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河南省郑州市外国语学校2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷(文科) Word版含解析



河南省郑州市外国语学校 2014-2015 学年高二上学期第一次月考 数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若 a,b,c∈R,且 a>b,则下列不等式一定成立的是() A.a+c≥b﹣c B.ac>bc C. >0 D.(a﹣b)c ≥0
2<

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2. (5 分)已知点(﹣2,1)和点(1,1)在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧,则 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣8)∪(1,+∞) B.(﹣1,8) C. (﹣8,1) D. (﹣∞,﹣1)∪(8,+∞) 3. (5 分)在△ ABC 中,若 a=2, A.30°或 150° B.60°或 120° ,B=60°,则角 A 的大小为() C.30° D.60°

4. (5 分)某观察站 C 与两灯塔 A、B 的距离分别为 300 米和 500 米,测得灯塔 A 在观察站 C 北偏东 30°,灯塔 B 在观察站 C 正西方向,则两灯塔 A、B 间的距离为() A.500 米 B.600 米 C.700 米 D.800 米 5. (5 分)在△ ABC 中,若 tanAtanB>1,则△ ABC 是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

D.无法确定

6. (5 分)已知实数 x,y 满足条件

,那么 2x﹣y 的最大值为()

A.﹣3

B . ﹣2

C. 1

D.2 ,则()

7. (5 分)若 a>b>1,P= A.R<P<Q B.P<Q<R C.Q<P<R

D.P<R<Q

8. (5 分)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是() 2 2 2 A.a1+a3≥2a2 B. a1 +a3 ≥2a2 C. 若 a1=a3,则 a1=a2 D.若 a3>a1,则 a4>a2 9. (5 分)若关于 x 的不等式 x +ax﹣2>0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为() A. B. C.(1,+∞) D.
2

10. (5 分)已知数列{an}为等差数列,若 得 Sn>0 的 n 的最大值为() A.11 B.19
2

,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使

C.20
2

D.21 取得最小值时,x+2y﹣z 的最

11. (5 分)设正实数 x,y,z 满足 x ﹣3xy+4y ﹣z=0,则当 大值为() A.0 B. C. 2

D.

12. (5 分)把数列{2n+1}(n∈N*)依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括 号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数,第六个括号两个数,…循环分别为(3) , (5,7) , (9,11,13) , (15,17,19,21) , (23) , (25,27) , (29,31,33) , (35,37,39, 41) , (43) (45,47)…则第 104 个括号内各数之和为() A.2036 B.2048 C.2060 D.2072

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13. (5 分)各项都是正数的等比数列{an}中, 成等差数列,则 =.

14. (5 分)已知锐角三角形的三边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是. 15. (5 分)已知函数 f(x)=sinx+tanx,项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈(﹣ 且公差 d≠0,若 f(a1)+f(a2)+…f(a27)=0,则当 k=时,f(ak)=0. 16. (5 分)已知 f(x)=﹣x ,g(x)=2 ﹣m,若对任意 x1∈[﹣1,3],总存在 x2∈[0,2],使 f(x1)≥g(x2)成立,则实数 m 的取值范围是.
2 x

) ,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)在△ ABC 中,a=3,b=2 ,∠B=2∠A. (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 c 的值. 18. (12 分)已知 f(x)=2x +bx+c,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5) . (1)求 f(x)的解析式; (2)对于任意 x∈[﹣1,1],不等式 f(x)+t≤2 恒成立,求 t 的范围.
2

19. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别是 a,b,c 满足 b +c =bc+a . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,若 a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列,求{ 的前 n 项和 Sn. 20. (12 分)数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1﹣an( n∈N ) (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Sn. 21. (12 分)某人上午 7:00 乘汽车以 v1 千米/小时(30≤v1≤100)匀速从 A 地出发到距 300 公里的 B 地,在 B 地不作停留,然后骑摩托车以 v2 千米/小时(4≤v2≤20)匀速从 B 地出发到 距 50 公里的 C 地,计划在当天 16:00 至 21:00 到达 C 地.设乘汽车、骑摩托车的时间分别 是 x,y 小时,如果已知所需的经费 p=100+3(5﹣x)+2(8﹣y)元,那么 v1,v2 分别是多少 时走的最经济,此时花费多少元?
*

