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河南省郑州市五校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


河南省郑州市五校联考 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. (5 分)数列 0,0,0,…,0,…() A.既是等差数列又是等比数列 B. 是等差数列不是等比数列 C. 不是等差数列是等比数列 D.既不是等差数列又不是等比数列 2. (5 分)在△ ABC 中,若 acosA=bcosB,则△ ABC 的形状一定是() A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D.等腰或直角三角形

3. (5 分)由不等式组

表示的平面区域(图中阴影部分)为()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)已知 a,b,c 是实数,下列命题是真命题的有()个 2 2 ①“a>b”是“a >b ”的充分条件; 2 2 ②“a>b”是“a >b ”的必要条件; 2 2 ③“a>b”是“ac >bc ”的充分条件; ④“a>b”是“|a|>|b|”的充要条件. A.0 B. 1 C. 2

D.3

5. (5 分) 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把 100 个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,问 最小 1 份为() A. B. C. D.

6. (5 分)符合下列条件的三角形有且只有一个的是() A.a=1,b=2,c=3 B. a=1,b=2,∠A=100° C. a=1,b= ,∠A=30° D.b=c=1,∠B=45°

7. (5 分) 已知数列﹣1, a1, a2, ﹣4 成等差数列, ﹣1, b1 , b2, b3, ﹣4 成等比数列, 则 的值是() A. B. C. 或 D.

8. (5 分)如图:D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分别 是 β,α(α<β) ,则 A 点离地面的高度 AB 等于()

A. C.

B. D.

9. (5 分)已知{an}为等差数列,若 a3+a4+a8=9,则 S9=() A.24 B.27 C.15

D.54
2 2 2

10. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a +c ﹣b )tanB= 则角 B 的值为() A. B. C. 或 D. 或

ac,

11. (5 分)在△ ABC,三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若内角 A、B、C 依次 2 成等差数列,且不等式﹣x +6x﹣8>0 的解集为{x|a<x<c},则 b 等于() A. B. 2 C. 3 D.4

12. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最

大值为 12,则 + 的最小值为() A.4 B. 3 C. 1 D. 2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分) 2 13. (5 分)命题“?x∈R,x >0”的否定是. 14. (5 分)不等式 的解为.

15. (5 分)等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若

=

,则

=.

16. (5 分)在△ ABC 中,B= 60°,AC=

,则 AB+2BC 的最大值为.

三、解答题(共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)若 x+1>0,求 x+ 的最小值.

18. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn=n + ; (1)求 a1,a2; (2)求数列的通项公式 an. 19. (12 分)给定两个命题,P:对任意实数 x 都有 ax +ax+1>0 恒成立;Q:关于 x 的方程 2 x ﹣x+a=0 有实数根;如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围. 20. (12 分) 如图: 港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一观测站, 港口正东方向的 B 处有一轮船, 测得 BC 为 31n mile, 该轮船从 B 处沿正西方向航行 20n mile 后到 D 处, 测得 CD 为 21n mile. (1)求 cos∠BDC; (2)问此时轮船离港口 A 还有多远?
2

2

21. (12 分)解关于 x 的不等式 ax ﹣(a+2)x+2>0. 22. (12 分)数列 (1)求证:数列 (2)如果{bn}对任意 范围. 的前 n 项和. 是等比数列,并求{bn}的通项公式; 恒成立,求实数 k 的取值

2

河南省郑州市五校联考 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. (5 分)数列 0,0,0,…,0,…() A.既是等差数列又是等比数列 B. 是等差数列不是等比数列 C. 不是等差数列是等比数列 D.既不是等差数列又不是等比数列 考点: 等差数列;等比数列. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据数列和等差、等比数列的定义判断即可. 解答: 解:因为数列是 0,0,0,…,0,… 由等差数列的定义得,此数列首项、公差为 0 的等差数列, 又数列的项为 0,则此数列不是等比数列, 故选:B. 点评: 本题考查了利用等差、等比数列的定义判断数列的特征,注意等比数列的项不为 0.

