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第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件



第一单元

集合与常用逻辑用语

第一单元
第 2讲

集合与常用逻辑用语

命题及其关系、充分条件 与必要条件

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

1.了解命题的概念. 2

.了解四种命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义,能初 步判断给定的两个命题的关系.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

1.命题及其真假 (1)命题:在数学上,用 可以判断
真假 语言、符号或式子 表达的,



陈述句 叫作命题.

(2)真命题:判断为真的语句叫作 真命题 . (3)假命题:判断为假的语句叫作 假命题 .

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

2.四种命题的形式 (1)原命题:“若 p,则 q”,其中 p 为命题的条件,q 为命题的结论. (2)逆命题:“若 q,则 p”,即交换原命题的条件和 结论. (3)否命题:“若﹁p,则﹁q”,即同时否定原命题的条 件和结论. (4)逆否命题:“若﹁q,则﹁p”,即交换原命题的条件 和结论后,再同时加以否定.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

3.四种命题的关系

4.四种命题的真假关系 (1)互为逆否的两个命题的真假性
相同 ;

(2)互逆或互否的两个命题的真假性 没有关系 . (3)四种命题的真假成对出现,即原命题与逆否命题的真 假性
相同 ,逆命题与否命题的真假性 相同 .

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

5.充分条件与必要条件 (1)若原命题“若 p,则 q”为真命题,则称 p 是 q 的
充分 条件.

由于其逆否命题:“若﹁q,则﹁p”, 也为真命题,故 也称 q 是 p 的 必要
必要

条件.

(2)若逆命题“若 q,则 p”为真命题,则称 p 是 q 的 条件. (3)若原命题“若 p,则 q”及其逆命题“若 q,则 p”都 为真命题,则称 p 是 q 的 充要 条件.
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结

1.下列语句中,不能构成命题的是( A.5>12 C.x>0 1 1 B.若 = ,则 x=y x y D.若 x<y,则 x2<y2

)

解:一个语句是不是命题,关键是看能否判断真假, 因为 x >0 无法判断真假,因此不能构成命题.

答案:C

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

2.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2 +c2≥3”的否命题是( ) A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3
解:根据一个命题的否命题的构成,即将条件和结论 均否定,因此所求命题的否命题是“若 a+b+c≠3,则 a2 +b2+c2<3.
答案:A
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结

3.已知命题 p:若 x=-1,则向量 a=(1,x)与 b=(x+ 2,x)共线,则在命题 p 的原命题,逆命题,否命题,逆否命 题中,真命题的个数为( A.0 B.2 C.3 ) D.4

解:原命题:若 x=-1,向量 a=(1,-1),b=(1,-1),

a 与 b 共线,所以原命题为真,故逆否命题也为真. 逆命题为:若向量 a=(1,x)与 b=(x+2,x)共线,则 x= -1.当 a 与 b 共线时,x(x+2)=x,解得 x=0 或-1.所以逆命题 为假命题,从而否命题也为假命题. 故真命题的个数为 2.
答案:B

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

重点

4.(2015· 安徽卷)设 p:1<x<2,q:2x>1,则 p 是 q 成 立的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

解:由 2x>1,得 x>0,所以 p?q,但 q?/p,

所以 p 是 q 的充分不必要条件.
答案:A

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

5.(2015· 湖南卷)设 A,B 是两个集合,则“A∩B=A” 是“A?B”的( C.充要条件 ) D.既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

解:因为 A∩B=A?A?B,

所以“A∩B=A”是“A?B”的充要条件
答案:C

复习目标

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高频考点

课时小结

四种命题及其真假判断

充要条件的判断 根据充要条件求解参数的取值范围

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

考点一· 四种命题及其真假判断
【例 1】 (2014· 陕西卷)原命题为“若 z1, z2 互为共轭复数, 则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判 断依次如下,正确的是 A.真,假,真 C.真,真,假 B.假,假,真 D.假,假,假

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

解:“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,由共轭复 数的定义可知为真命题,所以逆否命题也为真命题, 逆命题为:“复数|z1|=|z2|,则 z1,z2 互为共轭复数”, 由 1 和 i 的模相等,但它不是共轭复数,可知逆命题为 假命题, 所以否命题也为假命题.故选 B. 答案:B

复习目标

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高频考点

课时小结

点评:(1)判断一个命题为真命题,要给出推理证明; 判断一个命题是假命题,只需举出反例即可; (2)四种命题的真假成对出现.即原命题与逆否命题的 真假性相同,逆命题与否命题的真假性相同.当一个命题 直接判断不易进行时,可转化判断其等价命题的真假.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

【变式探究】
1.在下列 4 个结论中: ①命题“若 x2-3x-4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x2-3x-4≠0”; ②命题“若 m2+n2=0, 则 m, n 全为 0”的否命题是“若 m2+n2≠0,则 m,n 全不为 0”; ③命题“若 m>0, 则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命 题为真命题; ④“若 x>1,则 x2>1”的否命题为真命题. 其中正确结论的序号是
复习目标 课前预习