2

2

2

}

22. (12 分)已知数列{an}满足 a1=3, (1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

,数列{bn}满足



河南省郑州市外国语学校 2014-2015 学年高二上学期第一 次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若 a,b,c∈R,且 a>b,则下列不等式一定成立的是() A.a+c≥b﹣c B.ac>bc C. >0 D.(a﹣b)c ≥0
2

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: A、令 a=﹣1,b=﹣2,c=﹣3,计算出 a+c 与 b﹣c 的值,显然不成立; B、当 c=0 时,显然不成立; C、当 c=0 时,显然不成立; 2 D、由 a 大于 b,得到 a﹣b 大于 0,而 c 为非负数,即可判断此选项一定成立.

解答: 解:A、当 a=﹣1,b=﹣2,c=﹣3 时,a+c=﹣4,b﹣c=1,显然不成立,本选项不一 定成立; B、c=0 时,ac=bc,本选项不一定成立; C、c=0 时, =0,本选项不一定成立;
2

D、∵a﹣b>0,∴(a﹣b) >0, 2 2 又 c ≥0,∴(a﹣b) c≥0,本选项一定成立, 故选 D 点评: 此题考查了不等式的性质,利用了反例的方法,是一道基本题型. 2. (5 分)已知点(﹣2,1)和点(1,1)在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧,则 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣8)∪(1,+∞) B.(﹣1,8) C. (﹣8,1) D. (﹣∞,﹣1)∪(8,+∞) 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 题目给出的两点在给出的直线两侧, 把给出点的坐标代入代数式 3x﹣2y﹣a 中, 两式 的乘积小于 0. 解答: 解:因为点(﹣2,1)和(1,1)在直线 3x﹣2y﹣a=0 的两侧, 所以[3×(﹣2)﹣2×1﹣a](3×1﹣2×1﹣a]<0, 即(a+8) (a﹣1)<0,解得:﹣8<a<1. 故选 C. 点评: 本题考查了二元一次不等式与平面区域,平面中的直线把平面分成三部分,直线两 侧的点的坐标代入直线方程左侧的代数式所得的值异号. 3. (5 分)在△ ABC 中,若 a=2, A.30°或 150° B.60°或 120° ,B=60°,则角 A 的大小为() C.30° D.60°

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由 B 的度数求出 sinB 的值,再由 a 与 b 的值,利用正弦定理求出 sinA 的值,由 a 小 于 b,根据大边对大角得到 A 小于 B,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数. 解答: 解:∵a=2,b=2 ,B=60°, ∴由正弦定理 = 得:sinA= = ,

又 a<b,∴A<B, 则 A=30°. 故选 C 点评: 此题考查了正弦定理,特殊角的三角函数值,以及三角形的边角关系,熟练掌握正 弦定理是解本题的关键. 4. (5 分)某观察站 C 与两灯塔 A、B 的距离分别为 300 米和 500 米,测得灯塔 A 在观察站 C 北偏东 30°,灯塔 B 在观察站 C 正西方向,则两灯塔 A、B 间的距离为()

A.500 米

B.600 米

C.700 米

D.800 米

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 根据题意,△ ABC 中,AC=300 米,BC=500 米,∠ACB=120°,利用余弦定理可求 得 AB 的长 解答: 解:由题意,△ ABC 中,AC=300 米,BC=500 米,∠ACB=120° 利用余弦定理可得:AB =300 +500 ﹣2×300×500×cos120° ∴AB=700 米 故选:C. 点评: 本题以方位角为载体,考查三角形的构建,考查余弦定理的运用,属于基础题. 5. (5 分)在△ ABC 中,若 tanAtanB>1,则△ ABC 是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
2 2 2

D.无法确定

考点: 三角形的形状判断. 专题: 综合题. 分析: 利用两角和的正切函数公式表示出 tan (A+B) , 根据 A 与 B 的范围以及 tanAtanB>1, 得到 tanA 和 tanB 都大于 0,即可得到 A 与 B 都为锐角,然后判断出 tan(A+B)小于 0,得 到 A+B 为钝角即 C 为锐角,所以得到此三角形为锐角三角形. 解答: 解:因为 A 和 B 都为三角形中的内角, 由 tanAtanB>1,得到 1﹣tanAtanB<0, 且得到 tanA>0,tanB>0,即 A,B 为锐角, 所以 tan(A+B)= 则 A+B∈( <0,

,π) ,即 C 都为锐角,

所以△ ABC 是锐角三角形. 故答案为:锐角三角形 点评: 此题考查了三角形的形状判断,用的知识有两角和与差的正切函数公式.解本题的 思路是: 根据 tanAtanB>1 和 A 与 B 都为三角形的内角得到 tanA 和 tanB 都大于 0, 即A和B 都为锐角,进而根据两角和与差的正切函数公式得到 tan(A+B)的值为负数,进而得到 A+B 的范围,判断出 C 也为锐角.

