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湖北省襄阳市枣阳市白水高中2014-2015学年高二下学期3月月考数学试卷(文科)


湖北省襄阳市枣阳市白水高中 2014-2015 学年高二下学期 3 月月 考数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,2,5},CUB={4,5,6},则集合 A∩B= () A.{5} B.{1,2} C.{1,2,3} D.{3,4,6} 2.已知复数 1﹣i= A.﹣1+3i (i 为虚数单位) ,则 z 等于() B.﹣1+2i C.1﹣3i 8,则 a4+a6 等于() C. 9 D.16 D.1﹣2i

3.设{an}是等差数列,若 a5=log A.6 B. 8

4.下列命题中,真命题是() A.?x0∈R,e ≤0 C. ?x∈R,2 >x
x 2 x0

B. a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 D.a+b=0 的充要条件是 =﹣1

5.设△ ABC 的三个内角为 A,B,C,则“A>B”是“sinA>sinB”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.过抛物线 y =4x 的焦点的一条直线交抛物线于 A、B 两点,正三角形 ABC 的顶点 C 在 该抛物线的准线上,则△ ABC 的边长是() A.8 B.10 C.12 D.14 7.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()
2

A.3

B.﹣6

C.10

D.﹣15

8.某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条棱的长度中,最大的是()

A.2

B. 2

C. 2

D.4

9.曲线 A.焦点

=1 与曲线 B.焦距
2

=1(n>0)有相同的() C.离心率 D.准线

10.过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=6, 那么|AB|=() A.10 B. 9 C. 8 D.6

11.已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1 与 C2

的离心率之积为 A. x±y=0

,则 C2 的渐近线方程为() B . x± y=0 C.2x±y=0 D.x±2y=0

12.椭圆 范围是() A.[1,4]

两个焦点分别是 F1,F2,点 P 是椭圆上任意一点,则 B.[1,3] C.[﹣2,1] D.[﹣1,1]

的取值

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.抛物线 y =﹣x 的焦点到它的准线的距离等于. 14.已知 α 为锐角,且 ,则 sinα=.
2

15.已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内接于球 O,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,E 为 AA1 的中点,OA⊥平面 BDE,则球 O 的表面积为. 16.现有 2 名女教师和 1 名男教师参加说题比赛,共有 2 道备选题目,若每位选手从中有放 回地随机选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为.

三、解答题: 17.已知命题 p:|x﹣a|<3,q: (x﹣1) (4﹣x)>0 (1)当 a=1 时,若“p 且 q”为真命题,求实数 x 的取值范围; (2)若非 p 是非 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 18.已知数列{an}各项均为正,且 a1=1,an+1an+an+1﹣an=0(n∈N ) (1)设 bn= (2)求数列{ ,求证:数列{bn}是等差数列; }的前 n 项和.
2 *

19.如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A,B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,求此抛物线的方程.

20.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O,且 AO⊥平 面 BB1C1C. (1)证明:B1C⊥AB;

(2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的

高.

21.已知椭圆 C:

+

=1 的上顶点为 A,直线 l:y=kx+m 交椭圆 P,Q 两点,设直线 AP,

AQ 的斜率分别为 k1,k2. (1)若 m=0,时求 k1?k2 的值; (2)若 k1?k2=﹣1 时,证明直线 l:y=kx+m 过定点.

22.已知 AB 是⊙O 的弦,P 是 AB 上一点,AB=6

,OP=3,求⊙O 的半径 R.

湖北省襄阳市枣阳市白水高中 2014-2015 学年高二下学 期 3 月月考数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,2,5},CUB={4,5,6},则集合 A∩B= () A.{5} B.{1,2} C.{1,2,3} D.{3,4,6}

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 根据 B 补集及全集 U 求出 B,找出 A 与 B 的公共元素即可. 解答: 解:∵集合 U={1,2,3,4,5,6},CUB={4,5,6}, ∴B={1,2,3}, ∵集合 A={1,2,5}, ∴A∩B={1,2}. 故选 B 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.已知复数 1﹣i= A.﹣1+3i

(i 为虚数单位) ,则 z 等于() B.﹣1+2i C.1﹣3i D.1﹣2i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解:∵复数 1﹣i= ∴ = , =﹣1+3i.

