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一道陈省身杯数学奥林匹克竞赛题的多角度探究与推广



?

课 外园地 ?  

教学通讯 —— 2 o l 1年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

1 1 9  



道 陈省身 杯 数 学 奥林 匹克 竞  赛 题 的多 角 度探 究 与推 广 
侯典峰  
( 黑 龙 江 省 大 庆 实 验 中学 ,

1 6 3 3 1 6 )  

题 目  设 正 实 数 口, b , c 满 足 n。 +b 。 +c 。 =3 ,  

证 明 :   南

+   南

+   南

≥ 1 .  

即  
同理得 

≥ 一 号 n 2 一 告 口 + 吾 ,  
≥一 可 1   6 。 一可 1 。 十可 5
,  

此题 是 2 0 1 0 年第 一届 陈省身 杯全 国高 中数学 

奥林 匹克第 6 题, 文[ 1 ]已给 出其 三 种 证 法 , 本 文  拟从不 同 的角度 给 出六种 证法 , 并进 行一 般推 广.  
证明 1   由均值不 等式可 知 
n  4 -口+ 1 = n ? n ?1   4 - n ?1?1+ 1  

≤ 

+生   盟 4 - 1 一口 。 +2

南 ≥ 一 告 c 2 一 号   十 吾 ,   故 南 +   + 南   ≥ 一 告 ( 口   + 6 。 4 - d ) 一 可 1 ( 口 + 6 + f ) + 了 5  
≥ 1 .  

,  

所 以   南
1   、 

≥  
1  

, 同 理 可 证  
1   、 
1  

证明 3   由证 明 2知 a   4 - b   +  ≤ 3 , n   4 - b  
+ f≤ 3 .  



’  

+ 2 ‘  

设 M 一 南


+ 南

+ 南

,  

再 结合柯 西不 等式 可知 

N = ( 口 。+ 口4 -1 )+ ( 6   +6   4 - 1 )4 -( f 。4 - f   4 -1 ) .  

L +,   — L +——   一  口   + 口+ 1 ‘ b   +6+ 】 ’ f 。 干f 干i  
—   —

则由A M —G M 不 等式 , 得到 以下 3 个 不等式 
0+ 口4 -1  
M   1  

≥ 南 + 南 + 南 
≥ 
0  
一  

+  

、   z √丽 厂广  
’  

(   1 - I   -1   4 -   1 ) 干 z  

b 。4 -b   4 -1  
M  

+ 十   — ]   一  z ≥ 2 √ ^ 、 / 工 I 一, V l N ,  
、  r 
丽  ’  

矗 
— —

1 .  
  ~  

1  

证明 2   由幂 平 均 不 等 式 得 

c  4 -c   4 -1   十   M 

(  

) 击≤ (   口 。4 - b 。 4 -  ) 寺= 1 。  

以上 3个不 等式 的两边 分别相 加 , 得 
2 :  M
十 

即n 。 十b  + f 。 ≤ 3 , 一( 口  4 - b 。 4 -c 。 )≥ 一 3 .  

N≥ 6  


Ml V>  ̄ 9,  

类 似 地 , 由 半
又由   + 

≤ (   ± 等 - 二 ±   ) { 一 1 ,  

从 而  M ≥  9 — 


得 n   4 - b   4 -c≤ 3, 口4 -b   4 - f≥ 一 3 .  

9  

( ’ 。 a 。   2 ‘   。 。 " 4 。 。 ‘ —   b 。 。 z 。 ’ ’ " 4 。 — ‘ ‘ 。 c ’ 。 。 2 ’ — ) — 。 ’ 。 " 4 。 。 。   —   ‘ ( 。 。 a 。 。 。 . 4 ‘   。   。 。 b 。 。 。 . 4   — ‘ ‘ 。 — c — — ) — ‘ ‘ ‘ - 4 — — — — — 3  
0 

≥ — 3   - 4 —3   -3 4  

I ?  

≥ 2 √ 南
得  

? a T Z   . 4 a   . 4 1 一 了 2 ,  
,  

证明 4   先证 明 : 当 z> 0时 ,  

≥ 号 一  

而1 ≥ 一 ÷ z + 号 .  
欲证 明上 式 , 只需证 明( z一 2 ) ( z   4 - z4 - 1 ) 4 -  

1 2 0  

数 学通 讯 —— 2 O 1 1 年第 5 、 6期 ( 上 半 月)  

?课 外 园地 ?  