6. (5 分)已知实数 x,y 满足条件

,那么 2x﹣y 的最大值为()

A.﹣3

B . ﹣2

C. 1

D.2

考点: 简单线性规划. 专题: 作图题. 分析: 先根据约束条件画出可行域, z=2x﹣y 表示斜率为 2 的直线在 y 轴上的截距的相反数, 只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可.

解答: 解:由约束条件作出图形:

易知可行域为一个三角形,验证当直线过点 A(0,﹣1)时, z 取得最大值 z=2×0﹣(﹣1)=1, 故选 C 点评: 本题是考查线性规划问题,准确作图以及利用几何意义求最值是解决问题的关键, 属中档题.

7. (5 分)若 a>b>1,P= A.R<P<Q B.P<Q<R C.Q<P<R

,则() D.P<R<Q

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 由平均不等式知 . 解答: 解:由平均不等式知 同理 . . .

故选 B. 点评: 本题考查均值不等式的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用. 8. (5 分)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是() 2 2 2 A.a1+a3≥2a2 B. a1 +a3 ≥2a2 C. 若 a1=a3,则 a1=a2 D.若 a3>a1,则 a4>a2 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: a1+a3=

,当且仅当 a2,q 同为正时,a1+a3≥2a2 成立;

,所以
2

;若 a1=a3,则 a1=a1q ,从
2

2

而可知 a1=a2 或 a1=﹣a2;若 a3>a1,则 a1q >a1,而 a4﹣a2=a1q(q ﹣1) ,其正负由 q 的符号 确定,故可得结论. 解答: 解: 设等比数列的公比为 q, 则 a1+a3= 成立,故 A 不正确; ,∴
2 2

, 当且仅当 a2, q 同为正时, a1+a3≥2a2

,故 B 正确;

若 a1=a3,则 a1=a1q ,∴q =1,∴q=±1,∴a1=a2 或 a1=﹣a2,故 C 不正确; 2 2 若 a3>a1,则 a1q >a1,∴a4﹣a2=a1q(q ﹣1) ,其正负由 q 的符号确定,故 D 不正确 故选 B. 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.属基础题. 9. (5 分)若关于 x 的不等式 x +ax﹣2>0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为() A. B. C.(1,+∞) D.
2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 分析: 结合不等式 x +ax﹣2>0 所对应的二次函数的图象, 列式求出不等式 x +ax﹣2>0 在 区间[1,5]上无解的 a 的范围,由补集思想得到有解的实数 a 的范围. 2 解答: 解:令函数 f(x)=x +ax﹣2, 2 若关于 x 的不等式 x +ax﹣2>0 在区间[1,5]上无解, 则 ,即
2

,解得



所以使的关于 x 的不等式 x +ax﹣2>0 在区间[1,5]上有解的 a 的范围是(

,+∞) .

故选 A. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法,考查了数学转化思想方法,训练了补集思想在 解题中的应用,解答的关键是对“三个二次”的结合,是中档题.

10. (5 分)已知数列{an}为等差数列,若 得 Sn>0 的 n 的最大值为() A.11 B.19

,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使

C.20

D.21

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由 可得 ,由它们的前 n 项和 Sn 有最大可得 a10>0,a11+a10

<0,a11<0 从而有 a1+a19=2a10>0a1+a20=a11+a10<0,从而可求满足条件的 n 的值. 解答: 解:由 可得

由它们的前 n 项和 Sn 有最大值,可得数列的 d<0 ∴a10>0,a11+a10<0,a11<0 ∴a1+a19=2a10>0,a1+a20=a11+a10<0 使得 Sn>0 的 n 的最大值 n=19 故选 B 点评: 本题主要考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用,解题的关键是由已知 及它们的前 n 项和 Sn 有最大 a10>0,a11+a10<0,a11<0,灵活利用和公式及等差数列的性质得到 a1+a19=2a10>0, a1+a20=a11+a10<0 是解决本题的另外关键点. 11. (5 分)设正实数 x,y,z 满足 x ﹣3xy+4y ﹣z=0,则当 大值为() A.0 B. C. 2 D.
2 2

取得最小值时,x+2y﹣z 的最

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 将 z=x ﹣3xy+4y 代入
2 2 2 2

,利用基本不等式化简即可求得 x+2y﹣z 的最大值.