.
高频考点 课时小结

解:①正确. ②不正确, 否命题为“若 m2+n2≠0, 则 m, n 不全为 0”. ③m>0 时,Δ=1+4m>0,所以原命题为真命题,所以逆 否命题为真命题. ④逆命题“若 x2>1,则 x>1”为假命题,所以否命题为假 命题. 故正确结论的序号为①③.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

考点二· 充要条件的判断
【例 2】(1)(2014· 安徽卷)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

重点

)

(2)如果 x, y 是实数, 那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

解:(1)ln(x+1)<0?0<x+1<1?-1<x<0, x<0 ?? -1<x<0,-1<x<0?x<0, 所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要而不充分条件. (2)x=y?cos x=cos y,而 cos x=cos y ?? x=y, 利用四种命题的等价关系得: cos x≠cos y?x≠y,x≠y ?? cos x≠cos y. 所以“x≠y”是“cos x≠cos y”必要而不充分条件. 答案:(1)B (2)B

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

点评:判断充要条件的方法: ①定义法 (这是基本方法 );②集合法 (根据 p,q 成立 的对象的集合之间的包含关系进行判断 );③转换法. (2)判断充要条件时,要注意如下技巧: ①等价化简:先将条件和结论等价化简,然后再根据 定义进行判断; ②等价转化:根据“四种命题”中互为逆否的两个命 题是等价的,把判断命题的正确性,转化为判断其逆否命 题的正确性.这种方法特别适合以否定形式给出的命题.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

【变式探究】
2.(1)(2015· 天津卷)设 x∈R,则“1<x<2”是“|x-2| <1”的( ) D.既不充分也不必要条件 ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件

(2)如果 a,b 是实数,那么“a≠0”是“ab≠0”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

解:(1)先将“|x-2|<1”等价化简,然后再进行判断. 因为|x-2|<1?1<x<3. 又因为 1<x<2?1<x<3,但 1<x<3 ?? 1<x<2. 所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必要条件. (2)a=0?ab=0,但 ab=0 ?? a=0, 其逆否命题为 ab≠0?a≠0,a≠0 ?? ab≠0, 故“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

重点

考点三· 根据充要条件求解参数的取值范围
【例 3】 已知 p: -2≤x≤10, q: 1-m≤x≤1+m(m>0), “若﹁p,则﹁q” 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围为 ____________.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

解: p 对应的集合为 A={x|-2≤x≤10}, q 对应的集合为 B={x|1-m≤x≤1+m}, 因为﹁p 是﹁q 的必要不充分条件, 所以﹁q?﹁p 但﹁p ?? ﹁q 由互为逆否的两个命题的等价关系可知, p?q,但 q ?? p,所以 A? B.
?1-m≤-2, 所以? 解得 m≥9. ?1+m≥10,

检验 m=9 时,满足 A? B. 因此,实数 m 的取值范围是[9,+∞). 答案:[9,+∞)
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结

点评:(1)充分条件、必要条件或充要条件的应用,一 般表现在参数问题的求解上,求解一般步骤为: ①首先要将 p,q 等价化简; ②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间 的包含关系; ③列出关于参数的等式或不等式组,求出参数的值或 取值范围.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

(2)解此类问题要注意: ①注意命题等价转化,如将﹁p 与﹁q 的关系转化为 p 与 q 的关系; ②注意区间端点值的检验.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

【变式探究】
3.已知 p:2x+m<0,q:x2-x-2>0,若 p 是 q 的一个 充分不必要条件,则实数 m 的取值范围为__________.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

解:因为 q:x2-x-2>0,所以 x<-1 或 x>2, 记 A={x|x<-1 或 x>2}. m 又因为 p:2x+m<0,所以 x<- , 2 m 记 B={x|x<- }, 2 因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以 B? A. m 所以- ≤-1,解得 m≥2. 2 所以实数 m 的取值范围是[2,+∞).
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结

1 .判断一个语句是否为命题,关键是看能否判断真 假.数学中的定义、公理、定理都是命题,但命题与定理 是有区别的:命题有真假之分,而定理都是真命题. 2.一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其他两 个命题的真假无此规律,判断一个命题为真必须经过证明, 而判定一个命题为假只需举一个反例就行.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

3.判断充分条件和必要条件时,常用以下几种方法: (1)定义法:判断 A 是 B 的什么条件,实际上就是判断 A?B 或 B?A 是否成立,只要把题目中所给条件按逻辑关 系画出箭头示意图,再利用定义即可判断. (2)转换法:当所给命题的充要条件不易判断时,可对 命题进行等价转换,如利用其逆否命题进行判断.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

(3)集合法:利用集合的包含关系判断,记条件 p、q 对 应的集合分别为 P,Q,一般地有: 若 P?Q,则 p 是 q 的充分条件; 若 Q?P,则 p 是 q 的必要条件; 若 P? Q,则 p 是 q 的充分不必要条件; 若 Q? P,则 p 是 q 的必要不充分条件; 若 P=Q,则 p 是 q 的充要条件.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结



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