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首届全国中学生数理化学科能力竞赛大纲及样题-高中数学



(高中数学部分)

第一部分 解题技能竞赛大纲 第二部分 解题技能竞赛试题样题 第三部分 数学建模论文示范论文

首届全国中学生数理化学科能力竞赛
数学学科笔试部分竞赛大纲(2008 年试验稿)

为了提高广大青少年走进科学、热爱科学的兴趣,培养和发现创新型人才,团 中央中国青少年发展服务中心、全国“青少年走

进科学世界”科普活动指导委员会 办公室共同举办首届“全国中学生数理化学科能力竞赛” (以下简称“竞赛” ) 。竞赛 由北京师范大学《高中数理化》杂志社承办。为保证竞赛活动公平、公正、有序地 进行,现将数学学科笔试部分竞赛大纲颁布如下: 1 命题指导思想和要求 根据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课 程标准》的要求,着重考查学生的基础知识、基本能力、科学素养和运用所学知识 分析问题、解决问题力及创新能力。命题吸收各地高考和中考的成功经验,以能力 测试为主导,体现新课程标准对能力的要求,注意数学知识中蕴涵的丰富的思维素 材,强调知识点间的内在联系;注重考查数学的通法通则,注重考查数学思想和方 法。激发学生学科学的兴趣,培养实事求是的科学态度和创新能力,促进新课程标 准提出的“知识与技能” 、 “过程与方法” 、 “情感与价值观”三维目标的落实。总体 难度把握上,要追求“源于教材,高于教材,略高于高考”的原则。并提出以下三 个层面上的命题要求: 1)从宏观上看:注意对知识点和能力点的全面考查,注意对数学基本能力(空 间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力)的考查,注意对 数学思想和方法方面的考查,注意考查通则通法。 2)从中观上看:注意各个主要知识块的重点考查,注意对主要数学思维方法 的考查。 3)从微观上看:注意每个题目的基础性(知识点) 、技能性(能力点) 、能力 性(五大基本能力为主)和思想性(四种思想为主) ,注意考查大的知识块中的重点 内容(如:代数中的函数的单调性、奇偶性、周期性) ,注意从各个知识点之间的交

汇命题,注意每个题目的通则通法使用的同时也适度引进必要的特技,注意题目编 拟中一些题目的结构特征对思路形成的影响。 2 命题范围 依据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课 程标准》的要求,初赛和决赛所考查的知识点范围,不超出相关年级在相应的时间 段内的普遍教学进度。另外要明确初二年级以上开始,每个年级的命题范围包含下 年级的所有的内容。比如:高一的命题范围包括初中所有内容和高中阶段所学的内 容。 3 考试形式 初一、初二、初三、高一、高二组:闭卷,笔答。考试时间为 120 分钟,试 卷满分为 120 分。 4 试卷结构 全卷选择题 6 题,非选择题 9 题(填空 6 题、解答题 3 题) 5 难度系数 1)初赛试卷的难度系数控制在 0.6 左右; 2)决赛试卷的难度系数控制在 0.5 左右。

高中一年级样题
一 选择题(每小题 5 分,共 30 分)
B )
2

1.已知 f (2x ? 2? x ) ? 4 x ? 4 ?x ,则 f ( x) ? ( (A) 4 ? 4
x ?x

(B) x ? 2
2

(C) x ? 2

(D) x

2

2 2 2 2.已知 A ? x f ( x) ? x ? 1 , B ? f ( x ) f ( x ) ? x ? 1 , C ? f [ f ( x )] f ( x ) ? x ? 1 ,则下

?

?

?

?

?

?

列结论正确的是(D ) (A) A ? B ? C (B) A ? B ? C

(C) A ? B ? C

(D) A ? B ? C

3. 设 1 < a < b < a 2, 则在四个数 2, log a b, log b a, log a b a 2 中, 最大的和最小的分别是 ( A ) (A)2,log b a 令 a ? 2, b ? 3 ,则 (B)2,log a b a 2 (C)log a b,log b a (D)log a b,log a b a 2

loga b ? log2 3 ? (1, 2),logb a ? log3 2 ? log9 4 ? (0,1),logab a2 ? log6 4 ? log9 4
故选 A 4.如果关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 3 ? 0 至少有一个正根,则实数 a 的取值范围是( C )
2 2

(A) [?2, 2] (B) ( 3, 2] (C) (? 3, 2] (D) [? 3, 2]