2. (5 分)在△ ABC 中,若 acosA=bcosB,则△ ABC 的形状一定是() A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D.等腰或直角三角形 考点: 专题: 分析: 解答: 正弦定理. 三角函数的求值;解三角形. 首先利用正弦定理求得 sin2A=sin2B,进一步利用三角函数的诱导公式求出结果. 解:已知:acosA=bcosB

利用正弦定理: 解得:sinAcosA=sinBcosB sin2A=sin2B 所以:2A=2B 或 2A=180°﹣2B 解得:A=B 或 A+B=90° 所以:△ ABC 的形状一定是等腰或直角三 角形 故选:D 点评: 本题考查的知识要点:正弦定理的应用,三角函数的诱导公式的应用,属于基础题 型.

3. (5 分)由不等式组

表示的平面区域(图中阴影部分)为()

A.

B.

C.

D.

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据不等式组和平面区域的关系即可得到结论. 解答: 解:由不等式组可知,平面区域位于直线 x=0 的右侧,y=0 的上方, 直线 x+y﹣1=0 的下方, 故对应的平面区域为 D, 故选:D. 点评: 本题主要考查二元一次不等式表示平面区域,比较基础.

4. (5 分)已知 a,b,c 是实数,下列命题是真命题的有()个 ①“a>b”是“a >b ”的充分条件; 2 2 ②“a>b”是“a >b ”的必要条件; 2 2 ③“a>b”是“ac >bc ”的充分条件; ④“a>b”是“|a|>|b|”的充要条件. A.0 B. 1
2 2

C. 2

D.3

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式之间的关系,结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可得到结 论. 解答: 解:①若 a=1,b=﹣1,则 a>b,但 a >b ,不成立,故①错误; 2 2 ②若 a=﹣2,b=﹣1,满足 a >b ,但 a>b 不成立,故②错误; 2 2 ③当 c=0 时,若 a>b,则 ac >bc ,不成立,故③错误; ④若 a=1,b=﹣1,则 a>b,但|a|>|b|,不成立,故④错误. 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式之间的关系是解决本题的关 键. 5. (5 分) 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把 100 个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,问 最小 1 份为() A. B. C. D.
2 2

考点: 数列的应用. 专题: 计算题. 分析: 设五个人所分得的面包为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d, (d>0) ;则由五个人的面包 和为 100,得 a 的值;由较大的三份之和的 是较小的两份之和,得 d 的值;从而得最小的 1 分 a﹣2d 的值. 解答: 解:设五个人所分得的面包为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d, (其中 d>0) ; 则, (a﹣2d)+(a﹣d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20; 由 (a+a+d+a+2d)=a﹣2d+a﹣d,得 3a+3d=7(2a﹣3d) ;∴24d=11a,∴d=55/6; 所以,最小的 1 分为 a﹣2d=20﹣ = .

故选 A. 点评: 本题考查了等差数列模型的实际应用,解题时应巧设数列的中间项,从而容易得出 结果. 6. (5 分)符合下列条件的三角形有且只有一个的是()

A.a=1,b=2,c=3 C. a=1,b= ,∠A=30°

B. a=1,b=2,∠A=100° D.b=c=1,∠B=45°

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理及三角形的三边关系判断即可. 解答: 解:A、1+2=3,不能构成三角形,无解; B、由 a<b,得到 A<B,A 为钝角,无解; C、∵a=1,b= ,∠A=30°, ∴由正弦定理 = 得:sinB= = = ,

∵a<b,∴A<B, ∴B=45°或 135°,有两解; D、∵b=c=1,∠B=45°, ∴∠C=45°,∠A=90°,a= ,有一解, 故选:D. 点评: 此题考查了正弦定理,以及三角形三边关系,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

7. (5 分) 已知数列﹣1, a1, a2, ﹣4 成等差数列, ﹣1, b1 , b2, b3, ﹣4 成等比数列, 则 的值是() A. B. C. 或 D.

