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2015届高考数学总复习第九章 平面解析几何第10课时 直线与圆锥曲线的综合应用(1)课时训练



第九章 平面解析几何第 10 课时 直线与圆锥曲线的综合应用 (1) x2 y2 1. 已知椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0),过焦点垂直于长轴的弦长为 1,且焦点与短轴两端 a b 点构成等边三角形,则椭圆的方程是________________. x2 答案: +y2=1 4 2b2 ? ?a=2, ? a =1, ? x2 解析:由条件得? 即? 所以

椭圆方程为 +y2=1. 4 ?b=1, ? ?2b=a, ? 2. 从抛物线 y2=4x 上一点 P 引其准线的垂线,垂足为 M,设抛物线的焦点为 F,且|PF| =5,则△MPF 的面积为________. 答案:10 y2 y2 1 0 0 ,y0?, 解析: 由题意, 设 P? 则 |PF| = |PM| = +1=5, 所以 y0=± 4, 则 S△MPF= |PM||y0| ?4 ? 4 2 =10. x2 y2 3. 过双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F 作与 x 轴垂直的直线,分别与双曲线、 a b → → 双曲线的渐近线交于点 M 、 N( 均在第一象限内 ) ,若 FM = 4MN ,则双曲线的离心率为 ________. 5 答案: 3 2 b2 bc → → b 解析:由题意知 F(c,0),则易得 M、N 的纵坐标分别为 、 ,由FM=4MN得 = a a a 2 bc b b 4 c 5 ? - ?,即 = .又 c2=a2+b2,则 e= = . 4· ? a a? c 5 a 3 2 4. 直线 l 过抛物线 y=ax (a>0)的焦点, 并且与 y 轴垂直. 若 l 被抛物线截得的线段长为 4,则 a=________. 1 答案: 4 1 1 1 解析:l 被抛物线截得的线段长,即为通径长 ,故 =4,即 a= . a a 4 5. 过抛物线 y2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等 于 2,则这样的直线有________条. 答案:2 p p 解析:设该抛物线焦点为 F,则 AB=AF+FB=xA+ +xB+ =xA+xB+1=3>2p=2. 2 2 所以符合条件的直线有且仅有两条. x2 y2 6. 已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 作倾斜角为 30°的直 a b 线与椭圆有一个交点 P,且 PF2⊥x 轴,则此椭圆的离心率 e=________. 3 答案: 3 解析: 在 Rt△PF2F1 中, ∠PF1F2=30°, |F1F2|=2c, |PF1|=2|PF2|, 根据椭圆的定义得|PF2| 2 4 16 4 c 3 = a,|PF1|= a.又|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2,即 a2- a2=4c2,则 e= = . 3 3 9 9 a 3 7. 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 相 交于 A、B 两点,若直线 l 的倾斜角为 45°,则弦 AB 的中点坐标为________. 第 1 页 共 4 页 答案:(3,2) 2 ? ?y =4x, 解析:依题意得,抛物线 C 的方程是 y =4x,直线 l 的方程是 y=x-1.由? 消 ?y=x-1 ? 2 6 去 y,得(x-1)2=4x,即 x2-6x+1=0,因此线段 AB 的中点的横坐标是 =3,纵坐标是 y 2 =3-1=2,所以线段 AB 的中点坐标是(3,2). x2 y2 a x2 y2 8. 过椭


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