解答: 解:∵x ﹣3xy+4y ﹣z=0, 2 2 ∴z=x ﹣3xy+4y ,又 x,y,z 为正实数, ∴ = + ﹣3≥2 ﹣3=1(当且仅当 x=2y 时取“=”) ,

即 x=2y(y>0) , 2 2 ∴x+2y﹣z=2y+2y﹣(x ﹣3xy+4y ) 2 =4y﹣2y 2 =﹣2(y﹣1) +2≤2. ∴x+2y﹣z 的最大值为 2. 故选:C.

点评: 本题考查基本不等式, 将 z=x ﹣3xy+4y 代入 考查配方法求最值,属于中档题.

2

2

, 求得

取得最小值时 x=2y 是关键,

12. (5 分)把数列{2n+1}(n∈N*)依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括 号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数,第六个括号两个数,…循环分别为(3) , (5,7) , (9,11,13) , (15,17,19,21) , (23) , (25,27) , (29,31,33) , (35,37,39, 41) , (43) (45,47)…则第 104 个括号内各数之和为() A.2036 B.2048 C.2060 D.2072 考点: 数列的概念及简单表示法. 分析: 括号中的数字个数,依次为 1、2、3、4,每四个循环一次,具有周期性,第一百零 四个括号是一个周期的最后一个,括号中有四个数,这是第二十六次循环,最后一个数是 2×260+1,得出结论. 解答: 解:由题意知 ,

∴第 104 个括号中最后一个数字是 2×260+1, ∴2×257+1+2×258+1+2×259+1+2×260+1=2072, 故选 D 点评: 复习课的任务在于对知识的深化,对能力的提高、关键在落实.根据上面所研究的 问题,进一步提高运用函数的思想、方程的思想解决数列问题的能力. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13. (5 分) 各项都是正数的等比数列{an}中, 成等差数列, 则 = .

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题. 分析: 先由 成等差数列求出公比,再对 化简后求值即可.
2

解答: 解;因为 q= (舍去)

成等差数列,所以 a3=a2+a1?a1?q =a1?q+a1?q=



又因为

=q=



故答案为:



点评: 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力和化归与转化 思想.

14. (5 分)已知锐角三角形的三边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是



考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 分两种情况来做,当 x 为最大边时,只要保证 x 所对的角为锐角就可以了;当 x 不 是最大边时,则 3 为最大边,同理只要保证 3 所对的角为锐角就可以了. 解答: 解:分两种情况来做,当 x 为最大边时,由余弦定理可知只要 2 +3 ﹣x >0 即可, 可解得 2 2 当 x 不是最大边时,则 3 为最大边,同理只要保证 3 所对的角为锐角就可以了,则有 2 +x ﹣ 3 >0,可解得 所以综上可知 x 的取值范围为 , 故答案为 . 点评: 本题考查余弦定理得运用,应注意分类讨论. 15. (5 分)已知函数 f(x)=sinx+tanx,项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈(﹣ 且公差 d≠0,若 f(a1)+f(a2)+…f(a27)=0,则当 k=14 时,f(ak)=0. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性,由函数 f(x)=sin x+tan x,项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈(﹣ ) ,且公差 d≠0,若 f(a1)+f(a2)+…f(a27)=0,我们
2 2 2 2

) ,

易得 a1,a2,…,a27 前后相应项关于原点对称,则 f(a14)=0,易得 k 值. 解答: 解:因为函数 f(x)=sinx+tanx 是奇函数, 所以图象关于原点对称,图象过原点. 而等差数列{an}有 27 项,an∈( ) .