考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的通项公式可得﹣4=﹣1+3d,求得公差 d=a2﹣a1 的值,由等比数列的通 项公式可得﹣4=﹣1q ,求得 q
4 2

的值,即得 b2 的值,从而求得

的值.

解答: 解:∵数列﹣1,a1,a2,﹣4 成等差数列,由﹣4=﹣1+3d,求得公差 d=a2﹣ a1= =﹣1.
4 2 2

∵﹣1,b1,b2,b3,﹣4 成等比数列,由﹣4=﹣1q ,求得 q =2,∴b2=﹣1q =﹣2. 则 = = ,

故选 A. 点评: 本题考查等差数列的定义和性质,通项公式,等比数列的定义和性质,等比数列的 通项公式,求出公差 d=a2﹣a1 及 b2 的值,是解题的关键.

8. (5 分)如图:D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分别 是 β,α(α<β) ,则 A 点离地面的高度 AB 等于()

A. C.

B. D.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 设 AB=x,在直角三角形 ABC 中表示出 BC,进而求得 BD,同时在 Rt△ ABD 中, 可用 x 和 α 表示出 BD,二者相等求得 x,即 AB. 解答: 解:设 AB=x,则在 Rt△ ABC 中,CB= ∴BD=a+ ∵在 Rt△ ABD 中,BD= ∴a+ = ,求得 x=

故选 A 点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生分析问题和解决问题的能力. 9. (5 分)已知{an}为等差数列,若 a3+a4+a8=9,则 S9=() A.24 B.27 C.15

D.54

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质易得 a5=3,再由求和公式和性质可得 S9=9a5,代值计算可得. 解答: 解:由 a3+a4+a8=9,得 a5=3, ∴a1+a9=6, ∴S9= (a1+a9)=27, 故选 B. 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. 10. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a +c ﹣b )tanB= 则角 B 的值为()
2 2 2

ac,

A.

B.

C.



D.



考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 通过余弦定理及 进而求出 B. 解答: 解:由 , 求的 sinB 的值, 又因在三角形内,



,即 ,又在△ 中所以 B 为





故选 D 点评: 本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦.很多人会考虑对于角 B 的取舍问题,而 此题两种都可以,因为我们的过程是恒等变形.条件中也没有其它的限制条件,所以有的同学 就多虑了.虽然此题没有涉及到取舍问题,但在平时的练习过程中一定要注意此点 11. (5 分)在△ ABC,三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若内角 A、B、C 依次 2 成等差数列,且不等式﹣x +6x﹣8>0 的解集为{ x|a<x<c},则 b 等于() A. B. 2 C. 3 D.4 考点: 等差数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 2 分析: 利用等差数列的性质,可得 B,由不等式﹣x +6x﹣8>0 的解集为{x|a<x<c},求出 a,c,再利用余弦定理,可得结论. 解答: 解:∵内角 A、B、C 依次成等差数列, ∴B=60°, ∵不等式﹣x +6x﹣8>0 的解集为{x|a<x<c}, ∴a=2,c=4, ∴b =a +c ﹣2accos60°=4+16﹣2?2?4? =12, ∴b=2 . 故选:B. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查解不等式、余弦定理,考查学生的计算能力,比较 综合.
2 2 2 2

12. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最

大值为 12,则 + 的最小值为() A.4 B. 3 C. 1 D.2

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域,则目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)在 A(4,6)上取得最 大值,即 4a+6b=12, + = ,利用基本不等式求解.

解答: 解:由题意作出其平面区域,

则目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)在 A(4,6)上取得最大值, 即 4a+6b=12, + = ∵ ∴ab≤ , ∴ ≥4. , ≤ =3(当且仅当 2a=3b=6 时,等号成立) ,

故选 A. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分)命题“?x∈R,x >0”的否定是
2

. .