?? ? a 2 ? 4(a 2 ? 3) ? 0, a ? 0 ? ? 2 由 a ? 3 ? 0, 或 ? 2 ,或 ?a ? 0, 解得, a ? (? 3, 2] ,故选 C ?a ? 3 ? 0 ?a 2 ? 3 ? 0, ?
5.不等式 1 ? log 2 x > 1 – log 2 x 的解是( B ) (A)x ≥ 2 (B)x > 1 (C)1 < x < 8 (D)x > 2

?1 ? log 2 x ? 0 ?1 ? log 2 x ? 0 ,或 1 ? log 2 x ? 1 ? log 2 x ? ? ? 2 ?1 ? log 2 x ? 0 ?1 ? log 2 x ? (1 ? log 2 x)

? 0 ? log2 x ? 1 ,或 log2 x ? 1 ,故选 B
6.已知 y = f ( x ) 是定义在 R 上的单调函数,则( D ) (A)函数 x = f – 1 ( y ) 与 y = f ( x )的图象关于直线 y = x 对称 (B)函数 f ( – x ) 与 f ( x )的图象关于原点对称 (C)f – 1 ( x )和 f ( x )的单调性相反

(D)函数 f ( x + 1 ) 和 f – 1 ( x ) – 1 的图象关于直线 y = x 对称 二 填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1 2 7.已知不等式( ) x – a > 4 – x 的解集是( – 2,4 ),那么实数 a 的值是 8 2 8.已知函数 y = lg ( m x 2 – 4 x + m – 3 ) 的值域是 R,则 m 的取值范围是[0,4] 。



?m ? 0 ,解得 0 ? m ? 4 m ? 0, 或 ? ? ? 16 ? 4 m ( m ? 3) ? 0 ?
9.如果函数 f ( x ) = a x 2 + b x + c,x∈[ 2 a – 3,a 2 ]是偶函数,则 a = -3 或 1 ,b = 0 。

10.多项式 6 x2 ? 5xy ? y 2 ?12x ? 2 y ? 48 因式分解的结果是 (2 x ? y ? 8)(3x ? y ? 6) 。 提示:十字相乘法 11.若方程| x 2 – 4 x + 3 | – x = a 有三个不相等的实数根,则 a = ?1 或 ? 提示:图象法 12.函数 y ? 提示: y ?

3 。 4

x ? 2 ? x ?1 的最大值是 3 。
x ? 2 ? x ?1 ? 3 x ? 2 ? x ?1

三 解答题 13(本小题满分 20 分) 已知 a ? 0, a ? 1, 试求使方程 log a ( x ? ak ) ? log
a2

( x 2 ? a 2 ) 有解的 k 的取值范围

王新敞
奎屯

新疆

解:由对数函数的性质可知,原方程的解 x 应满足

?( x ? ak) 2 ? x 2 ? a 2 , (1) ? (2) ? x ? ak ? 0, 2 2 ? x ? a ? 0. (3) ?
当(1) , (2)同时成立时, (3)显然成立,因此只需解

?( x ? ak) 2 ? x 2 ? a 2 , (1) ? (2) ? x ? ak ? 0,
由(1)得 2kx ? a(1 ? k 2 )

(4)
王新敞
奎屯 新疆

当 k=0 时,由 a>0 知(4)无解,因而原方程无解 当 k≠0 时, (4)的解是

1(1 ? k 2 ) x? . 2k

1? k2 (5) ,把(5)代入(2) ? k. ,得 2k

解得: ? ? ? k ? ?1或0 ? k ? 1.

综合得,当 k 在集合 (??,?1) ? (0,1) 内取值时,原方程有解 14(本小题满分 20 分)
2 2 已知 A ? t ? s t , s ? B ,且 x, y ? A

王新敞
奎屯

新疆

?

?

(1)若 B ? Z ,求证: xy ? A (2)若 B ? Q ,且 y ? 0 ,求证:

y ?A x

(1)证明:因为 B ? Z ,且 x, y ? A , 所以可设 x ? m2 ? n2 , y ? p2 ? q2 ,其中 m, n, p, q ? Z 因为 xy ? (m2 ? n2 )( p2 ? q2 ) ? (mp)2 ? (mq)2 ? (np)2 ? (nq)2 ? (mp ? nq)2 ? (np ? mq)2 而 m, n, p, q ? Z ? (mp ? nq),(np ? mq) ? Z 所以 xy ? A (2)证明:因为 B ? Q ,且 x, y ? A , 所以可设 x ? m2 ? n2 , y ? p2 ? q2 ,其中 m, n, p, q ? Q 因为

x xy (m2 ? n2 )( p 2 ? q 2 ) (mp ? nq)2 ? (np ? mq)2 mp ? nq 2 np ? mq 2 ? 2? ? ?( 2 ) ?( 2 ) 2 2 2 2 2 2 y y (p ?q ) (p ?q ) p ? q2 p ? q2
而 m, n, p, q ? Q ? (