若 f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a27)=0, 则必有 f(a14)=0, 所以 k=14. 故答案为:14 点评: 代数的核心内容是函数,函数的定义域、值域、性质均为 2015 届高考热点,所有要 求同学们熟练掌握函数特别是基本函数的图象和性质,并能结合平移、对称、伸缩、对折变换 的性质,推出基本函数变换得到的函数的性质. 16. (5 分)已知 f(x)=﹣x ,g(x)=2 ﹣m,若对任意 x1∈[﹣1,3],总存在 x2∈[0,2],使 f(x1)≥g(x2)成立,则实数 m 的取值范围是[10,+∞) . 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 条件对任意 x1∈[﹣1,3],总存在 x2∈[0,2],使 f(x1)≥g(x2)成立等价为上 f(x) min≥g(x)min 即可. 解答: 解:∵x1∈[﹣1,3],∴﹣9≤f(x1)≤0,
2 x

∵x2∈[0,2],∴1﹣m≤g(x2)≤4﹣m, 若对任意 x1∈[﹣1,3],总存在 x2∈[0,2],使 f(x1)≥g(x2)成立, 则 f(x)min≥g(x)min 即可, 即﹣9≥1﹣m, 解得 m≥10, 故答案为:[10,+∞) 点评: 本题主要考查函数值的大小比较以及不等式恒成立问题,将条件转化为求函数最值 之间的关系是解决本题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)在△ ABC 中,a=3,b=2 ,∠B=2∠A. (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 c 的值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)由条件利用正弦定理和二倍角公式求得 cosA 的值. (Ⅱ)由条件利用余弦定理,解方程求得 c 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由条件在△ ABC 中,a=3, ,∠B=2∠A,利用正弦定理可得 ,即 解得 cosA= .
2 2 2

=



(Ⅱ)由余弦定理可得 a =b +c ﹣2bc?cosA,即 9=

+c ﹣2×2

2

×c×

,即 c ﹣

2

8c+15=0. 解方程求得 c=5,或 c=3. 当 c=3 时,此时 a=c=3,根据∠B=2∠A,可得 B=90°,A=C=45°, 2 2 2 △ ABC 是等腰直角三角形,但此时不满足 a +c =b ,故舍去. 综上,c=5. 点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理,以及二倍角公式的应用,注意把 c=3 舍去,这 是解题的易错点,属于中档题. 18. (12 分)已知 f(x)=2x +bx+c,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5) . (1)求 f(x)的解析式; (2)对于任意 x∈[﹣1,1],不等式 f(x)+t≤2 恒成立,求 t 的范围. 考点: 函数恒成立问题;二次函数的性质. 专题: 计算题. 2 分析: (1)根据不等式的解集与方程解之间的关系可知 2x +bx+c=0 的两根为 0,5,从而 可求 b、c 的值,进而可求 f(x)的解析式; (2)要使对于任意 x∈[﹣1,1],不等式 f(x)+t≤2 恒成立,只需 f(x)max≤2﹣t 即可,从而 可求 t 的范围. 2 解答: 解: (1)∵f(x)=2x +bx+c,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5) .
2

∴2x +bx+c=0 的两根为 0,5 ∴ ∴b=﹣10,c=0 2 ∴f(x)=2x ﹣10x; (2)要使对于任意 x∈[﹣1,1],不等式 f(x)+t≤2 恒成立,只需 f(x)max≤2﹣t 即可 ∵f(x)=2x ﹣10x=2
2

2

,x∈[﹣1,1],

∴f(x)max=f(﹣1)=12 ∴12≤2﹣t ∴t≤﹣10 点评: 本题重点考查函数的解析式,考查恒成立问题,解题的关键是利用好不等式的解集 与方程解之间的关系,将恒成立问题转化为函数的最值加以解决. 19. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别是 a,b,c 满足 b +c =bc+a . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,若 a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列,求{ 的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等比数列的性质;余弦定理. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出
2 2 2 2

}

= ,所以 cosA= ,由此能求出 A=



(Ⅱ)由已知条件推导出(a1+3d) =(a1+d) (a1+7d) ,且 d≠0,由此能求出 an=2n,从而得以 = =
2 2

,进而能求出{
2

}的前 n 项和 Sn.

