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数列复习



方法一:整体代入或求解(选择题常用方法) 1.在等差数列 中,若 ,则 =.

2. 若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1+ln a2 +…+ln a20=________. 3.设 是数列 的前 n 项和,且 , ,则 ,得 ________. ,故

由已知得

,两边同时除以

数列 以

是以 .

为首项,

为公差的等差数列,则

,所

4.设等差数列{an}的公差为 d.若数列{2a 1 a n }为递减数列,则( A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0

)C

5. 已知首项都是 1 的两个数列{an}, {bn}(bn≠0, n∈N*)满足 anbn+1-an+1bn+2bn
+1

bn=0. an (1)令 cn=b ,求数列{cn}的通项公式; (2)若 bn=3
n n-1

,求数列{an}的前 n 项和 Sn. an+1 an - =2,即 cn bn+1 bn

解:(1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以
+1

-cn=2, 所以数列{cn}是以 c1=1 为首项,d=2 为公差的等差数列,故 cn=2n-1. (2)由 bn=3n-1,知 an=(2n-1)3n-1 于是数列{an}的前 n 项和 Sn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1, 3Sn = 1×31 + 3×32 +…+ (2n - 3)×3n - 1 + (2n -

1)×3n 将两式相减得-2Sn=1+2×(31+32+…+3n 1)-(2n-1)×3n


=-2-(2n-2)×3n, 所以 Sn=(n-1)3n+1. 方法二:分类讨论思想 (1) 考虑 q=1 问题 设 {an } 是公比为 q 的等比数列。

(1) 求 {an } 的前 n 项和公式; (2) 设 q≠1,证明数列 {an ? 1} 不是等比数列。 解: (1) 分两种情况讨论。

{an }是首项为a1的常数数列,所以 Sn ① 当q ? 1时,数列
② 当q ? 1时,S n

? a1 ? a1 ? ? ? a1 ? na1.

? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? qSn ? qa1 ? qa2 ? ? ? qan?1 ? qan 。

上面两式错位相减:

( 1 - q)S n ? a1 ? (a2 ? qa1 ) ? (a3 ? qa2 )? ? (an ? qan?1 ) ? qan ? a1 ? qan .
a1 ? qan a1 (1 ? q n ) ? Sn ? ?. 。 1- q 1- q
?na1 , ? ③综上, S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , ?
(2) 使用反证法。 设 {an } 是公比 q≠1 的等比数列, 假设数列 {an ? 1} 是等比数列。则 ①当 ?n ? N ,使得an ? 1 =0 成立,则 {an ? 1} 不是等比数列。
* * ②当 ?n ? N ,使得an ? 1 ? 0 成立,则

(q ? 1) (q ? 1)

an?1 ? 1 a1q n ? 1 ? ? 恒为常数 an ? 1 a1q n?1 ? 1

? a1q n ? 1 ? a1q n?1 ? 1 ? 当a1 ? 0时, q ? 1 。这与题目条件 q≠1 矛盾
③综上两种情况,假设数列 {an ? 1} 是等比数列均不成立,所以当 q≠1 时, 数列
{an ? 1} 不是等比数列。

(2) 考虑 n=1 问题 设数列 (I)求 的前 n 项和为 的通项公式; 满足 ,求 的前 n 项和 。 。已知 。

(II)若数列

所以 当 时,

所以 两式相减,得

所以 经检验, 综上可得: 时也适合,

方法三:数形结合思想(将数列与函数相结合) 已知数列 中1 = 1, +1 = ? ,求使不等式 < +1 < 3成立的 c 的取值


1

范围。 解: 依题意知, 2 = ? = ? 1, 2 ? 1


1

> 0,即
.

> 2. 记 = c ? ,令 = ,解得 = = 的图象,如图所示。 易知 =
? 2 ?4 2 2 1 ± 2 ?4 2

于是在同一坐标系下分别作函数 = 与
+ 2 ?4 2

> 0, =

,从而

? + 1 ( ? )( ? ) = ? ? 从而当 < < 时 > ;当 > 或 < 时 < . ? = 又 易 知 函 数 = c ? 在 ( , ) 上 单 调 递 增 , 所 以 = < < < , 且 lim→ () = , 又 c > 2 时 , c ? 1 ,1
? 2 ?4 2 1

<

?

?2 2 2

=1=

∈ ( , ),所以

1 > 1 ,所以 > 2 > 1 > ,从而 > 3 > 2 > ,同理可知 > 4 > 3 > ,……, > +1 > > ,故 > ? > +1 > > ? > 1 > 且 lim→+∞ = , 从 而 要 使 不 等 式 < +1 < 3恒成立当且仅当 > 2且 ≤ 3,解得2 < ≤
10 3

.



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