mp ? nq np ? mq ), ( 2 ) ?Q p2 ? q2 p ? q2

所以

y ?A x

15(本小题满分 20 分) 已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点

N , 且 AB 是 ?NBC 的外接圆的切线, 设

BC BM ? ? , 试求 (用 ? 表示) BN MN
A

王新敞
奎屯

新疆

M B D

N C

证明:在 ?BCN 中,由 Menelaus 定理得 因为 BD ? DC ,所以

BM NA CD ? ? ?1 MN AC DB

王新敞
奎屯

新疆

BM AC ? MN AN

王新敞
奎屯

新疆

由 ?ABN ? ?ACB ,知
2

?ABN ∽ ?ACB ,则

AB AC CB ? ? AN AB BN

王新敞
奎屯

新疆

AB AC ? CB ? 所以, ? ?? ? , 即 AN AB ? BN ?
2

AC ? BC ? ?? ? AN ? BN ?

2
王新敞
奎屯 新疆

因此,

BC BM BM ? BC ? ??, 故 ? ?2 ?? ? . 又 BN MN MN ? BN ?

王新敞
奎屯

新疆

高中二年级样题
一 选择题(每小题 5 分,共 30 分)
2 2 2 1.已知 A ? x f ( x) ? x ? 1 , B ? f ( x ) f ( x ) ? x ? 1 , C ? f [ f ( x )] f ( x ) ? x ? 1 ,则下

?

?

?

?

?

?

列结论正确的是(D ) (A) A ? B ? C (B) A ? B ? C

(C) A ? B ? C

(D) A ? B ? C

2. 设 1 < a < b < a 2, 则在四个数 2, log a b, log b a, log a b a 2 中, 最大的和最小的分别是 ( A ) (A)2,log b a 令 a ? 2, b ? 3 ,则 (B)2,log a b a 2 (C)log a b,log b a (D)log a b,log a b a 2

loga b ? log2 3 ? (1, 2),logb a ? log3 2 ? log9 4 ? (0,1),logab a2 ? log6 4 ? log9 4
故选 A 3.圆 x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1 上任意一点 P ( x,y )都满足 x + y + c ≥ 0,则 c 的取值范围是( C ) (A)( – ∞,0 ] (B)[ 2 ,+ ∞ ) (C)[ 2 – 1,+ ∞ ) (D)[ 1 – 2 ,+ ∞ )

4.不等式 1 ? log 2 x > 1 – log 2 x 的解是( B ) (A)x ≥ 2 (B)x > 1 (C)1 < x < 8 (D)x > 2

?1 ? log 2 x ? 0 ?1 ? log 2 x ? 0 ,或 1 ? log 2 x ? 1 ? log 2 x ? ? ? 2 ?1 ? log 2 x ? 0 ?1 ? log 2 x ? (1 ? log 2 x)

? 0 ? log2 x ? 1 ,或 log2 x ? 1 ,故选 B
5.棱长为 2 3 的正四面体内切一球,然后在它四个顶点的空隙处各放入一个小球,则这些的 最大半径为 (C ) (A) 2 (B)

2 2

(C)

2 4

(D)

2 6

如果正四面体的棱长为 a ,则根据正四面体的性质和球的性质可计算出正四面体的内切球半径 为

6 a (正四面体的内切球的球心将高四等分) ,后放入小球是一个新正四面体的内切球,且 12

新正四面体的高为原正四面体的高减去其内切球的直径,所以新正四面体的高为

6 6 6 1 6 2 a ? 2? a? a ,进而得到所求球的半径为 ? ?2 3 ? 3 12 6 4 6 4

6.函数 y = x2 ? 4 + x2 ? 2x ? 10 的最小值是( D ) (A)2 5 (B)2 6 (C) 17 (D) 26

y = x2 ? 4 + x 2 ? 2 x ? 10 ? ( x ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? ( x ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? (1 ? 0) 2 ? (3 ? 2) 2 二 填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7.已知函数 y ? x2 ? 2x ? 3 ,当 x ? [?2, a) 时的值域是 [?4,5] ,则 a ? [1,4] 。 8.函数 y ?

x2 ( x ? 1) 的最大值是 0 。 x ?1

y?

x2 x2 ?1 ? 1 1 ? ? x ?1? ? 2 ? ?2 ? 2 ? 0 x ?1 x ?1 x ?1
2n (n= 1,2,3,? ) ,则数列{ b n } an ? an ?1

9.已知数列{ a n }的通项公式是 a n = 2n ? 1 ,b n =

的前 n 项和 Sn ? bn=

2n?1 ?1 ?1

2n 2n ? ? 2n?1 ? 1 ? 2n ? 1 n n ?1 an ? an?1 2 ?1 ? 2 ?1

所以 S n ?