故选:A. 点评: 本题考查了复数定义是法则,属于基础题. 3.设{an}是等差数列,若 a5=log A.6 B. 8 8,则 a4+a6 等于() C. 9 D.16

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据 a4+a6=2a5,即可得出结论. 解答: 解:由题意,a5=log 8=3,

∵{an}是等差数列, ∴a4+a6=2a5=6, 故选:A. 点评: 本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质,比较基础. 4.下列命题中,真命题是() x0 A.?x0∈R,e ≤0 C. ?x∈R,2 >x
x 2

B. a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 D.a+b=0 的充要条件是 =﹣1

考点: 命题的真假判断与应用.

专题: 简易逻辑. 分析: 根据指数函数的值域,同向正的不等式相乘后方向不变,举反例的方法,以及充要 条件的概念即可判断每个选项的正误,从而找出正确选项. 解答: 解:
3 2

恒成立,∴A 错误;
x 2

a>1,b>1 能得出 ab>1,∴a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件,即 B 正确; x=3 时,2 <3 ,∴?x∈R,2 >x 错误; a=0,b=0 时,有 a+b=0,这时便得不出 ,∴a+b=0 的充要条件是 错误;

∴B 正确. 故选 B. 点评: 考查指数函数的值域,充分条件,充要条件的概念,同向正的不等式相乘后方向不 变,在说明结论不成立时可举反例. 5.设△ ABC 的三个内角为 A,B,C,则“A>B”是“sinA>sinB”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 充要条件. 专题: 证明题. 分析: 由正弦定理知 解答: 解:由正弦定理知 = ,故 sinA>sinB?a>b?A>B,故可得结论 = =2R,

∵sinA>sinB, ∴a>b, ∴A>B. 反之,∵A>B,∴a>b, ∵a=2RsinA,b=2RsinB,∴sinA>sinB ∴“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件 故选 C. 点评: 本题以三角形为载体, 考查命题充要条件的意义和判断方法, 解题的关键是正确运 用正弦定理及三角形性质,属基础题. 6.过抛物线 y =4x 的焦点的一条直线交抛物线于 A、B 两点,正三角形 ABC 的顶点 C 在 该抛物线的准线上,则△ ABC 的边长是() A.8 B.10 C.12 D.14 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 AB 的中点为 M,过 A、B、M 分别作 AA1、BB1、MN 垂直于直线 x=﹣1 于 A1、 B1、N,设∠AFx=θ,求出 ,利用弦长公式,可得结论.
2

解答: 解:抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0) ,设 AB 的中点为 M,过 A、B、M 分别作 AA1、BB1、MN 垂直于直线 x=﹣1 于 A1、B1、N,设∠AFx=θ, 由抛物线定义知:|MN|= ∵|MC|= ,∴|MN|= |MC|, ,

2

∵∠CMN=90°﹣θ, ∴ 又由抛物线定义知|AF|= 故选:C. ,|BF|= ,即 ,∴|AB|= , .

点评: 本题考查抛物线的方程与性质, 考查抛物线的定义, 正确运用抛物线的定义是关键. 7.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()

A.3

B.﹣6

C.10

D.﹣15

考点: 循环结构;选择结构. 专题: 计算题. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环判断 i 是否为奇数求出 S 的值,并输出最后的 S 值. 解答: 解:程序运行过程中,各变量的值如下表示: 是否继续循环 i S 循环前 1 0

第一圈 是 第二圈 是 第三圈 是 第四圈 是 第五圈 否 故最后输出的 S 值为 10 故选 C.

2﹣1 3 3 4﹣6 5 10

点评: 根据流程图写程序的运行结果, 是算法这一模块最重要的题型, 其处理方法是从流 程图中既要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据,选择恰当的数学模型解答. 8.某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条棱的长度中,最大的是()

A.2

B. 2

C. 2

D.4

考点: 棱锥的结构特征;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 本题只要画出原几何体,理清位置及数量关系,由勾股定理可得答案. 解答: 解:由三视图可知原几何体为三棱锥, 其中底面△ ABC 为俯视图中的钝角三角形,∠BCA 为钝角, 其中 BC=2,BC 边上的高为 2 ,PC⊥底面 ABC,且 PC=2, 由以上条件可知,∠PCA 为直角,最长的棱为 PA 或 AB, 在直角三角形 PAC 中,由勾股定理得, PA= = =2 ,

又在钝角三角形 ABC 中,AB= 故选 C.