解答: 解: (Ⅰ)∵b +c ﹣a =bc, ∴ ∴cosA= , ∵A∈(0,π) ,∴A= . = ,

(Ⅱ)设{an}的公差为 d, ∵a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列, ∴a1= =2,且
2

=a2?a8,

∴(a1+3d) =(a1+d) (a1+7d) ,且 d≠0,解得 d=2, ∴an=2n, ∴ = = ,

∴Sn=(1﹣ )+( =1﹣ = .

)+(

)+…+(



点评: 本题考查角的大小的求法,考查数列的前 n 项和的求法,是中档题,解题时要认真 审题,注意裂项求和法的合理运用. 20. (12 分)数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1﹣an( n∈N ) (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Sn. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. * 分析: (1)由 an+2=2an+1﹣an( n∈N ) ,变形为 an+2﹣an+1=an+1﹣an,可知{an}为等差数列, 由已知利用通项公式即可得出. 2 (2)令 an=10﹣2n≥0,解得 n≤5.令 Tn=a1+a2+…+an=9n﹣n .可得当 n≤5 时, Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Tn, n≥6 时, Sn=a1+a2+…+a5﹣a6﹣a7…﹣an=T5﹣ (Tn﹣T5) =2T5 ﹣Tn 即可得出. * 解答: 解: (1)∵an+2=2an+1﹣an( n∈N ) ∴an+2﹣an+1=an+1﹣an, ∴{an}为等差数列,设公差为 d, 由 a1=8,a4=2 可得 2=8+3d,解得 d=﹣2, ∴an=8﹣2(n﹣1)=10﹣2n. (2)令 an=10﹣2n≥0,解得 n≤5. 令 Tn=a1+a2+…+an= =9n﹣n .
2 2 *

∴当 n≤5 时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Tn=9n﹣n , 2 n≥6 时,Sn=a1+a2+…+a5﹣a6﹣a7…﹣an=T5﹣(Tn﹣T5)=2T5﹣Tn=n ﹣9n+40. 故 Sn= .

点评: 本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、含有绝对值的数列的前 n 项和 的求法、分类讨论等基础知识与基本技能方法,属于难题. 21. (12 分)某人上午 7:00 乘汽车以 v1 千米/小时(30≤v1≤100)匀速从 A 地出发到距 300 公里的 B 地,在 B 地不作停留,然后骑摩托车以 v2 千米/小时(4≤v2≤20)匀速从 B 地出发到 距 50 公里的 C 地,计划在当天 16:00 至 21:00 到达 C 地.设乘汽车、骑摩托车的时间分别 是 x,y 小时,如果已知所需的经费 p=100+3(5﹣x)+2(8﹣y)元,那么 v1,v2 分别是多少 时走的最经济,此时花费多少元? 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 应用题. 分析: 先建立满足题意的约束条件及目标函数,作出满足条件的 x,y 的区域,利用几何意 义可求目标函数的最小值

解答: 解:由题意得, ∵30≤v1≤100,4≤v2≤20 ∴



由题设中的限制条件得 9≤x+y≤14

于是得约束条件

目标函数 p=100+3(5﹣x)+2(8﹣y)=131﹣3x﹣2y(6 分) 做出可行域(如图) , 当 平行移动到过(10,4)点时纵截距最大,此时 p 最小. (12 分)

所以当 x=10,y=4,即 v1=30,v2=12.5 时,pmin=93 元 (没有图扣 2 分)

点评: 本题考查简单线性规划的应用,解题的关键是理解简单线性规划的意义及其原理, 解题步骤, 本题的难点是建立线性约束条件及确定线性目标函数, 本题考查了数形结合的思想 及转化的思想.

22. (12 分)已知数列{an}满足 a1=3, (1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列递推式;等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 ,可得

,数列{bn}满足



,然后检验 bn+1﹣bn 是否为常数即可证明,进而

可求其通项 (2)由题意可先求 an,结合数列的通项的特点,考虑利用错位相减求和即可求解 解答: 解(1)证明:由 ,得 ,



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分)

所以数列{bn}是等差数列,首项 b1=1,公差为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ∴ (2) (7 分) ∴Sn=a1+a2+…+an=3×1+4×3+…+(n+2)×3 ∴ 分) ①﹣②得 =2+1+3+3 +…+3
2 n﹣1 n﹣1

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣①

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②(9

﹣(n+2)×3 =

n

﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式证明等差数列,及等差数列的通项公式的应用, 数列的错位相减求和方法的应用.



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