2n ?1 ? 1 ? 1

10.若方程| x 2 – 4 x + 3 | – x = a 有三个不相等的实数根,则 a = ?1 或 ?

3 。 4

11.已知直线 l1 的方向向量是 a ? (?1, m ? n) ,直线 l2 的斜率是 m ? n ? 1 ,
2

直线 l3 斜率是 n ? m ?
2

?
2

。其中 m, n 都可取任何实数,则三条直线中倾斜角为钝角的条数的最

大值是 2 。 因为三条直线的斜率之和

? ?(m ? n) ? (m 2 ? n ? 1) ? (n 2 ? m ? ) ? (m ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ? ? 1 ? 0 2 2
所以至多有两条直线的斜率小于零。 12.给出下列 5 个命题: (1) 函数 f ( x ) ?

?

?

1 ? x2 是奇函数; x?2 ?2

(2) 函数 f ( x ? a)与f (a ? x) 的图象关于 y 轴对称; (3) 函数 f ( x ) 与 f ( x ? 1) 的值域一定相等,但定义域不同; (4) 互为反函数的两个函数的图象若有交点,则交点不一定在直线 y ? x 上; (5) 若函数 f ( x ) 存在反函数,则在其定义域内一定单调 其中正确命题的题号是___(1) 、 (4)__ 三 解答题 13(本小题满分 20 分) 定义在 (??, ??) 上的减函数 f ( x ) 也是奇函数,且对一切实数 x , 不等式 f [(m ? 2)sin x ? 2cos 2 x] ? f (? sin x cos 2 x ? sin 2 x ? 2m) ? 0 恒成立。 求实数 m 的取值范围。 分析:根据题设,可以将 f [(m ? 2)sin x ? 2cos 2 x] ? f (? sin x cos 2 x ? sin 2 x ? 2m) ? 0 等价 转化为可分离参数的不等式形式。 解:因为 f ( x ) 是奇函数 所以不等式可化为 f [(m ? 2)sin x ? 2cos 2x] ? f (sin x cos 2x ? sin 2 x ? 2m) 又因为 f ( x ) 在 (??, ??) 上是减函数 不等式可进一步化为 (m ? 2)sin x ? 2cos 2 x ? sin x cos 2 x ? sin x ? 2m
2

即 (2 ? sin x)m ? (2 ? sin x)(cos 2 x ? sin x) 因为对一切实数 x ,都有 ?1 ? sin x ? 1 ,所以 2 ? sin x ? 0 进而得到 m ? cos 2 x ? sin x 令 y ? cos 2 x ? sin x ,则 y ? 1 ? 2sin x ? sin x ? ?2(sin x ? ) ?
2 2

1 4

9 8

而 ?1 ? sin x ? 1 ,所以当 sin x ? ?1 时, ymin ? ?2 所以实数 m 的取值范围是 m ? ?2 14(本小题满分 20 分)
2 2 已知 A ? t ? s t , s ? B ,且 x, y ? A

?

?

(1)若 B ? Z ,求证: xy ? A

(2)若 B ? Q ,且 y ? 0 ,求证:

y ?A x

(1)证明:因为 B ? Z ,且 x, y ? A , 所以可设 x ? m2 ? n2 , y ? p2 ? q2 ,其中 m, n, p, q ? Z 因为 xy ? (m2 ? n2 )( p2 ? q2 ) ? (mp)2 ? (mq)2 ? (np)2 ? (nq)2 ? (mp ? nq)2 ? (np ? mq)2 而 m, n, p, q ? Z ? (mp ? nq),(np ? mq) ? Z 所以 xy ? A (2)证明:因为 B ? Q ,且 x, y ? A , 所以可设 x ? m2 ? n2 , y ? p2 ? q2 ,其中 m, n, p, q ? Q 因为

x xy (m2 ? n2 )( p 2 ? q 2 ) (mp ? nq)2 ? (np ? mq)2 mp ? nq 2 np ? mq 2 ? 2? ? ?( 2 ) ?( 2 ) 2 2 2 2 2 2 y y (p ?q ) (p ?q ) p ? q2 p ? q2
而 m, n, p, q ? Q ? (

mp ? nq np ? mq ), ( 2 ) ?Q p2 ? q2 p ? q2

所以

y ?A x

15(本小题满分 20 分) 已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点

N , 且 AB 是 ?NBC 的外接圆的切线, 设

BC BM ? ? , 试求 (用 ? 表示) BN MN

王新敞
奎屯

新疆

A

M B D

N C

证明:在 ?BCN 中,由 Menelaus 定理得

BM NA CD ? ? ?1 MN AC DB

王新敞
奎屯

新疆

因为 BD ? DC ,所以

BM AC ? MN AN

王新敞
奎屯

新疆

由 ?ABN ? ?ACB ,知
2

?ABN ∽ ?ACB ,则

AB AC CB ? ? AN AB BN

王新敞
奎屯

新疆

AB AC ? CB ? 所以, ? ?? ? , 即 AN AB ? BN ?
2

AC ? BC ? ?? ? AN ? BN ?