=



点评: 本题为几何体的还原,与垂直关系的确定,属基础题.

9.曲线 A.焦点

=1 与曲线 B.焦距

=1(n>0)有相同的() C.离心率 D.准线

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 分别求出椭圆的焦点和焦距,离心率和准线方程,即可判断. 解答: 解:曲线 离心率为 e= =1 为椭圆,焦点为( ,即 x=± ; ,0) ,焦距为 4 ,

,准线为 x=±

曲线 离心率为 e=

=1 为椭圆,焦点为(0,±2 = ,准线为 y=±

) ,焦距为 4 ,即 x=± .



对照选项,则离心率相同. 故选 C. 点评: 本题考查椭圆的方程和性质, 主要考查椭圆的离心率公式和准线方程的求法, 属于 基础题. 10.过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=6, 那么|AB|=() A.10 B. 9 C. 8 D.6 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
2

分析: 抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A (x1, y1) B (x2, y2) 两点, 故|AB|=x1+x2+2, 由此易得弦长值. 解答: 解:由题意,p=2,故抛物线的准线方程是 x=﹣1, 2 ∵抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点 ∴|AB|=x1+x2+2, 又 x1+x2=6 ∴∴|AB|=x1+x2+2=8 故选 C. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相 等,由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题,大大降低了解题难度.

2

11.已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1 与 C2

的离心率之积为 A. x±y=0

,则 C2 的渐近线方程为() B . x± y=0 C.2x±y=0 D.x±2y=0

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过椭圆与双曲线的方程可得各自的离心率,化简即得结论. 解答: 解:∵椭圆 C1 的方程为 + =1,

∴椭圆 C1 的离心率 e1=



∵双曲线 C2 的方程为



=1,

∴双曲线 C2 的离心率 e2= ∵C1 与 C2 的离心率之积为 ,



∴ ∴ =

?

=

, =1﹣ ,

又∵a>b>0,∴ = 故选:B.



点评: 本题考查求椭圆的离心率问题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中 档题.

12.椭圆 范围是() A.[1,4]

两个焦点分别是 F1,F2,点 P 是椭圆上任意一点,则 B.[1,3] C.[﹣2,1] D.[﹣1,1]

的取值

考点: 直线与圆锥曲线的关系;平面向量数量积的运算;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出椭圆的焦点坐标,设 P(2cosθ,sinθ) (θ∈∈[0,2π) ) .利用向量的数量积运算 和余弦函数的单调性即可得出. 解答: 解:椭圆的焦点坐标 F1( ,0) ,F2( 设 P(2cosθ,sinθ) (θ∈∈[0,2π) ) . ∴ ﹣2, ∵0≤cos θ≤1, 2 ∴﹣2≤3cos θ﹣2≤1. 即 的最大值与最小值分别是 1,﹣2.
2

,0) .
2 2 2

═(﹣

﹣2cosθ,﹣sinθ)?(

﹣2cosθ,﹣sinθ)=4cos θ﹣3+sin θ=3cos θ

故选:C. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程与性质、 向量的数量积运算、 余弦函数的单调性等基础 知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.抛物线 y =﹣x 的焦点到它的准线的距离等于 .
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出抛物线 y =﹣x 的焦点为(﹣ ,0) ,准线为 x= ,即可计算焦点到它的准线 的距离. 解答: 解:抛物线 y =﹣x 的焦点为(﹣ ,0) , 准线为 x= , 即有焦点到它的准线的距离为 d= ﹣(﹣ )= . 故答案为: . 点评: 本题考查抛物线的方程和性质, 主要考查抛物线的焦点和准线方程的运用, 属于基 础题.
2 2

14.已知 α 为锐角,且

,则 sinα=



考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 α 为锐角求出 α+ 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sin(α+ )

的值,所求式子中的角变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化简,将各自的值代入计算 即可求出值. 解答: 解:∵α 为锐角,∴α+ ∵cos(α+ ∴sin(α+ )= , )= )﹣ ]=sin(α+ = , )cos ﹣cos(α+ )sin = × ﹣ × = . ∈( , ) ,

则 sinα=sin[(α+ 故答案为:

点评: 此题考查了两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键. 15.已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内接于球 O,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,E 为 AA1 的中点,OA⊥平面 BDE,则球 O 的表面积为 16π. 考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征, 求出球的半径, 代入可得球的 表面积. 解答: 解:∵长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内接于球 O,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 设 AA1=2a,E 为 AA1 的中点, 以 A 为坐标原点,分别以 AB,AD,AA1 为 x,y,z 轴建立空间坐标系, 则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,D(0,2,0) ,E(0,0,a) ,C1(2,2,2a) ,O(1,1, a) , 则 =(﹣2,2,0) , =(﹣2,0,a) , =(1,1,a) ,

若 OA⊥平面 BDE,则 ,即 即 a ﹣2=0, 解得 a= , ∴球 O 的半径 R 满足:2R= =4,
2



故球 O 的表面积 S=4πR =16π, 故答案为:16π.