考点: 专题: 分析: 解答:

全称命题;命题的否定. 规律型. 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 2 解:根据全称命题的否定是特称命题得:命题“?x∈R,x >0”的否定是: .

故答案为:



点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,要求熟练掌握全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题.

14. (5 分)不等式

的解为{x|x>1 或 x<0}.

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 通过移项、 通分; 利用两个数的商小于 0 等价于它们的积小于 0; 转化为二次不等式, 通过解二次不等式求出解集. 解答: 解: 即 即 x(x﹣1)>0 解得 x>1 或 x<0 故答案为{x|x>1 或 x<0} 点评: 本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解 法.注意不等式的解以解集形式写出

15. (5 分)等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若

=

,则

=



考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用 = = ,即可得出结论.

解答: 解:设等差数列{an}、{bn}的公比分别为 d,d′,则 = = = .

故答案 为:



点评: 本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用,解题的关键是寻求公式的 内在联系,灵活转化. 16. (5 分)在△ ABC 中,B=60°,AC= ,则 AB+2BC 的最大值为 2 .

考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设 AB=c AC=b BC=a 利用余弦定理和已知条件求 得 a 和 c 的关系,设 c+2a=m 代入, 利用判别大于等于 0 求得 m 的范围,则 m 的最大值可得. 解答: 解:设 AB=c AC=b BC=a 由余弦定理 cosB= 所以 a +c ﹣ac=b =3 设 c+2a=m 代入上式得 2 2 7a ﹣5am+m ﹣3=0 2 △ =84﹣3m ≥0 故 m≤2 当 m=2 时,此时 a= ,c= 符合题意
2 2 2

因此最大值为 2 故答案为:2 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.涉及了解三角形和函数思想的运用. 三、解答题(共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)若 x+1>0,求 x+ 的最小值.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 变形利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵x+1>0,∴x+ 当且仅当 x=0 时取等号. ∴x+ 的最小值是 1. =x+1+ ﹣1 ﹣1=1,

点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.
2

18. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn =n + ; (1)求 a1,a2;

(2)求数列的通项公式 an. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据数列{an}的前 n 项和是 Sn=n + ;分别取 n=1,2,即可得出. (2)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 即可得出. 解答: 解: (1)∵数列{an}的前 n 项和是 Sn=n + ; ∴分别取 n=1,2,可得 a1=S1=1+ ,a1+a2=S2= 解得 a1= ,a2= . (2)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= ∴an=2n﹣ . 点评: 本题考查了“当 n=1 时,a1=S1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”求数列的通项公式的方法, 考查了计算能力,属于基础题. 19. (12 分)给定两个命题,P:对任意实数 x 都有 ax +ax+1>0 恒成立;Q:关于 x 的方程 2 x ﹣x+a=0 有实数根;如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;综合题. 分析: 先对两个命题进行化简,转化出等价条件,根据 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题, 两命题一真一假,由此条件求实 数 a 的取值范围即可. 解答: 解:对任意实数 x 都有 ax +ax+1>0 恒成立
2 2 2 2 2





=2n﹣ ,当 n=1 时也满足上式.

?0≤a<4;

关于 x 的方程 x ﹣x+a=0 有实数根 如果 P 正确,且 Q 不正确,有 如果 Q 正确,且 P 不正确,有 所以实数 a 的取值范围为

; ; . .

点评: 本题考查命题的真假判断与应用,求解本题的关键是得出两命题为真命题的等价条 件,本题寻找 P 的等价条件时容易忘记验证二次项系数为 0 面错,解题时要注意特殊情况的 验证.是中档题. 20. (12 分) 如图: 港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一观测站, 港口正东方向的 B 处有一轮船, 测得 BC 为 31n mile, 该轮船从 B 处沿正西方向航行 20n mile 后到 D 处, 测得 CD 为 21n mile.