2
王新敞
奎屯 新疆

BC BM BM ? BC ? ??, 故 ? ?2 因此, ?? ? . 又 BN MN MN ? BN ?

王新敞
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高中数学创新小论文要求及范文
一、 论文形式:科学论文 科学论文是对某一课题进行探讨、研究,表述新的科学研究成果或创见的文 章。 注意:它不是感想,也不是调查报告。 二、 论文选题:新颖,有意义,力所能及

要求: 1. 有背景. 应用问题要来源于学生生活及其周围世界的真实问题,要有具体的对象和真 实的数据。理论问题要了解问题的研究现状及其理论价值。要做必要的学术 调研和研究特色。 2. 有价值. 有一定的应用价值,或理论价值,或教育价值,学生通过课题的研究可以掌 握必须的科学概念,提升科学研究的能力。 3. 有基础 对所研究问题的背景有一定了解,掌握一定量的参考文献,积累了一些解决 问题的方法,所研究问题的数据资料是能够获得的。 4. 有特色 思路创新,有别于传统研究的新思路; 方法创新,针对具体问题的特点,对传统方法的改进和创新; 结果创新,要有新的,更深层次的结果。 5. 问题可行 适合学生自己探究并能够完成, 要有学生的特色, 所用知识应该不超过初中 生(高中生)的能力范围。 三、 (数学应用问题)数据资料:来源可靠,引用合理,目标明确

要求:

1.数据真实可靠,不是编的数学题目; 2.数据分析合理,采用分析方法得当。 四、 (数学应用问题)数学模型:通过抽象和化简,使用数学语言对实际问题

的一个近似描述,以便于人们更深刻地认识所研究的对象。 要求: 1.抽象化简适中,太强,太弱都不好; 2.抽象出的数学问题,参数选择源于实际,变量意义明确; 3.数学推理严格,计算准确无误,得出结论; 4.将所得结论回归到实际中,进行分析和检验,最终解决问题,或者提出建设 性意见; 5.问题和方法的进一步推广和展望。 五、 (数学理论问题)问题的研究现状和研究意义:了解透彻

要求: 1.对问题了解足够清楚,其中指导教师的作用不容忽视; 2.问题解答推理严禁,计算无误; 3.突出研究的特色和价值。 六、 论文格式:符合规范,内容齐全,排版美观

1. 标题: 是以最恰当、最简明的词语反映论文中主要内容的逻辑组合。 要求:反映内容准确得体,外延内涵恰如其分,用语凝练醒目。 2. 摘要: 全文主要内容的简短陈述。 要求: 1)摘要必须指明研究的主要内容,使用的主要方法,得到的主要结论和成果; 2)摘要用语必须十分简练,内容亦须充分概括。文字不能太长,6000 字以内 的文章摘要一般不超过 300 字; 3)不要举例,不要讲过程,不用图表,不做自我评价。 3. 关键词:文章中心内容所涉及的重要的单词,以便于信息检索。 要求:数量不要多,以 3-5 各为宜,不要过于生僻。

4. 正文 1)前言: 问题的背景:问题的来源; 提出问题:需要研究的内容及其意义; 文献综述:国内外有关研究现状的回顾和存在的问题; 概括介绍论文的内容,问题的结论和所使用的方法。 2)主体: (数学应用问题)数学模型的组建、分析、检验和应用等。 (数学理论问题)推理论证,得出结论等。 3)讨论 解释研究的结果,揭示研究的价值, 指出应用前景, 提出研究的不足。 要求: 1)背景介绍清楚,问题提出自然; 2)思路清晰,涉及到得数据真是可靠,推理严密,计算无误; 3)突出所研究问题的难点和意义。 5. 参考文献: 是在文章最后所列出的文献目录。 他们是在论文研究过程中所参考引用的主 要文献资料,是为了说明文中所引用的的论点、公式、数据的来源以表示对前 人成果的尊重和提供进一步检索的线索。 要求: 1)文献目录必须规范标注; 2)文末所引的文献都应是论文中使用过的文献,并且必须在正文中标明。