2

点评: 本题考查的知识点是球的表面积,其中根据已知求出半径是解答的关键. 16.现有 2 名女教师和 1 名男教师参加说题比赛,共有 2 道备选题目,若每位选手从中有放 回地随机选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 列举基本事件,利用古典概型概率公式求解即可 解答: 解:设两道题分别为 A,B 题,所以抽取情况共有:AAA,AAB,ABA,ABB, BAA,BAB,BBA,BBB,其中第 1 个,第 2 个分别是两个女教师抽取的题目, 第 3 个表示男教师抽取的题目, 一共有 8 种; 其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有: ABA,ABB,BAA,BAB,共 4 种; 故所求事件的概率为 . 故答案为: 点评: 列举法是确定基本事件的常用方法. 如果一个事件有 n 种可能, 而且这些事件的可 能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= .

三、解答题: 17.已知命题 p:|x﹣a|<3,q: (x﹣1) (4﹣x)>0 (1)当 a=1 时,若“p 且 q”为真命题,求实数 x 的取值范围; (2)若非 p 是非 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑.

分析: (1)利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法即可化简命题 p,q,由“p 且 q”为真命题,可知:命题 p 与 q 都为真命题,即可得出. (2)求出¬p,¬q,利用非 p 是非 q 的充分不必要条件,即可解出. 解答: 解: (1)当 a=1 时,命题 p 化为:﹣2<x<4,命题 q 化为:1<x<4, ∵“p 且 q”为真命题, ∴ ,

解得 1<x<4. ∴实数 x 的取值范围是(1,4) . (2)¬p:x≤a﹣3 或 x≥a+3; ¬q:x≤1 或 x≥4, ∵非 p 是非 q 的充分不必要条件, ∴ ,

解得 1≤a≤4. 点评: 本题考查了绝对值不等式与一元二次不等式的解法、 简易逻辑的判定方法, 考查了 推理能力与计算能力,属于基础题. 18.已知数列{an}各项均为正,且 a1=1,an+1an+an+1﹣an=0(n∈N ) (1)设 bn= (2)求数列{ ,求证:数列{bn}是等差数列; }的前 n 项和.
*

考点: 数列的求和;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由于数列{an}各项均为正,且 a1=1,an+1an+an+1﹣an=0(n∈N ) ,可得 =1,即 bn+1﹣bn=1.即可证明. (2)利用等差数列的通项公式及“裂项求和”即可得出. * 解答: (1)证明:∵数列{an}各项均为正,且 a1=1,an+1an+an+1﹣an=0(n∈N ) , ∴ =1,即 bn+1﹣bn=1.
*

∴数列{bn}是等差数列,首项为 1,公差为 1; (2)解:由(1)可得:bn=1+(n﹣1)=n. ∴an= .



=

=



∴数列{

}的前 n 项和 Sn=

+ …+

=1﹣

=



点评: 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”,考查了变形能力、推理能力与计算 能力,属于中档题. 19.如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A,B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,求此抛物线的方程.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 根据过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,作 AM、BN 垂直准线于点 M、N,根据|BC|=2|BF|,且|AF|=3,和抛物线的定义,可得∠NCB=30°,设 A (x1,y1) ,B(x2,y2) ,|BF|=x,而 x1+ =3,x2+ =1,且 x1x2= 得抛物线的方程. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 过焦点 F( ,0)的直线 l 设为 y=k(x﹣ ) , 代入抛物线方程,可得 k x ﹣p(k +2)x+ x1x2= .
2 2 2

,可求得 p 的值,即求

=0,

k 不存在,上式显然成立. 作 AM、BN 垂直准线于点 M、N, 则|BN|=|BF|, 又|BC|=2|BF|,得|BC|=2|BN|, ∴∠NCB=30°, 有|AC|=2|AM|=6, 设|BF|=x,则 2x+x+3=6?x=1, 而 x1+ =3,x2+ =1,且 x1x2= ∴(3﹣ ) (1﹣ )= ,

,解得 p= .
2

即有抛物线的标准方程为 y =3x.