3≥ 0, 需 证 z。 一z 。一  + 1≥ 0 ,  

+6   +C 。 )≥ 一 3 ,  

即要 证 ( z一 1 ) 。 (  + 1 )≥ 0 , 上式 显 然成 立 ,  

当且仅 当 z一 1时取 到 等号.  

所 以 南

+  

+ 南
.  

 

于 是 有 南 ≥ 一 号 n + 号 ,   ≥一  6 +了 2 南 ≥ 一   c +   ,   所 以 南 +   + 南  


≥一 百 1( n+6 十c ) +  3≥ 1
证明 6   先证 明 : 当 z> O时 ,  



≥ 一  + 吾 .  

欲证 明上式 , 只需证 明 ( z 。 一4 ) ( z   + z+ 1 ) + 
9≥ 0 , 需证 z  + ‘+ 。 一4 x   一4 x+ 5≥ 0,  

≥一 ÷ ( 口+ b 十c ) +2 ,   又 由幂 平均 不等 式可知 口 +6 +C ≤ 3 , 一( 口+ 
b +c ) ≥一 3 , 所 以 
上   J- 一  

即要证 ( z一 1 ) 。 (   。 +3 x   +6 z +5 ) ≥0 , 上 式 

显然成 立 , 当且仅 当 . 2 7 = 1时取 到等号 .  

1  
一  

于 是 有  

≥ 一 告 n 。 + 吾 ,   6   + 1 6   + 1  

口  + 口+ 1   b  + b+ 1   c   + f+ 1  

≥一 ÷ ( n +b +f ) 十2≥ l _  
证明 5   先证明: 当 z> 0时 ,  

≥ 一 告 6 。 + 告 , 南 ≥ 一 号 c   + 吾 ,   所 以 志 +   + 南  
≥ 一 号 ( 口 。 +   + c 3 ) +   4 — 1 .  
应用上 述方 法还可证 明本 题 的一 般推 广.   推 广  已知 z   >0 ,  ,  均为 正整数 , 且 m≥  3 ,  ≥ 2 , 且 有  +z ; + … + 二 ‘ 一   . 则 
1  



/ > - 一 百 1   z   + 丢 .  

欲证 明上式 , 只需证 明( z   一3 ) ( z 。 + +1 ) + 
6≥ 0 , 需证 z   +. 2 7 。 一2 x   一3  + 3 ≥ 0 ,   即要 证 ( z一 1 ) 。 (   。 +3 x+ 3 ) ≥ 0 , 上 式 显 然 

成立, 当且 仅 当  一 1时取 到等号.  

于 是 有   可≥ 一 丢 a 。 + 丢 ,   b  十 6十 1  

1  

r   +x ? - 。  


+  



+   

上  

≥ 一 丢 6   + 专 , 南 ≥ 一 丢 c 。 十 号 ,   所 以 南 +   + 南  
≥ 一 丢 ÷ O   ( n 口   +。 b     + c 2 ) + 号 詈 .  
由幂 平 均 不 等 式 可 知 口   +b   +f   ≤ 3 , 一( n  
( 上接 第 1 1 8页 )  

: 『   + z 士    + … +   1 ≥ / ,   , l . ‘  
E J - 1 . 中等数 学 , 2 0 1 0 ( 9 ) .  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 0— 0 9— 2 8 )  

参 考文献 :  

E l - 1   第一 届 陈 省 身 杯 全 国 高 中数 学 奥 林 匹 克 

( 1+ n 。 ) ( 1+ b 。 ) ( 1+ c 。 )  


≥ ÷( 1 +a b c ) .  
证 明 
≤ 

l+ ( a 。 + 6 。 +c 。 )+ ( n 。   + 6 3 c 。+ c 3 口 。 )   + 口 。 b 。 c 3  

由 引 理 得 :如 果 a , b是 正 数 ,则 
, 于 是 

≥ 1+ 3 a b c十 3 a 。 b 。 f  十 a 。 b 。  


( 1+ a b c ) 。 ,  

( 1 + 口   ) ( 1+ b 。 ) ( 1+ C   )   ( 1+ 口 ) ( 1+ 6 ) ( 1+ c )  

所 以 



浮 .  
1  

.  
百 丽 .  

≥ ÷( 1 +a b c ) .  

2   .  
由均值 不等 式得 

( 收 稿 日期 : 2 0 1 0— 1 1 —2 2 )  



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