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2.5.2等比数列前n项和的性质 2


课题

第二章





等比数列的前n项和的性质
人生的奔跑, 不在于瞬间的爆发, 而在于途中的坚持!

第八中学数学组

复习
1、等比数列前n项和公式:

?na1 ? S n ? ? a1 ? a1 q n ? 1-q ?

q ?1 ,

?na1 ? 或 S n ? ? a1 ? a n q q ? 1。 ? 1-q ?

q ?1 , q ? 1。

2、数学思想:整体代入法。 3、两个求和方法: (1)拆项分组求和法; (2)错位相减求和法;

课前练习
1、数列 1 ,a,a , ?,a , ?的前n项和为( D )
2 n ?1

1? an A. 1? a

1 ? a n ?1 B. 1? a

1 ? a n ?1 C. 1? a

D.以上均不正确

2、若等比数列{a n }的前n项和为S n , 则数列{ S n }中( D )
A.任意一项都不为0 B.必有一项为0

C.至多有有限项为0

D.可以有无数项为0
n

3、若等比数列{a n }的前n项和S n ? 2 ? 1 ,数列{bn }满足: bn ? a n ,则{bn }的前那n项和Tn ?
2

1 n (4 ? 1) 。 3

探究一:
a1 n a1 a1 ? a1 q n ? Sn ? ? q ? Sn ? 1-q 1-q 1-q a1 令A ? ? ? 0 则:S n ? Aq n - A 1-q
这个形式和等比 数列等价吗?

等比数列前n项和的性质一:
数列{a n }是等比数列
类似结论: 数列{a n }是等比数列

?

S n ? Aq n - A( A ? 0)
相反 数
n

?

S n ? Aa ? B( AB ? 0, A ? 1)

例题讲解
1、若等比数列{a n }的前n项和S n ? 4 n ? a,求a的值。
提示:

S n ? Aq n - A( A ? 0)

系数和常数互为相反数

? a ? ?1

变式练习
1、若等比数列{a n }的前n项和S n ? 3 n ?1 ? 2a,求a的值。
1 1 1 n 化简到:S n ? ? 3 ? 2a ? ? 2a ? 0 ? a ? ? 3 3 6

探究二:
我们知道,等差数列有这样的性质:
如果?a n ?为等差数列,则S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 也成等差数列。

新的等差数列首项为S k,公差为k 2 d。

那么,在等比数列重,也有类似的性质吗?

等比数列前n项和的性质二:
新等比数列首项为S k,公比为q k 。
怎么 证明?

如果?a n ?为等比数列,则S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 也成等比数列。

等比数列前n项和的性质

已知数列?an ? 是等比数列, Sn是其前n项的和, 则 : Sk , S2 k ? Sk , S3k ? S2 k 成等比数列.
a1 (1 ? q k ) 解 : Sk ? , 1? q

a1 (1 ? q 2 k ) a1 (1 ? q k ) a1 (q k ? q 2 k ) a1q k (1 ? q k ) S2 k ? Sk ? ? ? , ? 1? q 1? q 1? q 1? q
a1 (1 ? q3k ) a1 (1 ? q 2 k ) a (q 2 k ? q 3k ) 2k k 1 a q (1 ? q ) S3 k ? S 2 k = ? 1 = = , 1? q 1? q 1? q
1? q

? Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 成等比数列.

例题讲解
2、等比数列{a n }的前n项和为S n,若S m ? 10,S 2 m ? 30, 求S 3m的值。
解:? S m,S 2 m - S m,S 3m - S 2 m 成等比数列

? ( S 2 m - S m ) ? S m ? ( S 3m - S 2 m )
2

即: (30 - 10) 2 ? 10 ? ( S 3m - 30)
解得:S 3m ? 70

例题讲解

S10 31 3、等比数列{a n }的前n项和为S n,a1 ? ?1, 若 ? , S 5 32 S15 求 的值。 S10

S10 31 ? ? 解: S 5 32

? 设S10 ? 31k , S 5 ? 32k (k ? 0)

2 ? S( , S S , S -k S10 即: 31 k 32 k ) ?15 32 ? (成等比数列 S15 - 31k ) 5 10 5

? ( S10 - S 5 ) 2 ? S 5 ? ( S15 - S10 )
解得:S15

S15 993 ? ? S10 992

993 ? k 32

变式训练
2、等比数列{a n }的前n项和为S n,若S10 ? 20, S 20 ? 80,则S 30 ?
260



3、任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X、Y、Z,则下列等式中恒成立的是( D) A.X+Z=2Y C.Y2=XZ B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X) 210

4、书上第58页,第2题。

等比数列前n项和的性质三:
若等比数列?a n ?共有2n项,则:

S偶 S奇

?q

怎么 证明?

等比数列前n项和的性质四:
如果?a n ?为公比为q的等比数列,对?m、p ? N ? 有:

S m? p ? S m ? q S p
m

例题讲解
1 4、若等比数列{a n }的公比为 ,且a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 60, 3 则{a n }的前100项和为 80 。
解: 令X ? a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 60
Y ? a 2 ? a 4 ? ? ? a100

Y 1 由等比数列前n项和性质知: ? q ? X 3

则S100 ? X ? Y

? Y ? 20

即:S100 ? X ? Y ? 80

变式训练
5、已知一个等比数列其首项是1,项数是偶数,所有奇 数项和是85,所有偶数项和是170,求此数列的项数?
提示:

q?

S偶 S奇

170 ? ?2 85

S n ? S 偶 ? S 奇 ? 170 ? 85 ? 255
由等比数列前n项和公式得:
1? 2 255 ? 1-2
n

?n?8

综合例题讲解
5、在等比数列{a n }中,a1 ? a n ? 66,a 2 ? a n ?1 ? 128, 前n项和S n ? 126,求n及公比q。
解:? a1 a n

? a 2 ? a n ?1 ? 128

又有a1 ? a n ? 66
两式联立解得:

?a1 ? 2 ?a1 ? 64 或? ? ?a n ? 64 ?a n ? 2 显然,q ? 1。

(1)当a1 ? 2,a n ? 64时有:

2 - 64q Sn ? ? 126 1? q

a1 ? a n q Sn ? 1-q

解得:q ? 2
又a n ? a1 q
n ?1

得:64 ? 2 ? 2

n ?1

解得:n ? 6
(2)当a1 ? 64,a n ? 2时, 同理可得:
1 综上所述:n ? 6,q ? 或2。 2

1 q ? ,n ? 6 2

6、已知等比数列{a n }前n项和为S n,若a 2 a3 ? 2a1, 5 且a 4 与2a 7的等差中项为 ,求S 5。 4

S 5 ? 31
S 3 ? 7,求S 5。

7、已知正项等比数列{a n }前n项和为S n,若a 2 a 4 ? 1 ,

31 S5 ? 4

8、已知数列{a n }的前n项和S n 满足:S n ? 4a n ? 2, 求数列{a n }的通项公式。

2 4 n ?1 an ? ? ? ( ) 3 3

小结:
等差数列前n项和的性质: ① 数列{ a n }是等比数列 ? S n ? Aq n - A( A ? 0)
② ?a n ?为等比数列 ? S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 也成等比数列。
且新等比数列首项为S k,公比为q k 。

③ 若等比数列?a n ?共有2n项,则:

S偶 S奇

?q

? ? ? 如果 a 为公比为 q 的等比数列 , 对 ? m 、 p ? N 有: ④ n

S m? p ? S m ? q S p
m

课后作业

书上第62页,习题2.5 B组,第2题、第5题。


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