? ?1 时,判断函数的单调性 (修改过) 2)设 a ? ?2 ,证明:对任意的 x1 , x2 ? (0,??), f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2

4,变更构造:观察不等式结构,采用换元等手段,变形构造 例题.(2007 年山东)设函数 f ( x) ? x ? b ln(x ? 1), 其中 b ? 0
2

1)求函数的极值点 2)证明对任意的正整数 n,不等式: ln( ? 1) ?

1 n

1 1 ? 都成立。 n 2 n3

3

5,减元构造:多变量不等式 ,一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量;当 都不能处理的时候,通过变形,再换元产生一个新变量,从而构造新变量的函数。 例题.已知函数 f ( x) ? ,且 h ' ( x) 存在零点 1)求实数 a 的值 2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), ( x1 ? x2 ) 是函数 y ? g ( x) 的图像上的两点, g ' ( x) ? 求证: x1 ? x0 ? x2

1 2 x x ? 2 x, g ( x) ? log a , (a ? 0, a ? 1) ,若 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 2

y2 ? y1 x2 ? x1

4

6,联想构造:根据条件特征,积极展开联想-----借助和差求导,积商求导,直线斜率与导 数关系等,恰当的构造所需的函数。 例题.已知函数 f ( x ) 为 (0,??) 上的非负可导函数, 且 xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 , 对任意的正数 a,b, 且 a<b,都有( A.af(a) ? f(b) ) B.bf(b) ? f(a) C..af(b) ? bf(a) D..bf(a) ? af(b)

后记:导数作为压轴题,构造是最基本的考点考法。不同的题有不同的构造方法,法无 定法。常见的思路和方法仅仅为我们提供一种积累,考试的时候本质还是在观察,分析,大 胆实践和尝试。灵感也许就在你不停的尝试中闪现!

五.课堂巩固 1,当 0 ? x ?

?
2

时,求证: tan x ? x ?

x3 3

2, (2014 年北京崇文区一摸)已知曲线 C : y ? eax . (Ⅰ)若曲线 C 在点 (0,1) 处的切线为 y ? 2 x ? m ,求实数 a 和 m 的值; (Ⅱ)对任意实数 a ,曲线 C 总在直线 l : y ? ax ? b 的上方,求实数 b 的取值范围.

5

六.课后作业 1.已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x), g ( x) 满 足

f ( x) ? a x , 且 f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) , g ( x)


? f ( n) ? 127 f (1) f (?1) 5 ? ,则 n=( ? ? ,若有穷数列 ? ?, n ? N 的前 n 项和为 128 g (1) g ( ?1) 2 ? g (n) ?
2.已知函数 f ( x ) ? 1)求函数的解析式 2)设 g(x)=lnx,求证:g(x) ? f ( x) 在[1, ? ?) 上恒成立 3)0<a<b,求证:

ax ? b 在点(-1,f(-1))处的切线为 x+y+3=0 x2 ?1

ln b ? ln a 2a ? 2 b?a a ? b2

6


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