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2.2.3向量数乘运算及其几何意义第1课时修改



1.向量加法三角形法则: 特点:首尾连连首尾 C ? ? ? a?b b
A

2.向量加法平行四边形法则:
B

? a
? ? ?a ?b b

C 特点:共起点

? b

? a

B

O
<

br />? a

A

? a

3.向量减法三角形法则:

? b

B

? A b 特点:首相连尾相接指被减

O

? a

??? ? ? ? BA ? a ? b

2.2.3向量的数乘运算 及其几何意义

学习目标: ? 1、掌握向量数乘的定义及长度 与方向的规定; ? 2、掌握向量数乘的运算律; ? 3、掌握向量共线定理及会应用 (判定两向量是否共线)。

讲授新课 ? ? ? ? ? ? ? 思考题1:已知向量 a, 如何作出 a ? a ? a 和(?a) ? (?a) ? (?a)?
? a ? a ? a ? a ? ?a ? ?a ? ?a

? ? ? ? (1)向量 3a 的方向与 a 的方向相同, 向量 3a 的长度是 a ? ? 的3倍,即 3a ? 3 a . ? ? ? ? (2)向量?3a 的方向与 的方向相反, 向量?3a的长度是 a ? ? a 的3倍,即 ?3a ? 3 a .

? ? ? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? ? ? 记: a ? a ? a ? 3a OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ? a ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? 即: OC ? 3a. 同理可得: PN ? (?a) ? (?a) ? (?a) ? ?3a ? ? ? 思考题2: ? 向量 3a 与向量 a 有什么关系? 向量 ?3a 与向量 a 有什么关系?

O

A

B

C

N

M

Q

P

定义:
一般地,实数λ与向量a的积是一个向量, 这种运算叫做向量的数乘运算,记作λ , 它的长度和方向规定如下: ? a

? a

? ? 大小 (1) |λ a|=|λ| | |a ? ? (2) 当λ>0时,λ 的方向与 a a方向相同;方向 ? ? 当λ<0时,λ a 的方向与 a 方向相反; ? ? ? ? 特别地,当λ=0或 a = 0 时, λ = a 0
? a ? a

? ? ? ? 思考:(1) 3 ?(2a) 6a ?? (3?? 2)a ? ? 6a ??? ? ? 2a ? 3a ? ? (2) (2 ? 3)a ? 5a 5a (3) 2(a+b)=? 2a+2b=?
数乘向量的运算律:

(2 ? 3)a ? 2a ? 3a 2(a+b) = 2a+2b

? ? 3 ? (2a) ? ? ? (3?? 2)a

设 ? , ? 为实数,那么 ? ? (1)?(?a) ? (?? )a ? ? ? (2)(? ? ?)a ? ?a ? ?a ? ? ? ? (3)?(a ? b) ? ?a ? ?b

以上通过 作图可验证

? ? ? ? ? ? ? ? ? b) ? a ? 5b 例1.计算: (1)(?3) ? 4a ??12a(2)3(a ? b) ? 2(a ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)(2a ? 3b ? c) ? (3a ? 2b ? c) ? ?a ? 5b ? 2c

当堂训练:P90练习第5题

思考:
? 引入向量数乘运算之后,你能 发现数乘向量与原向量之间的位置 关系吗?

? ? 向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 ? ? 有唯一一个实数λ,使得 b =λ a。

? 思考:1) a 为什么要是非零向量? ? 2) b 可以是零向量吗?
? a

课堂总结

1.实数与向量可以相乘,其积仍是向量, 但实数与向量不能相加、相减.实数除 以向量没有意义,向量除以非零实数就 是数乘向量. 2.若λ a=0,则可能有λ =0,也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律,不是规定,而是 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线,直线平行,线段 数量关系的理论依据.

当堂检测: ? P90练习第1-3题。

?

作业:

? P91A组第9、10题。

???? ??? ? ??? ? ??? ? 如图,已知AD ? 3AB , DE ? 3BC , ??? ? ??? ? 试判断AC与AE是否共线。
E C A B D

1 N在线段BD上,且有BN= BD,求证:M、N、C 3
三点共线。 提示:设AB = a BC = b

如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB中点,点

1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+ b 2
A

D

C

N M B

小结:
一、①λ

a 的定义及运算律 (a≠0)

②向量共线定理

b=λa

向量a与b共线

二、定理的应用: 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:

A,B,C三点共线

AB=λCD

AB∥CD

AB与CD不在同一直线上

直线AB∥直线CD

(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向 量),并进行比较。 (2) 已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b, 并进行比较。 ? ? a 3(2a )
? ? 3(2a ) = 6 a

? b

? a

? ? a ?b

? ? 2a ? 2b

? 2b

? ? ? ? 2(a ? b ) ? 2a ? 2b

? 2a

实际背景
一物体作匀速直线运动 ,一秒钟的位移对应 向量a, 那么在同方向上 3秒的位移对应的向量 用3a表示,试画出该向量。

a
3a
在物理中位移与速度的关系:s=vt,力与 加速度的关系:f=ma. 其中位移、速度,力、加速度都是向量, 而时间、质量都是数量



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