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安徽省安庆市2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题A1


安庆市 2013~2014 学年度第一学期期末教学质量调研监测

高二数学试题(A1)参考答案及评分标准
(必修 3、选修 2-1)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 A 5 B 6 D 7 C 8 B 9 C 10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11、 BA 12、 ? 3 13、68 14、 [4,??) 15、11 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答过程有必要的文字说明、演算步骤及推理过程. 16、 (本题满分 12 分) 解:若 p 为真命题,则 a ? 1 ;
2 若 q 为真命题,则 a ? 4 ,即: a ? 2 或 a ? ?2

-------------------4 分

由已知条件知: p 与 q 一真一假, 当 p 为真, q 为假时有: ?

? a ?1 ,所以: ? 2 ? a ? 1 , ?? 2 ? a ? 2

----------7 分

当 q 为真, p 为假时有: ?

a ?1 ? ,所以: a ? 2 , ?a ? 2或a ? ?2

-------------10 分

综上有:实数 a 的取值范围为 ? 2 ? a ? 1 或 a ? 2 ------------12 分 17、 (本题满分 12 分) 解: ( 1) 由茎叶图可 知: 甲班身高集中于 160 : 179 之间, 而乙班身高集中于 170 : 180 之 间.因此乙班平均身高高于甲班;………………………… 3 分

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 ………… 5 分 10 1 2 2 2 2 2 甲班的样本方差为 [(158 ? 170) ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170? 10
(2) x ?

? ?170 ? 170 ? ? ?171 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?182 ? 170 ? ] =57.2
2 2 2 2 2

[

…………………………8 分(3)设 身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) 、 (181,176) 、

(181,178) 、 (181,179) 、 (179,173) 、 (179,176) 、 (179,178) 、 (178,173) 、 (178,176) 、 (176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件;

? P ? A? ?

4 2 ? 10 5

. …………………………12 分

18、 (本题满分 12 分) 解:(1)从这 5 年中任意抽取两年,所有的事件有:12,13,14,15,23,24,25,34,35,45 共 10 种 至少有 1 年多于 10 人的事件有:14, 15,24,25,34,45 ,45 共 7 种,则 至少有 1 年多于 10 人的概率为 P ? (2)由已知数据得 x ? 3, y ? 8

7 .………………………………………………5 分 10

?x y
i ?1 i

5

i

? 3 ? 10 ? 24 ? 44 ? 65 ? 146, ? xi2 ? 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? 25 ? 55 ,
i ?1

5

?? 则b

146 ? 5 ? 3 ? 8 ? ? 8 ? 2.6 ? 3 ? 0.2 ? 2.6, a 55 ? 5 ? 9
………………………10 分 ………………………12 分

? ? 2.6 x ? 0.2 于是回归直线方程为 y
则第 8 年的估计值为 2.6 ? 8 ? 0.2 ? 21 . 19、 (本题满分 12 分) 解: (1)∵ 前三组频率和为

2+4+17 23 1 2+4+17+15 38 1 = < ,前四组频率之和为 = > , 50 50 2 50 50 2 ……………………3 分

∴ 中位数落在第四小组内.

第二小组频数 4 (2)频率为: =0.08,又∵ 频率= , 2+4+17+15+9+3 样本容量 频数 12 ∴ 样本容量= = =150. 频率 0.08 (3)由图可估计所求良好率约为: 分 20、 (本题满分 13 分) 证明及解: (1) …………………… 7 分 17+15+9+3 × 100%= 88%. ……………12 2+4+17+15+9+3

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 900
又 面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB 建系 {BA, BD, z} ,令 AB ? 2 ………………………………2 分 所以 BD ? AB

uu r uuu r

A ? 2, 0, 0 ? , D 0, 2 3, 0 , P 1, 0, 3 , C ?2, 2 3, 0

?

? ?

? ?

?

uuu r 1 uu u r uuu r 1 3 EF ? AP ? DC ? ?3, 0, 3 ? ? 3, 0,1 2 2 2 u u r 因为平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1, 0 ?

?

? ?

?

?

?

……………………..4 分

uuu r u u r EF ? n2 ? 0 ? EF / /面PAB
u r

…………..6 分

(2)设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ? x, y , z ?

uu u r uuu r AP ? ?1, 0, 3 , AD ? ?2, 2 3, 0

?

?

?

?

………8 分

u r uu u r ? ?n1 ? AP ? ? x ? 3z ? 0 r uuu r ?u n ? AD ? ?2 x ? 2 3 y ? 0 ? ? 1 u r 令 x ? 3 所以 n1 ? 3,1,1

………10 分

?

?

因平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1, 0 ?

u u r

u r u u r 1 5 cos ? n1 , n2 ?? ,即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 5 5
21、 (本题满分 14 分)

.................13 分

? c 2 ? ?a ? 2 2 ? 2 ? ? a 解: (1)由已知可得: ? 2b ? 4 ,解出 ? b ? 2 ? c?2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
x2 y2 ? ?1 所以椭圆的方程为: 8 4
.................5 分

(2)易知 C (2,0) 恰好为椭圆的右焦点,设该椭圆的左焦点为 C ' (?2,0) , 设 ?ABC 的周长为 l ,则:

l ? AB ? AC ? BC ? ( AC'?BC' ) ? AC ? BC ? ( AC ? AC' ) ? (BC ? BC' ) ? 4a ? 8 2
所以周长的最大值为 8 2 ,当线段 AB 经过左焦点 C ' (?2,0) 时取等号。.................8 分 由于直线 AB 的斜率不能为 0,否则 A, B, C 三点共线,与 ?ACB ? 90 相矛盾。所以可假
?

设直线 AB 的方程式为: x ? m y ? 2 将该直线和椭圆联立化简得: (m ? 2) y ? 4my ? 4 ? 0
2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由韦达定理知: y1 ? y 2 ?
? ?? ? ??
?

4m ?4 , y1 y 2 ? 2 2 m ?2 m ?2

由已知 ?ACB ? 90 ,所以: CA ? CB ? 0 即: ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 ) ? 0 即: ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 即: (my1 ? 4) ? (my2 ? 4) ? y1 y2 ? 0 即: (m 2 ? 1) y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0 将韦达定理代入上式得: (m ? 1) ?
2

?4 4m ? 4m ? 2 ? 16 ? 0 ,解出: m ? ? 7 2 m ?2 m ?2
................14 分

所以直线 AB 的方程为: x ? ? 7 y ? 2 .


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