示范小论文:

演出收入计税的数学模型
[内容提要] 本文运用了 Y=aX+b 这一最基本的函数,通过建立数学模型,简化 了比较复杂的演出收入计算个人所得税的问题。

[关键词] 演出收入个人所得税数学模型

问题的提出 我的表姐是一个演员,每次演出的收入较高,但是她总觉得缴纳个 人所得税的计税方法太复杂,到底要缴多少税,心里没底。为了帮表姐 解决这个问题,我上网查证了计税方法,询问了税务局的专家,通过分 析后发现,运用 Y=ax+b 这一最基本的函数,通过建立相应的数学模型, 可以简化比较复杂的演出收入计算个人所得税的问题。 一、由演出者缴税的数学模型 (一) 、税法规定的数学模型 个人所得税税法规定,演出收入要在减去一定费用,计算出应纳税 所得额以后,再按规定税率来计算应纳税额。 假设:应纳税额为 Y 元,总收入为 M 元,应纳税所得额为 X 元,税 率为 Z。则 Y=XZ。这个关系式中,有两点需要说明: 1.这里的应纳税所得额 X,是在获得的总收入 M 的基础上扣除一定 费用后的余额。税法规定,费用的扣除标准如下: (1) 当 M≤4000 时,费用扣除额为 800 元,即 X=M-800. (2) 当 M>4000 时,费用扣除额为收入的 20%,即 X=M-20%M=0.8M 2.这里的税率 Z 规定如下表(见表 1)

表1 出 入 人 得

级数 1 2 3

X(每次应纳税所得额) 不超过 20000 元(含)的部分 超过 20000 元至 50000 元 (含) 的部分 超过 50000 元的部分

Z(税率%) 20 30 40

演 收 个 所 税

税率表 该税率表在税法里有一个术语,叫三级超额累进税率。即:它将收 入分为三段,每段的税率分别不同,收入越高,税率越高。如果用数学 的术语来表达的话,它是一个分段函数: 1、如果 X≤20000 则 Y=20%X 2、如果 50000≥X>20000 则 Y=20000×20%+(X 一 20000)×30% 3、如果 X>50000 则 Y=20000×20%十(50000—20000)×30%+(X 一 50000)×40% 上述表达式告诉我们,计算个人所得税时,应先根据 M 计算出 X, 再根据 X 找出相应的 Z,最后将 X 进行分段,再计算出应纳税额 Y。 数学模型的应用: 问题 1:甲演员到杭州演出一场,收入 3000 元,应缴纳多少个人所 得税? 1、∵M=3000 元<4000 ∵X=M-800=3000—800=2200 元 2、∵X<20000 ∴Y=20%X= 2200×20%=440 元 问题 2:乙演员到杭州演出一场,收入 100000 元,应缴纳多少个人

所得税? 1、∵M=100000 元>40000 ∴X=0.8M=0.8×100000=80000 元 2、∵X>20000 ∴Y=20000×20%+(50000-20000)×3O%+(X 一 50000)×40% =20000×20%+(50000-20000)×30%+(80000—50000) ×40% =25000 元 从以上这些例子我们发现,在超额累进税率 F,分段计税确实比较 复杂。我们能不能找出简单一点的计算方法呢? (二)化简数学模型 我们将上面的分段函数进行化简: 1、如果 X≤20000 则 Y=200%X,这已经很简单了,不需要再化简。 2、如果 50000≥X>20000 则 Y=20000×20%+(X-20000)×30%=30%X-2000 3、如果 X>50000 则 Y=20000×20%+(50000-20000)×30%+(X-50000)×40% =40%X 一 7000 分析上述三个化简后的式子,我们可以得出以下两个结论: 1、应纳税额 Y 等于应纳税所得额 X 与相应税率 Z 的乘积减去一个 常数。假设此常数为 C,则 Y=XZ-C。 2、可以把税率表(表 1)改写成表 2 表2
级数 1 2

演出收入个人所得税税率表
X(每次应纳税所得额) 不超过 20000 元(含)的部分 超过 20000 元至 50000 元(含)的部分 Z(税率%) 20 30 C(常数) 0 2000

3

超过 50000 元的部分

40

7000

上述结论告诉我们,计算个人所得税时,应先根据 M 计算出 X,再 根据 X 找出相应的 Z 和 C,代入关系式 Y=XZ-C,就可以直接得出结 果了。 数学模型的应用: 问题 3 资料同问题 1。

1、∵M=3000 元<4000 ∴X=M-800=3000-800=220 元 2、∵X<20000,则 Z=20%,C=O ∴Y=XZ-C=2200×20%-0=440 元 问题 4 资料同问题 2。