点评: 此题是个中档题. 考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程. 体现了 数形结合的思想,特别是解析几何,一定要注意对几何图形的研究,以便简化计算. 20.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O,且 AO⊥平 面 BB1C1C. (1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的

高. 考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1) 连接 BC1, 则 O 为 B1C 与 BC1 的交点, 证明 B1C⊥平面 ABO, 可得 B1C⊥AB; (2)作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD,作 OH⊥AD,垂足为 H,证明△ CBB1 为等边三角 形,求出 B1 到平面 ABC 的距离,即可求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高. 解答: (1)证明:连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点, ∵侧面 BB1C1C 为菱形, ∴BC1⊥B1C, ∵AO⊥平面 BB1C1C, ∴AO⊥B1C, ∵AO∩BC1=O, ∴B1C⊥平面 ABO, ∵AB?平面 ABO, ∴B1C⊥AB; (2)解:作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD,作 OH⊥AD,垂足为 H, ∵BC⊥AO,BC⊥OD,AO∩OD=O, ∴BC⊥平面 AOD, ∴OH⊥BC, ∵OH⊥AD,BC∩AD=D, ∴OH⊥平面 ABC, ∵∠CBB1=60°, ∴△CBB1 为等边三角形, ∵BC=1,∴OD= ,

∵AC⊥AB1,∴OA= B1C= , 由 OH?AD=OD?OA,可得 AD= ∵O 为 B1C 的中点, ∴B1 到平面 ABC 的距离为 , = ,∴OH= ,

∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高



点评: 本题考查线面垂直的判定与性质, 考查点到平面距离的计算, 考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题.

21.已知椭圆 C:

+

=1 的上顶点为 A,直线 l:y=kx+m 交椭圆 P,Q 两点,设直线 AP,

AQ 的斜率分别为 k1,k2. (1)若 m=0,时求 k1?k2 的值; (2)若 k1?k2=﹣1 时,证明直线 l:y=kx+m 过定点.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析: (1)若 m=0 时,直线 l:y=kx 代入椭圆方程得到 x +2k x =4,求出 P,Q 的坐标, 即可求 k1?k2 的值; (2)直线 l:y=kx+m 代入椭圆 C:
2

+

=1,k1?k2=﹣1 时,



代入化简可得 3m ﹣2 m﹣2=0,求出 m,即可证明直线 l:y=kx+m 过定点. 2 2 2 解答: 解: (1)若 m=0 时,直线 l:y=kx 代入椭圆方程得到 x +2k x =4, ∴P(﹣ ,﹣ ) ,Q( , ) ,

∴k1=

,k2=



∴k1?k2=

?

=﹣ ;

(2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,直线 l:y=kx+m 代入椭圆 C:

+

=1,

整理得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣4=0, ∴x1+x2=﹣ ∵k1?k2=﹣1, ∴ , ,x1x2= ,

2

2

2

∴(kx1+m) (kx2+m)﹣ (kx1+m+kx2+m)+x1x2+2=0, 2 代入化简可得 3m ﹣2 m﹣2=0, ∴m= (舍)或 m=﹣ , ) .

∴直线 l:y=kx+m 过定点(0,﹣

点评: 本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生 的计算能力,属于中档题. 22.已知 AB 是⊙O 的弦,P 是 AB 上一点,AB=6 ,OP=3,求⊙O 的半径 R.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: 过点 O 作 OC⊥AB, 交 AB 于点 C, 连结 OA, 由垂径定理和勾股定理求出 OC⊥AB, PC=PA﹣AC= ,OC= ,由此能求出⊙O 的半径 R. 解答: 解:过点 O 作 OC⊥AB,交 AB 于点 C,连结 OA ∵AB 是⊙O 的弦,P 是 AB 上一点,AB=6 ∴OC⊥AB,PC=PA﹣AC=4 ﹣3 = , ∴OC= ∴R=OA= = = = , =5. ,OP=3,

点评: 本题考查圆的半径的求法,考查垂径定理和勾股定理的运用,是中档题.


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