(1)求 cos∠BDC; (2)问此时轮船离港口 A 还有多远?

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: (1)在△ BDC 中,先由余弦定理可得,可求 cos∠CDB; (2)求 sin∠CDB,由三角形的内角和定理可得 sin∠ACD=sin(∠BDC﹣60°) ,再在△ ACD 中,由正弦定理知, ,可求 AD.

解答: 解: (1)由条件知∠A=60°,BC=31,BD=20,CD=21, 在△ BCD 中,由余弦定理,得: (2)由(1)知 sin∠BDC= , =﹣ ;

∴sin∠ACD=sin(∠BDC﹣60°)=sin∠BDCcos60°﹣cos∠BDCsin60° = = . ,

在△ △ ACD 中,由正弦定理得: ∴AD= =15 n mile.

答:此时轮船离港口还有 15 n mile.

点评: 本题主要考查了正弦定理、余弦定理、两角差的正弦公式及三角形的内角和定理在 实际中的应用,解决实际的问题的关键是要把题目中所提供的数据转化成数学图形中的长度 (角度) ,然后根据相应的公式来解决问题. 21. (12 分)解关于 x 的不等式 ax ﹣(a+2)x+2>0. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用.
2

分析: 将原不等式化为(ax﹣2) (x﹣1)>0 分 a=0,a>0,a<0 三种情况进行讨论.a=0、 a<0 易解不等式;当 a>0 时,按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可. 解答: 解:将原不等式化为(ax﹣2) (x﹣1)>0, (1)当 a=0 时,有 x<1; (2)当 a>0 时,有 a(x﹣ ) (x﹣1)>0,∴(x﹣ ) (x﹣1)>0, ∵ 当 a>2 时 , ,∴x< 或 x>1;当 a=2 时, =1,∴x∈R,且 x≠1; ,∴x<1 或 x> ; .

当 0<a<2 时,有

(3)当 a<0 时, (x﹣ ) (x﹣1)<0,∴

综上,a=0 时,不等式的解集为{x|x<1};0<a<2 时,不等式的解集为{x|x<1 或 x> };当 a=2 时,不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠1}; 当 a>2 时,不等式的解集为{ x|x< 或 x>1};当 a<0 时,不等式的解集为{x| }.

点评: 该题考查一元二次不等式的解法,考查分类讨论思想,含参数的一元二次不等式的 求解,要明确分类讨论的标准:是按照不等式的类型、两根大小还是△ 的符号,要不重不漏. 22. (12 分)数列 (1)求证:数列 (2)如果{bn}对任意 范围. 考点: 数列与不等式的综合;等比关系的确定;数列递推式. 专题: 综合题. 分析: (1)对数列递推式进行变形,即可证明数列 是等比数列,从而可求其通 的前 n 项和. 是等比数列,并求{bn}的通项公式; 恒成立,求实数 k 的取值

项,进而可求{bn}的通项公式; (2)先求出数列的和,再利用分离参数法,证明数列的单调性,即可求得实数 k 的取值范围. 解答: (1)证明:对任意 n∈N ,都有 分) 则数列 所以 成等比数列,首项为 , ,公比为 …(2 分)
*

,所以

…(1

∴ (2)解:因为

…(4 分)

所以

…(6 分)

因为不等式

,化简得

对任意 n∈N 恒成立…(7 分)

*



,则

…(9 分)

当 n≥5,cn+1≤cn,{cn}为单调递减数列,当 1≤n<5,cn+1>cn,{cn}为单调递增数列 ∵ , ,∴c4<c5,∴n=5 时,cn 取得最大值 对任意 n∈N 恒成立,
*

…(11 分)

所以,要使

…(12 分)

点评: 本题考查数列的递推式,考查构造法证明等比数列,考查恒成立问题,解题的关键 是分离常数,确定数列的最值.


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