1、∵M=100000 元>40000 元 ∴X=0.8M=0.8×100000=80000 元 2、∵X>50000,则 Z=40%,C=7000 ∴Y=XZ-C=80000×40%-7000=25000 元 这样计算就简单多了! (三)再化简数学模型 经过化简后,计算确实简单了许多,但它还需要转个弯,M 的前提 下,只有换算成 X 后才能计算税款。能不能直接用 M 来: 答案是肯定的。因为 M 与 X 之间存在着密切的关系。下面我佃 1、当 M≤4000 吋.则 X=M-800,Z=20%.C=0,代入 Y=XZ-C 那么,Y=(M 一 800)×20% = 0.2M-160 令 Y=0,即 0.2M-160=0,得 M=800 所以,M 的取值范围为:800<M≤4000 即当 800<M≤4000 时,Y=0.2M-160

2、当 M>4000 时,X=O.8M,按照 X 的取值范围分三种情况 (1)如果 X≤20000,则 Z=20%,C=O,代入 Y=XZ-C, 那么,Y=20%X-0=0.2×0.8M=0.16M 令 X=20000,得 M=X÷0.8=20000÷0.8=25000 所以,M 的取值范围为 4000<M≤25000 即当 4000<M≤25000 时,Y=0.16M (2)如果 50000≥X>20000,则 Z=30%,C=2000,代入 Y=XZ-C 那么,Y=30%X-2000=0.3×0.8M-2000=0.24M-2000=0.24M-2000 令 X=50000,得 M=X÷0.8=50000÷0.8=62500 所以,M 的取值范围为:25000<M≤62500 即,当 25000<M≤62500 时,Y=0.24M-2000 20000,得 M:X÷O 8:20000÷0 8:25000 (3)如果 X>50000,则 Z=40%,C=7000,代入 Y=XZ-C 那么,Y=40%X-7000=0.4×0.8M-7000=0.32M-7000 M 的取值范围为 M>625000 即,当 M>625000 时,Y=0.32M-7000 通过观察上述式子,我们可以发现,他们都变成了一次函 数:Y=aM-b。将上述推导结果整理成下表(表 3)

表3
级数 1 2 3 4

演出收入个人所得税计税系数表
X(每次总收入) 超过 800 元至 4000 元(含)的 超过 4000 元至 25000 元(含)的 超过 25000 元至 62500 元(含)的 超过 62500 元的 a 0.2 0.16 0.24 0.32 b 160 0 2000 7000

问题 5:资料同问题 1

∵M=3000 元<4000,则 a=0.2,b=160 ∴Y=aM-b=0.2×3000—160=440 元 问题 6:资料同问题 2 ∵M=100000 元,M>62500,则 a=0.32,b=7000 ∴Y=aM—b=0.32×100000—7000=25000 元 这样的计算就更简单了! 二、由举办方代付税款的数学模型 问题 2 中乙到杭州演出一场,总收入为 100000 元,缴了 25000 元 个人所得税后, 税后净收入只有 75000 元了。 她觉得报酬太低, 不合算。 于是丙到演出举办单位签订协议,要求演出的税后净收入为 100000 元, 即个人所得税由演出举办者承担.那么,举办者代为缴纳的个人所得税 是不是 25000 元呢? (一)税法规定的数学模型 假设:税后净收入为 N,举办者为演员代付款为 Y,演出举办方实 际支出为 M,M 也就是演出者的总收入。显然 M=Y+N。这意味着计算代付 税款时, 应当将举办者支付给演员的的税后净收入 N(或称不含税支付额) 换算为总收入 M,按规定扣除费用后得巾应纳税所得额 X,然后按规定 税率 Z 计算出应代付的个人所得税款 Y。 现在 N 是已知条件,我们只要建立起以 N 为自变量、丫为因变量的函 数关系式,并且将表面化中的 X 换算成 N,就可确定 Z,计算出 Y。 根据费用扣除规定和表面化的信息,推导如下: 1、当 M≤4000 时,X=M-800,将 X=M-800,代入 Y=XZ-C 那么,Y=(M-800)Z-C =(Y+N-800)Z-C,经整理可得: Y=
NZ ? 800 Z ? C 1? Z

下面确定 N 的取值范围。 当 M≤4000 时,Z=20%,C=0

令 Y=0,即

NZ ? 800 Z ? C =0,则 N=800。 1? Z

令 M=4000,即 Y=XZ—C=(4000—800)×20%-0=640 元, N=M—Y=4000—640=3360 元。 即:与 M=4000 元相对应值为 3360 元。 也就是说,当 3360≥N>800 时,按 Y= 此时,Z=20%,C=0。 2、当 M>4000 时,X=0.8M 那以,Y =XZ-C =0.8MZ-C =0.8(Y+N)Z-C 经整理可得: Y=
0.8 NZ ? C 1 ? 0.8Z NZ ? 800 Z ? C 来计算税款。 1? Z

下面分别就 X 的三种取值范围来确定 N 的对应取值范围。 (1)当 X=20000 元时,Y=XZ-C=20000×20%-0=4000 元 M=X÷0.8=20000÷0.8=25000 元 N=M-Y=25000-4000=20111 元。即:与 X=2000 元相对应的 N 值为 21000 元。 也就是说,当 21000≥N>3360 时,按 Y= 时,Z=20%,C=0。 (2)当 X=50000 元时,Y=XZ-C=50000×30%-2000=13000 元 M=X÷0.8=50000÷0.8=62500 元,N=M-Y=62500-13000=49500 元, 即:与 X=50000 元相对应的 N 值为 49500 元。 也就是说,当 49500≥N>21000 时,按 Y= 时,Z=30%,C=2000。 (3)显然,当 N>49500 时,按 Y=
0.8 NZ ? C 来计算税款。此时, 1 ? 0.8Z 0.8 NZ ? C 来计算税款。此 1 ? 0.8Z 0.8 NZ ? C 来计算税款。此 1 ? 0.8Z

Z=40%,C=7000 元。
级数 1 2 3 4 N(不含税演出收入) 超过 800 元至 3360 元(含)的 超过 3360 元至 21000 元(含)的 超过 21000 元至 49500 元(含)的 超过 49500 元的 Z(税率%) 20 20 30 40 C(常数) 0 0 2000 7000

根据上述推导,可以把税率表(表 2)改写成下表(表 4) 表4 不含演出收入适用税率表

问题 7:丙演员到杭州演出一场,按照合同规定,举办方应支付歌 星报酬 3000 元,与其报酬相关的个人所得税由举办方代付。计算应代 付的个人所得税税额。 1、∵N=3000<3360,则 Z=20%,C=0 2、∴Y=
NZ ? 800 Z ? C 3000 ? 20% - 800 ? 20% - 0 = =550 元 1? Z 1 ? 20%

现在,我们知道了由演员自己缴税和演出举办方代付税款的计算方 法是不一样的。但是,这样的计算比较复杂,能否再简化点呢? (二)化简数学模型 观察表 4 可知,Z 和 C 虽然随着 N 的变化而变化,但当 N 确定后, Z 和 C 就变为常数了。所以,我们将 Z 和 C 代入式子 Y=
NZ ? 800 Z ? C 0.8 NZ ? C 或 Y= 就可以进行化繁为简了。 1? Z 1 ? 0.8Z NZ ? 800 Z ? C N ? 20% ? 800 ? 20% ? 0 N = = ? 200 1? Z 1 ? 20% 4 0.8 NZ ? C 0.8 N ? 20% ? 0 4 N ? = 1 ? 0.8Z 1 ? 0.8 ? 20% 21 0.8 NZ ? C 0.8 N ? 30% ? 2000 6 N ? ? 2631 .58 = 1 ? 0.8Z 1 ? 0.8 ? 30% 19

1、当 N≤3360 时,Z=20%,C=0 那么,Y=

2、当 21000≥N>3360 时,Z=20%,C=0 那么,Y=

3、当 49500≥N>21000 时,Z=30%,C=2000 那么,Y=

4、当 N>49500 时,Z=40%,C=70000 那么,Y=
0.8 NZ ? C 0.8 N ? 40% ? 7000 8 N ? ? 10294 .12 = 1 ? 0.8Z 1 ? 0.8 ? 40% 17

通过观察上述式子,我门可以发现,它们都变成了一次函数:
级数 1 不含税劳务报酬收入 未超过 3360 元(含)的 A B 200

1 4 4 21 6 19 8 17

2

超过 3360 元至 21000 元(含)的

0

3

超过 21000 元至 49500 元(含)的

2631.58

4

超过 49500 元的

10294.12

Y=An-b。 将上述推导结果整理成下表(见表 5) 表5 不含演出收入计税系数表

数学模型的应用: 问题 8:资料同问题 7 1、∵N=3000<3360,则 a= 2 、Y= 结论 综上所述,不论是由演出者付税,还是由演出举办者代付税,都可 以运用 Y=Ax+b 来计算个人所得税。只要稍微懂点函数知识的人,利用 本文介绍的方法,计算个人所得税就易如反掌了。
N 3000 ? 200 ? ? 550 元—200 4 4 ? 200 1 ,b=200 4



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